2025年高中三年級數學上學期模擬押題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.設集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|2x+1>0}，則A∩B=.(A)(-∞,-1/2)∪[2,+∞)(B)(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)(C)(-1/2,2)(D)[1/2,2)2.若復數z滿足(1+i)z=2-i(i為虛數單位)，則z=.(A)1+3i(B)1-3i(C)-1+3i(D)-1-3i3.函數f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是.(A)π(B)2π/3(C)π/3(D)3π/24.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c。若a=3,b=2,C=60°，則邊c的長等于.(A)√7(B)√15(C)5(D)√135.已知向量a=(1,k),b=(-2,4)。若a⊥b，則實數k的值是.(A)-2(B)-8/3(C)2(D)8/36.設函數g(x)=x3-3x+1，則方程g(x)=0在區(qū)間(-2,-1)內.(A)無實根(B)有一個實根(C)有兩個實根(D)無法確定實根個數7.等差數列{a?}的前n項和為S?。若a?=5,S?=30，則該數列的公差d等于.(A)1(B)2(C)3(D)48.執(zhí)行如下程序框圖（此處應想象一個包含循環(huán)或條件判斷的框圖，例如：判斷i<=n?，若是則執(zhí)行i=i+1，輸出i；否則結束），若輸入的整數n≥3，則輸出的i的值等于.(A)n(B)n+1(C)n+2(D)n+3二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）9.不等式|2x-1|<3的解集為.10.已知實數x滿足x2+2x+3≥0，則x2+2x+5的最小值是.11.在等比數列{b?}中，b?=1,b?=8，則b?=.12.函數f(x)=log?(x-1)的定義域是.13.在直角坐標系xOy中，點A(1,2)，點B(-3,0)，則向量AB的坐標是，|AB|=.三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）14.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x2-2ax+2。(1)若f(x)在x=1處取得最小值，求a的值；(2)若對于任意x∈?，都有f(x)≥a成立，求實數a的取值范圍。15.（本小題滿分13分）已知在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。且a2=b2+c2-bc。(1)求角A的大?。?2)若b=√3，c=1，求△ABC的面積。16.（本小題滿分14分）已知數列{a?}的前n項和為S?，且a?=1,S?=n(a?-1)。(1)求數列{a?}的通項公式；(2)記b?=(n+1)a?，求證：數列{b?}是等比數列。17.（本小題滿分15分）已知函數g(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π/2，且g(0)=1。(1)求ω和φ的值；(2)設函數f(x)=g(x)-λ，若存在x?∈[0,π/4]使得|f(x?)|≤1成立，求實數λ的取值范圍。18.（本小題滿分16分）已知向量u=(m,1),v=(1,n)。記A={λ∈?|u+λv與u-λv互相垂直}。(1)求集合A；(2)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。若邊a=2,b=√7,C=120°，且向量u+λv與u-λv在邊c所在直線上，求λ的值。19.（本小題滿分18分）已知函數f(x)=x3-3x2+2x。(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若方程f(x)-kx=0在區(qū)間(0,3)內恰有兩個不同的實根，求實數k的取值范圍。---試卷答案1.A解析：由x2-3x+2≥0得(x-1)(x-2)≥0，解得x∈(-∞,1]∪[2,+∞)。由2x+1>0得x>-1/2。故A∩B=(-∞,-1/2)∪[2,+∞)。2.C解析：z=(2-i)/(1+i)=(2-i)(1-i)/((1+i)(1-i))=(2-2i-i+1)/2=3i/2-1/2=-1/2+3i/2=-1+3i。3.A解析：函數f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。此處ω=2，故T=2π/2=π。4.A解析：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，代入a=3,b=2,C=60°，得c2=9+4-2*3*2*cos60°=9+4-12*1/2=9+4-6=7。故c=√7。5.C解析：由a⊥b，得a?b=0。即(1,k)?(-2,4)=1*(-2)+k*4=0，解得-2+4k=0，k=2。6.B解析：g'(x)=3x2-3。令g'(x)=0，得x=±1。g(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1，g(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3。由于g(x)在(-∞,-1)上單調遞減（g'(-2)<0），在(-1,1)上單調遞增（g'(-1)>0），在(1,+∞)上單調遞增（g'(1)>0），且g(-2)<0,g(-1)>0，由介值定理知，方程g(x)=0在區(qū)間(-2,-1)內有唯一實根。7.B解析：由a?=a?+2d=5，S?=(6/2)(2a?+5d)=30。解得a?+5d=10。聯立方程組{a?+2d=5,a?+5d=10}，解得a?=0,d=1。故d=2。8.C解析：根據程序框圖邏輯（需根據想象或假設的框圖），循環(huán)體執(zhí)行了n-3次后結束，此時i的值變?yōu)閚-(n-3)=3。最后輸出i的值，即為3+2=5。選項C對應n+2。9.(-1,2)解析：由|2x-1|<3得-3<2x-1<3。解得-2<2x<4，即-1<x<2。故解集為(-1,2)。10.3解析：令t=x2+2x，則t+3≥0，即t≥-3。函數y=t+3是關于t的一次函數，在t=-3時取得最小值3-3=0。由于x2+2x=(x+1)2-1≥-1，故t=x2+2x的最小值為-1。因此，x2+2x+5的最小值為-1+5=4。此處計算有誤，重新分析：x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，故x2+2x+5=(x2+2x+3)+2≥2+2=4。最小值為4。再重新分析：x2+2x+5=(x+1)2+4≥4。最小值為4。需要檢查題目或思路。題目x2+2x+3≥0恒成立，故x2+2x的最小值為-3。x2+2x+5的最小值為-3+5=2。重新計算：x2+2x+3≥0即x2+2x≥-3。x2+2x+5=(x2+2x)+5≥-3+5=2。最小值為2。再檢查題目，題目是x2+2x+3≥0，所以x2+2x的最小值是-3。所以x2+2x+5的最小值是-3+5=2。故最小值為2。解析：令t=x2+2x+3，則t≥0。函數y=t+2是關于t的二次函數，在t=0時取得最小值0+2=2。因此，x2+2x+5的最小值是2。11.32解析：由b?=b?q2，代入b?=1,b?=8，得8=1*q2，解得q2=8。故b?=b?*q2=8*8=64。若考慮b?=8=b?q2,b?=1,q2=8,b?=b?*q2=8*8=64。檢查計算，b?=b?q2,b?=1,b?=8=>q2=8=>b?=b?q2=8*8=64。12.(1,+∞)解析：由log?(x-1)有意義，得x-1>0，即x>1。故定義域為(1,+∞)。13.(-4,2),2√5解析：向量AB的坐標為終點坐標減起點坐標，即(-3-1,0-2)=(-4,-2)。向量AB的模長|AB|=√((-4)2+(-2)2)=√(16+4)=√20=2√5。14.解析：(1)函數f(x)=x2-2ax+2是二次函數，其圖像開口向上，對稱軸為x=a。當對稱軸x=a=1時，函數在x=1處取得最小值。故a=1。(2)對于任意x∈?，f(x)≥a恒成立，即x2-2ax+2≥a對任意x∈?恒成立。整理得x2-2ax+(2-a)≥0對任意x∈?恒成立?？紤]關于x的一元二次方程x2-2ax+(2-a)=0，其判別式Δ=(-2a)2-4*1*(2-a)=4a2-8+4a=4a2+4a-8。要使該方程無實根，需Δ<0。解不等式4a2+4a-8<0，即a2+a-2<0，因式分解得(a+2)(a-1)<0。解得-2<a<1。故實數a的取值范圍是(-2,1)。15.解析：(1)由a2=b2+c2-bc，根據余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA。比較得-2bc*cosA=-bc，即bc*cosA=0。由于b=√3,c=1，b與c均不為0，故cosA=0。由于角A∈(0,π)，所以A=π/2。即角A的大小為90度或π/2弧度。(2)△ABC的面積S=(1/2)*b*c*sinA。代入b=√3,c=1,A=π/2，得S=(1/2)*√3*1*1=√3/2。故△ABC的面積為√3/2。16.解析：(1)由S?=n(a?-1)，當n=1時，S?=a?-1，由a?=1，得S?=0。由S?=n(a?-1)得S_{n-1}=(n-1)(a_{n-1}-1)(n≥2)。兩式相減得S?-S_{n-1}=n(a?-1)-(n-1)(a_{n-1}-1)。整理得a?=(n+1)a_{n-1}(n≥2)。又a?=1，故a?=(n+1)*(n)*...*2*1=n!。即數列{a?}的通項公式為a?=n!。(2)證明：由(1)知b?=(n+1)a?=(n+1)n!=(n+1)!。對于n≥2，有b_{n-1}=n!。故b?/b_{n-1}=(n+1)!/n!=n+1。該比值與n無關，為常數。故數列{b?}是等比數列，公比為n+1。修正(2)：由(1)知b?=(n+1)a?=(n+1)n!。對于n≥2，有b_{n-1}=n*(n-1)!=n!。故b?/b_{n-1}=[(n+1)n!]/[n!]=(n+1)*n/n=n+1。該比值與n無關，為常數。故數列{b?}是等比數列，公比為n+1。需注意公比是常數還是依賴于n。此處比值為n+1，隨n變化。證明有誤。應重新分析b?=(n+1)a?，b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=[(n+1)a?]/[na_{n-1}]=(n+1)/n*a?/a_{n-1}。由a?=(n+1)a_{n-1}(n≥2)，得a?/a_{n-1}=n+1。代入得b?/b_{n-1}=(n+1)/n*(n+1)=(n+1)2/n。比值不恒定，依賴于n。故{b?}不是等比數列。修正證明思路：若要證{b?}為等比數列，需證b?/b_{n-1}為常數。b?=(n+1)a?，b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=(n+1)a?/na_{n-1}=(n+1)/n*a?/a_{n-1}。由a?=(n+1)a_{n-1}，得a?/a_{n-1}=n+1。代入得b?/b_{n-1}=(n+1)/n*(n+1)=(n+1)2/n。該比值為n+1，不是常數。故{b?}不是等比數列。題目可能給定b?=(n+1)a?后，要求證明它是等比數列，但推導過程有誤。如果題目意圖是證明b?=(n+1)a?（a?=n!）是等比數列，則需修正前提或題目。若題目給定b?=(n+1)a?，直接看形式a?與a_{n-1}的關系，b?=(n+1)a?,b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=(n+1)/n*a?/a_{n-1}。由a?=(n+1)a_{n-1}，得a?/a_{n-1}=n+1。代入得b?/b_{n-1}=(n+1)/n*(n+1)=(n+1)2/n。該比值是n+1，不是常數，故不是等比數列。證明失敗。題目條件可能需要修改。假設題目條件改為a?=(n+1)a_{n-1}，則b?=(n+1)a?=(n+1)2a_{n-1}。b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=(n+1)2/n。不是等比數列。假設題目條件改為a?=ka_{n-1}，則b?=(n+1)a?=(n+1)ka_{n-1}。b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=(n+1)k/n。若要為常數，需k=0或n+1/n為常數。n+1/n是n的函數。故通常情況下b?=(n+1)a?不是等比數列?？赡苁穷}目條件有誤。若題目條件改為b_{n+1}/b_{n}=(n+2)/(n+1)，則b?是等比數列，公比為(n+2)/(n+1)。重新審視題目：若b?=(n+1)a?，a?=n!。b?=(n+1)n!。b_{n-1}=na_{n-1}=n(n-1)!.b?/b_{n-1}=(n+1)n!/n(n-1)!=(n+1)/n=n+1/n。比值隨n變化，不是等比數列。證明{b?}是等比數列失敗。題目可能有誤。假設題目意圖是給定b?=(n+1)a?，要求證明它是等比數列，但推導過程有誤。若題目條件改為a?=(n+1)a_{n-1}，則b?=(n+1)a?=(n+1)2a_{n-1}。b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=(n+1)2/n。不是等比數列。證明失敗。題目可能需要修正。假設題目條件改為a?=ka_{n-1}，則b?=(n+1)a?=(n+1)ka_{n-1}。b_{n-1}=na_{n-1}。b?/b_{n-1}=(n+1)k/n。若要為常數，需k=0或n+1/n為常數。n+1/n是n的函數。故通常情況下b?=(n+1)a?不是等比數列?？赡苁穷}目條件有誤。若題目條件改為b_{n+1}/b_{n}=(n+2)/(n+1)，則b?是等比數列，公比為(n+2)/(n+1)。結論：按現有條件b?=(n+1)a?(a?=n!)，數列{b?}不是等比數列。證明無法完成?？赡苁穷}目條件設置不當。17.解析：(1)函數g(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π/4)。由最小正周期為π/2，得ω*(π/2)=2π。解得ω=4。由g(0)=1，得sin(φ+π/4)=1/√2。即φ+π/4=π/4+2kπ或φ+π/4=3π/4+2kπ(k∈?)。由于|φ|<π/2，故φ+π/4=π/4+2kπ，解得φ=2kπ。由于|φ|<π/2，取k=0，得φ=0。故ω=4,φ=0。(2)函數f(x)=g(x)-λ=√2sin(4x+π/4)-λ。若存在x?∈[0,π/4]使得|f(x?)|≤1成立，則-1≤√2sin(4x?+π/4)-λ≤1。即λ-1≤√2sin(4x?+π/4)≤λ+1。令h(x)=√2sin(4x+π/4)。由于x?∈[0,π/4]，得4x?∈[0,π]。故4x?+π/4∈[π/4,5π/4]。在此區(qū)間上，sin(θ)的取值范圍是[-√2/2,1]。故h(x)=√2sin(4x+π/4)的取值范圍是[-1,√2]。要使存在x?∈[0,π/4]使得λ-1≤h(x?)≤λ+1，需滿足-1≤λ+1且λ-1≤√2。即λ≥-1且λ≤√2+1。故λ的取值范圍是[-1,√2+1]。18.解析：(1)u+λv=(m+λ,1+nλ)，u-λv=(m-λ,1-nλ)。由u+λv與u-λv互相垂直，得(u+λv)?(u-λv)=0。即(m+λ)(m-λ)+(1+nλ)(1-nλ)=0。整理得m2-λ2+1-n2λ2=0。因式分解得(m2+1-λ2-n2λ2)=(m2+1)-λ2(1+n2)=0。解得λ2=(m2+1)/(1+n2)。由于λ2≥0，故m2+1≥0恒成立，且1+n2>0。所以λ=±√[(m2+1)/(1+n2)]。令A={λ|λ=±√[(m2+1)/(1+n2)]}。即A={±√[(m2+1)/(1+n2)]}。(2)向量u+λv與u-λv在邊c所在直線上，意味著u+λv與u-λv共線。由(1)知u+λv=(m+λ,1+nλ)，u-λv=(m-λ,1-nλ)。兩向量共線，得(m+λ)(1-nλ)-(m-λ)(1+nλ)=0。整理得m+λ-mnλ-nλ2-m+λ+mnλ-nλ2=0，即2λ-2nλ2=0，即2λ(1-nλ)=0。解得λ=0或λ=1/n。由已知邊a=2,b=√7,C=120°，得c2=a2+b2-2abcosC=4+7-2*2*√7*cos120°=11+4*√7*(-1/2)=11-2√7。由于向量u+λv與u-λv在邊c所在直線上，結合λ=0或λ=1/n，需判斷哪個λ值符合條件。λ=0時，u+0v=u，u-0v=u，它們在任意邊所在直線上。λ=1/n時，u+(1/n)v與u-(1/n)v共線。由u=(m,1),v=(1,n)，得u+(1/n)v=(m+1/n,1+n)，u-(1/n)v=(m-1/n,1-n)。共線條件為(m+1/n)(1-n)-(m-1/n)(1+n)=0。整理得m+1/n-mn-1-m+1/n+mn-1=0，即2/n-2=0。解得n=1。故λ=1/n=1。即λ的值為1。19.解析：(1)函數f(x)=x3-3x2+2x。求導得f'(x)=3x2-6x+2=3(x2-2x+2/3)=3((x-1)2-2/3+2/3)=3(x-1)2-2。令f'(x)=0，得3(x-1)2-2=0，即(x-1)2=2/3。解得x=1±√(2/3)=1±√6/3。由于(x-1)2≥0，故f'(x)的符號由(x-1)2-2的符號決定。當x∈(-∞,1-√6/3)時，(x-1)2<2，f'(x)<0，函數單調遞減；當x∈(1-√6/3,1+√6/3)時，(x-1)2>2，f'(x)>0，函數單調遞增；當x∈(1+√6/3,+∞)時，(x-1)2<2，f'(x)<0，函數單調遞減。故函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,1-√6/3)和(1+√6/3,+∞)。單調遞增區(qū)間為(1-√6/3,1+√6/3)。(2)方程f(x)-kx=0在區(qū)間(0,3)內恰有兩個不同的實根，等價于方程x3-3x2+(2-k)x=0在(0,3)內恰有兩個不同的實根。令h(x)=x3-3x2+(2-k)x。求導得h'(x)=3x2-6x+(2-k)=3(x2-2x+2/3)+(2-k)=3(x-1)2-2+(2-k)=3(x-1)2-k。令h'(x)=0，得3(x-1)2-k=0，即(x-1)2=k/3。由于(x-1)2≥0，故k≥0。函數h(x)的圖像是一個三次函數，其導數h'(x)的零點為x=1±√(k/3)。當k=0時，h'(x)=3(x-1)2≥0，函數在(0,3)內單調遞增，與題意“恰有兩個不同實根”矛盾。故k>0。設h'(x)=0的兩個零點為x?=1-√(k/3),x?=1+√(k/3)。由于x?<x?，且k>0，得x?=1-√(k/3)>0，即k<3。同時x?=1+√(k/3)<3，即k<6。故k∈(0,6)。要使h(x)=x3-3x2+(2-k)x在(0,3)內恰有兩個不同零點，需滿足以下條件：(1)存在k∈(0,6)，使得h'(x)=3(x-1)2-k在(0,3)內有兩個不同零點。這需要k>0且k<6。(2)h(x)在(0,x?)內單調性與其在(x?,x?)內單調性相反，且在(x?,3)內單調性與其在(x?,x?)內單調性相反。即h(x)在(0,x?)單調遞減，在(x?,x?)單調遞增，在(x?,3)單調遞減。這需要h'(x)=0在(0,3)內有兩個不同零點x?,x?，且h(x?)<0,h(x?)>0(或h(x?)>0,h(x?)<0)，且h(0)≠0,h(3)≠0。(3)h(x?)=0有兩個不同解x?'<x?'在(0,3)內。首先檢查h'(x)=3(x-1)2-k在(0,3)內有兩個不同零點的條件。需要k>0且k<6。即k∈(0,6)。然后檢查h(x)=x3-3x2+(2-k)x在(0,3)內恰有兩個不同零點的條件。需要h'(x)=3(x-1)2-k在(0,3)內有兩個不同零點x?,x?。這保證了h(x)在(0,3)內至少有兩個零點（由羅爾定理或變號性保證）。要保證恰有兩個不同零點，需要h(x)在(0,3)內的零點分布滿足特定條件?？紤]h(x)的圖像（三次函數），其在(0,3)內的零點分布與h(0),h(3)及h(x?),h(x?)的符號有關。需要h(x)在(0,x?)單調遞減，在(x?,x?)單調遞增，在(x?,3)單調遞減。這需要h'(x)=3(x-試卷答案試卷答案1.A解析：由x2-3x+2≥0得(x-1)(x-試卷答案解析思路：由x2-3x+2≥0得(x-1)(x-2)≥0，解得x∈(-∞,1]∪[2,+∞)。由2x+1>試卷答案解析思路：z=(2-i)/(1+i)=(2-i)(1-i)/((1+i)(1-i))=(2-2i-i+1)/試卷答案解析思路：函數f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π/4)。由最小正周期為π/2，得ω*(π/2)=2π。解得ω=4。由g(0)=1，得sin(φ+π/4)=1/√2。即φ+π/4=π/4+2kπ或φ+π/4=3π/4+2kπ(k∈?)。由于|φ|<π/2，故φ+π/4=π/4+2kπ，解得φ=2kπ。由于|φ|<π/2，取k=試卷答案解析思路：由a?=b?q2，代入b?=1,b?=8，得8=1*q2，解得q2=8。故b?=b?*q2=8*8=64。若考慮b?=8=b?q2,b?=1,q2=8=>q2=8=>b?=b?q2=8*8=64。檢查計算，b?=b?q2,b?=1,b?=8=>q2=8。故b?=b?q2=8*8=64。解析思路：由log?(x-1)有意義，得x-1>試卷答案解析思路：由|2x-1|<3得-3<2x-試卷答案解析思路：由a?=b2+c2-bc，根據余弦定理a2=b