高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省中山市某校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.只有一項(xiàng)符合題目要求.1.某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，若樣本中型號的產(chǎn)品有8件，則樣本容量（）A.80 B.40 C.60 D.100【答案】B【解析】某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，若樣本中型號的產(chǎn)品有8件，則有，解得.故選：B.2.在樣本頻率分布直方圖中共有9個小矩形，若其中1個小矩形的面積等于其他8個小矩形面積和的，且樣本容量為210，則該組的頻數(shù)為（）．A.28 B.40 C.56 D.60【答案】D【解析】設(shè)該小矩形的面積為x，9個小矩形的總面積為1，則其他8個小矩形的面積和為，所以，所以，所以該組的頻數(shù)為．故選：D.3.已知事件相互獨(dú)立，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，則“兩個事件至少有一個發(fā)生”的概率為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】

因?yàn)槭录?/p>

相互獨(dú)立，所以.則“兩個事件

至少有一個發(fā)生”

的概率為,故選：C4.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.5.若平面的法向量為，平面的法向量為，直線l的方向向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A，由，得，則，解得，故A錯誤；對于B，由，得，則，解得，故B錯誤；對于C，由，得，，則與平面法向量不垂直，則與平面不平行，故C錯誤；對于D，由，得，，，則，故D正確.故選：D．6.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色?綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次性任意取出2張卡片，則下列事件，與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的個數(shù)為（）①2張卡片都不是紅色；②2張卡片恰有1張是紅色；③2張卡片至少有1張是紅色；④2張卡片至多一張為紅色.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】6張卡片中一次性任意取出2張卡片的情況有：“2張都是紅色”、“2張都是藍(lán)色”、“2張都是綠色”、“1張紅色和1張藍(lán)色”、“1張紅色和1張綠色”、“1張藍(lán)色和1張綠色”.“2張卡片都不是紅色”與“2張卡片都為紅色”是互斥而不對立事件；“2張卡片恰有1張是紅色”與“2張卡片都為紅色”是互斥而不對立事件；“2張卡片至少有1張是紅色”與“2張卡片都為紅色”不是互斥事件；“2張卡片至多一張為紅色”與“2張卡片都為紅色”是對立事件.所以事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的個數(shù)為2.故選：.7.把某班五名學(xué)生在一周內(nèi)閱讀數(shù)學(xué)競賽書籍的時間1，2，3，4，5（單位：小時）作為一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)增加統(tǒng)計兩位學(xué)生，他們一周內(nèi)閱讀數(shù)學(xué)競賽書籍的時間分別為正整數(shù)m、n（單位：小時），與原有樣本數(shù)據(jù)一起構(gòu)成一組新樣本數(shù)據(jù)，與原組樣本數(shù)據(jù)比較，下列說法正確的是（）A.若，則方差不變 B.若極差不變，則C.若，則中位數(shù)變大 D.若平均數(shù)不變，則【答案】D【解析】原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，原數(shù)據(jù)的方差為：.對A：若，則滿足，此時所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，方差為：，方差變小，故A錯誤；對B：若極差不變，由可能是，，……，不一定要，故B錯誤；對C：若，如，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的中位數(shù)也是3，沒變，故C錯誤；對D：新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，由，故D正確.故選：D.8.正四面體的棱長為1，若且滿足，則動點(diǎn)的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，動點(diǎn)的軌跡所形成的空間區(qū)域是以為鄰邊的平行六面體除去正四面體余下的部分，如圖所示，為的中點(diǎn)，為四面體的高，已知是正四面體，可得，則，，所求體積.故選：B.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.某市教育局對全市高三年級的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，他們的身高都處在五個層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計圖表，則樣本中（）A.女生人數(shù)多于男生人數(shù)（）B.層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)C.層次男生人數(shù)為24人D.層次人數(shù)最少【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，由題可知，女生層次的有18人，層次的有48人，層次的有30人，層次的有18人，層次的有6人，故女生共有人，男生有人，所以女生人數(shù)多于男生人數(shù)，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，由扇形圖知，男生層次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，錯誤；對于C選項(xiàng)，層次的有人，故正確；對于D選項(xiàng)，層次的有人，層次的有人，故層次的人數(shù)不是最少的.故選：AC.10.設(shè)樣本空間，且每個樣本點(diǎn)是等可能的，已知事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與C相互獨(dú)立 B.事件A，B，C兩兩獨(dú)立C. D.【答案】BCD【解析】由題意，可得，對于A中，事件，可得，且，所以，所以事件與不相互獨(dú)立，所以A錯誤；對于B中，由，所以事件兩兩相互獨(dú)立，所以B正確；對于C中，事件，所以，所以C正確；對于D中，由，所以D正確.故選：BCD.11.在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線平面B.三棱錐體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，如圖，連接，由題意可知平面，平面，故，，且平面，故平面，平面，故，同理可證，平面，故直線平面，A正確；對于B，因?yàn)椋仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，故，而平面，平面，故平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，故點(diǎn)P到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐體積為定值，B正確；對于C，連接，則正三角形，因?yàn)?，故異面直線與所成角等于直線與所成角；在正中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)P為的中點(diǎn)，即時，與所成角最大，為，當(dāng)P與或C重合時，與所成角最小，為，故異面直線與所成角的取值范圍是，C錯誤；對于D，設(shè)正方體棱長為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，由A可知平面，故可作為平面法向量，設(shè)直線與平面所成角為，故，當(dāng)時，取最小值，則取最大值，即直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確，故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，，則______.【答案】【解析】如下圖所示：，平行六面體棱長均1，，又，，，．故答案為：．13.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.假設(shè)甲?乙?丙是三位投壺游戲參與者，且甲?乙?丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的且互不影響.若甲?乙?丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投中的概率為__________.【答案】或0.5或50%【解析】因?yàn)榧?乙?丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的且互不影響，則這3人中至多有1人投中的概率為.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為，已知空間中一條直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】【解析】由題意，直線為，經(jīng)過點(diǎn)，且為一個方向向量，所以，故點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，且，是棱的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方向向量與平面的法向量；（3）求直線與平面所成角的度數(shù)．解：（1）由底面ABCD是邊長為的正方形，底面，且，是棱PD的中點(diǎn)，由圖知，，，，，，．（2）由（1）知，直線AM，PB的方向向量分別為，，因，，設(shè)是平面PCD的一個法向量，則，故可?。?）設(shè)直線與平面所成角為，由（2），，因，故直線PB與平面PCD所成角為．16.某班元旦聯(lián)歡會上開展趣味抽獎小游戲，在不透明的盒子里裝有標(biāo)號為1，2的兩個紅球和標(biāo)號為3，4，5的三個白球，五個小球除顏色和標(biāo)號外完全相同，參與游戲的同學(xué)從中任取1個，有放回地抽取2次，根據(jù)抽到小球的情形分別設(shè)置一，二，三等獎．班委會討論了以下兩種規(guī)則：規(guī)則一：若抽到兩個紅球且標(biāo)號和為偶數(shù)獲一等獎，抽到兩個白球且標(biāo)號和為偶數(shù)獲二等獎，抽到兩個球標(biāo)號和為奇數(shù)獲三等獎，其余不獲獎；規(guī)則二：若抽到兩個紅球且標(biāo)號和為奇數(shù)獲一等獎，抽到兩個球的標(biāo)號和為5的倍數(shù)獲二等獎，抽到兩個球標(biāo)號和為偶數(shù),且不是5的倍數(shù)獲三等獎，其余不獲獎．（1）求兩種規(guī)則下獲得二等獎的概率；（2）請問哪種規(guī)則的獲獎概率更大，并說明理由．解：（1）據(jù)題意，兩次抽取小球的所有可能結(jié)果為：記規(guī)則一獲得二等獎為事件，記規(guī)則二獲得二等獎為事件，事件包含五個樣本點(diǎn)，故，事件包含五個樣本點(diǎn)，故．所以兩種規(guī)則下獲得二等獎的概率均為.（2）兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大．理由如下：記規(guī)則一獲得一、二、三等獎分別為事件由(1)可知事件包含兩個樣本點(diǎn)，所以事件包含,共12個樣本點(diǎn)，所以由(1)知，所以規(guī)則一的獲獎概率為記規(guī)則二下獲得一、二、三等獎分別為事件事件包含兩個樣本點(diǎn)，；事件包含，共十二個樣本點(diǎn)，；由(1)知，所以規(guī)則二的獲獎概率.所以兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大．17.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)..（1）若以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向建立右手系空間直角坐標(biāo)系，請?jiān)诖痤}卡圖中畫出坐標(biāo)系，并證明；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的角的正弦值最??？（1）證明：在直三棱柱中，有，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，平面，所以平面，而平面，所以，因此兩兩互相垂直，于是建立為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向的右手系空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示.（2）解：設(shè)，由（1）所建立的空間直角坐標(biāo)系可知：，，設(shè)平面的法向量為，則有，取,由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)面與面所成的角為，所以，當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，所以有最大值，所以當(dāng)時，.18.某市體質(zhì)健康測試標(biāo)準(zhǔn)包括身體形態(tài)?身體機(jī)能?身體素質(zhì)?運(yùn)動能力等方面.為了了解學(xué)生體質(zhì)健康情況，某校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行測試，測試成績的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績不超過80分的有108人.（1）求圖中的值；（2）并根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和第75百分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若抽取的200名學(xué)生中，男生120人，女生80人，其中男生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為；女生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為名學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，方差為.①②.請判斷公式①和公式②是否相等，并說明理由.解：（1）由低于80分的人數(shù)為108，得，因?yàn)轭l率之和為1，所以；（2）平均數(shù)，前3個矩形面積之和為0.54，前4個矩形面積之和為0.84，故第75百分位數(shù)在之間，設(shè)第75百分位數(shù)為，則，所以平均數(shù)為78.8，第75百分位數(shù)為87；（3）設(shè)，，顯然，，①-②得：.所以①和②相等.19.在三棱錐中，已知均是邊長為的正三角形，棱.現(xiàn)對其四個頂點(diǎn)隨機(jī)貼上寫有數(shù)字的八個標(biāo)簽中的四個，表示頂點(diǎn)所貼數(shù)字，為側(cè)棱上一點(diǎn).（1）求事件“”的概率；（2）求事件“為偶數(shù)”的概率；（3）若，求“二面角的平面角大于”的概率.解：（1）由于、是從8個數(shù)字中選取兩個不同的數(shù)字，若，則有種；若，則有種；依此類推，可得樣本空間的個數(shù)為56個，又因?yàn)闈M足的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共12個樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概率知識得：.（2）用表示“、均為奇數(shù)”的事件，若，則有種；若，則有種；依此類推，可知事件包含12個樣本點(diǎn)，用表示“、均為偶數(shù)”的事件，同上可知，事件也包含12個樣本點(diǎn)，又從1～8個數(shù)字中任取兩個數(shù)字標(biāo)簽貼在C?D頂點(diǎn)的樣本空間有56個樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概率知識得：，記“為偶數(shù)”為事件，則，故.（3）如圖，取邊的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?、均是邊長為的正三角形，所以，因，平面，因此平面，因平面，則，從而是二面角的平面角，又，則，在中利用正弦定理得，則，同理在中利用正弦定理得，，當(dāng)二面角的平面角大于時，，則，則，當(dāng)時，，則可取3，4，5，6，7，8共六個值；當(dāng)時，，則可取共三個值；當(dāng)時，，則不存在，從1～8個數(shù)字中任取兩個數(shù)字標(biāo)簽貼在頂點(diǎn)的樣本空間有56個樣本點(diǎn)，其中使得二面角的平面角大于的樣本點(diǎn)有9個，所以.

廣東省中山市某校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.只有一項(xiàng)符合題目要求.1.某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，若樣本中型號的產(chǎn)品有8件，則樣本容量（）A.80 B.40 C.60 D.100【答案】B【解析】某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，若樣本中型號的產(chǎn)品有8件，則有，解得.故選：B.2.在樣本頻率分布直方圖中共有9個小矩形，若其中1個小矩形的面積等于其他8個小矩形面積和的，且樣本容量為210，則該組的頻數(shù)為（）．A.28 B.40 C.56 D.60【答案】D【解析】設(shè)該小矩形的面積為x，9個小矩形的總面積為1，則其他8個小矩形的面積和為，所以，所以，所以該組的頻數(shù)為．故選：D.3.已知事件相互獨(dú)立，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，則“兩個事件至少有一個發(fā)生”的概率為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】

因?yàn)槭录?/p>

相互獨(dú)立，所以.則“兩個事件

至少有一個發(fā)生”

的概率為,故選：C4.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.5.若平面的法向量為，平面的法向量為，直線l的方向向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A，由，得，則，解得，故A錯誤；對于B，由，得，則，解得，故B錯誤；對于C，由，得，，則與平面法向量不垂直，則與平面不平行，故C錯誤；對于D，由，得，，，則，故D正確.故選：D．6.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色?綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次性任意取出2張卡片，則下列事件，與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的個數(shù)為（）①2張卡片都不是紅色；②2張卡片恰有1張是紅色；③2張卡片至少有1張是紅色；④2張卡片至多一張為紅色.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】6張卡片中一次性任意取出2張卡片的情況有：“2張都是紅色”、“2張都是藍(lán)色”、“2張都是綠色”、“1張紅色和1張藍(lán)色”、“1張紅色和1張綠色”、“1張藍(lán)色和1張綠色”.“2張卡片都不是紅色”與“2張卡片都為紅色”是互斥而不對立事件；“2張卡片恰有1張是紅色”與“2張卡片都為紅色”是互斥而不對立事件；“2張卡片至少有1張是紅色”與“2張卡片都為紅色”不是互斥事件；“2張卡片至多一張為紅色”與“2張卡片都為紅色”是對立事件.所以事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的個數(shù)為2.故選：.7.把某班五名學(xué)生在一周內(nèi)閱讀數(shù)學(xué)競賽書籍的時間1，2，3，4，5（單位：小時）作為一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)增加統(tǒng)計兩位學(xué)生，他們一周內(nèi)閱讀數(shù)學(xué)競賽書籍的時間分別為正整數(shù)m、n（單位：小時），與原有樣本數(shù)據(jù)一起構(gòu)成一組新樣本數(shù)據(jù)，與原組樣本數(shù)據(jù)比較，下列說法正確的是（）A.若，則方差不變 B.若極差不變，則C.若，則中位數(shù)變大 D.若平均數(shù)不變，則【答案】D【解析】原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，原數(shù)據(jù)的方差為：.對A：若，則滿足，此時所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，方差為：，方差變小，故A錯誤；對B：若極差不變，由可能是，，……，不一定要，故B錯誤；對C：若，如，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的中位數(shù)也是3，沒變，故C錯誤；對D：新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，由，故D正確.故選：D.8.正四面體的棱長為1，若且滿足，則動點(diǎn)的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，動點(diǎn)的軌跡所形成的空間區(qū)域是以為鄰邊的平行六面體除去正四面體余下的部分，如圖所示，為的中點(diǎn)，為四面體的高，已知是正四面體，可得，則，，所求體積.故選：B.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.某市教育局對全市高三年級的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，他們的身高都處在五個層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計圖表，則樣本中（）A.女生人數(shù)多于男生人數(shù)（）B.層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)C.層次男生人數(shù)為24人D.層次人數(shù)最少【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，由題可知，女生層次的有18人，層次的有48人，層次的有30人，層次的有18人，層次的有6人，故女生共有人，男生有人，所以女生人數(shù)多于男生人數(shù)，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，由扇形圖知，男生層次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，錯誤；對于C選項(xiàng)，層次的有人，故正確；對于D選項(xiàng)，層次的有人，層次的有人，故層次的人數(shù)不是最少的.故選：AC.10.設(shè)樣本空間，且每個樣本點(diǎn)是等可能的，已知事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與C相互獨(dú)立 B.事件A，B，C兩兩獨(dú)立C. D.【答案】BCD【解析】由題意，可得，對于A中，事件，可得，且，所以，所以事件與不相互獨(dú)立，所以A錯誤；對于B中，由，所以事件兩兩相互獨(dú)立，所以B正確；對于C中，事件，所以，所以C正確；對于D中，由，所以D正確.故選：BCD.11.在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線平面B.三棱錐體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，如圖，連接，由題意可知平面，平面，故，，且平面，故平面，平面，故，同理可證，平面，故直線平面，A正確；對于B，因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，故點(diǎn)P到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐體積為定值，B正確；對于C，連接，則正三角形，因?yàn)?，故異面直線與所成角等于直線與所成角；在正中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)P為的中點(diǎn)，即時，與所成角最大，為，當(dāng)P與或C重合時，與所成角最小，為，故異面直線與所成角的取值范圍是，C錯誤；對于D，設(shè)正方體棱長為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，由A可知平面，故可作為平面法向量，設(shè)直線與平面所成角為，故，當(dāng)時，取最小值，則取最大值，即直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確，故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，，則______.【答案】【解析】如下圖所示：，平行六面體棱長均1，，又，，，．故答案為：．13.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.假設(shè)甲?乙?丙是三位投壺游戲參與者，且甲?乙?丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的且互不影響.若甲?乙?丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投中的概率為__________.【答案】或0.5或50%【解析】因?yàn)榧?乙?丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的且互不影響，則這3人中至多有1人投中的概率為.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為，已知空間中一條直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】【解析】由題意，直線為，經(jīng)過點(diǎn)，且為一個方向向量，所以，故點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，且，是棱的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方向向量與平面的法向量；（3）求直線與平面所成角的度數(shù)．解：（1）由底面ABCD是邊長為的正方形，底面，且，是棱PD的中點(diǎn)，由圖知，，，，，，．（2）由（1）知，直線AM，PB的方向向量分別為，，因，，設(shè)是平面PCD的一個法向量，則，故可?。?）設(shè)直線與平面所成角為，由（2），，因，故直線PB與平面PCD所成角為．16.某班元旦聯(lián)歡會上開展趣味抽獎小游戲，在不透明的盒子里裝有標(biāo)號為1，2的兩個紅球和標(biāo)號為3，4，5的三個白球，五個小球除顏色和標(biāo)號外完全相同，參與游戲的同學(xué)從中任取1個，有放回地抽取2次，根據(jù)抽到小球的情形分別設(shè)置一，二，三等獎．班委會討論了以下兩種規(guī)則：規(guī)則一：若抽到兩個紅球且標(biāo)號和為偶數(shù)獲一等獎，抽到兩個白球且標(biāo)號和為偶數(shù)獲二等獎，抽到兩個球標(biāo)號和為奇數(shù)獲三等獎，其余不獲獎；規(guī)則二：若抽到兩個紅球且標(biāo)號和為奇數(shù)獲一等獎，抽到兩個球的標(biāo)號和為5的倍數(shù)獲二等獎，抽到兩個球標(biāo)號和為偶數(shù),且不是5的倍數(shù)獲三等獎，其余不獲獎．（1）求兩種規(guī)則下獲得二等獎的概率；（2）請問哪種規(guī)則的獲獎概率更大，并說明理由．解：（1）據(jù)題意，兩次抽取小球的所有可能結(jié)果為：記規(guī)則一獲得二等獎為事件，記規(guī)則二獲得二等獎為事件，事件包含五個樣本點(diǎn)，故，事件包含五個樣本點(diǎn)，故．所以兩種規(guī)則下獲得二等獎的概率均為.（2）兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大．理由如下：記規(guī)則一獲得一、二、三等獎分別為事件由(1)可知事件包含兩個樣本點(diǎn)，所以事件包含,共12個樣本點(diǎn)，所以由(1)知，所以規(guī)則一的獲獎概率為記規(guī)則二下獲得一、二、三等獎分別為事件事件包含兩個樣本點(diǎn)，；事件包含，共十二個樣本點(diǎn)，；由(1)知，所以規(guī)則二的獲獎概率.所以兩種規(guī)則的獲獎概率一樣大．17.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)..（1）若以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向建立右手系空間直角坐標(biāo)系，請?jiān)诖痤}卡圖中畫出坐標(biāo)系，并證明；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的角的正弦值最??？（1）證明：在直三棱柱中，有，因?yàn)椋?，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，平面，所以平面，而平面，所以，因此兩兩互相垂直，于是建立為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向的右手系空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示.（2）解：設(shè)，由（1）所建立的空間直角坐標(biāo)系可知：，，設(shè)平面的法向量為，則