試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)安徽省合肥市第四十五中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）2．將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．3．如果（x，y均不為0），那么下列各式中正確的是（）A． B． C． D．4．關(guān)于某個(gè)函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說(shuō)出了該函數(shù)的一一個(gè)特征．甲：函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)；乙：函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第四象限；丙：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是（

）A． B． C． D．5．如圖，直線，直線分別交，，于點(diǎn)，，，直線分別，，于點(diǎn)，，，若，，則的值等于（

）A． B． C． D．6．拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，下列條件中不能判定的是（

）A． B．C． D．8．二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（

）A． B．C． D．9．已知兩個(gè)負(fù)數(shù)滿足，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，已知四邊形是矩形，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，下列說(shuō)法中，正確的有（）個(gè)①的最小值為；②的最小值為；③的最小值為；④的最小值為．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．已知線段，則線段a和b的比例中項(xiàng)為．12．大自然是美的設(shè)計(jì)師，一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度為（結(jié)果保留根號(hào)）13．如圖，已知反比例函數(shù)和在第二象限的圖象，過(guò)上任意一點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，則．14．如圖，為內(nèi)部一點(diǎn)，，、分別平分、．（1）．（2）連接，過(guò)作分別交、于點(diǎn)、，若，，則點(diǎn)的值為．三、解答題15．已知某二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）判斷點(diǎn)是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)以原點(diǎn)為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出使它與的相似比為，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)用無(wú)刻度直尺在上找點(diǎn)，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）17．如圖，在和中，．(1)求證：．(2)求證：．18．圖①是一座拱橋的示意圖，相鄰兩支柱間的距離為米（即米），拱橋頂點(diǎn)到橋面的距離米，將其置于如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的表達(dá)式為(1)求的值；(2)求支柱的高．19．如圖，在中，的平分線為，交于點(diǎn)E．(1)求證：(2)若，求的值20．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于、B兩點(diǎn)．垂直于y軸，垂足為D，連接．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．(2)求的面積．(3)直接寫出使反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍．21．合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)九年級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組利用課余時(shí)間對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)生產(chǎn)和銷售進(jìn)行了調(diào)研，收集了以下素材，請(qǐng)你完成探索任務(wù)．某種農(nóng)產(chǎn)品的銷售方案制定問(wèn)題素材1該種農(nóng)產(chǎn)品的成本（元）與月份之間成本，近似符合二次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)圖象如圖所示素材2該農(nóng)產(chǎn)品的售價(jià)（元）與月份之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知3月份的售價(jià)為6元，9月份的售價(jià)為2元素材3成員小王同學(xué)的爸爸對(duì)孩子們的調(diào)研很感興趣，決定在這種農(nóng)產(chǎn)品每千克的收益最大的月份采購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售．任務(wù)1：該農(nóng)產(chǎn)品一年共有___________個(gè)月份成本不高于4元．任務(wù)2：求售價(jià)（元）與月份之間的函數(shù)表達(dá)式任務(wù)3：小王爸爸應(yīng)該在幾月份投資？22．如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)若，求證：．(3)在（2）的條件下，求的值．23．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)將該二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到新的二次函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)上任意的一點(diǎn)，也在函數(shù)圖象上，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《安徽省合肥市第四十五中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BABDDDBBCB1．B【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是，故選：A．3．B【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)題意可設(shè)，（），再把，代入各選項(xiàng)中計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，且，∴可設(shè)，（），∴，，，，∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有B選項(xiàng)中的式子正確，符合題意，故選：B．4．D【分析】結(jié)合給出的函數(shù)的特征，在四個(gè)選項(xiàng)中依次判斷即可．【詳解】解：A．函數(shù)的圖象過(guò)二，四象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，選項(xiàng)A不符合題意；B．函數(shù)的圖象在一，三象限，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，選項(xiàng)B不符合題意；C．函數(shù)的圖象過(guò)一，三象限，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)C不符合題意；D．函數(shù)的圖象過(guò)二，四象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)平行線分線段成比列得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】直線，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線線段成正比例，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出問(wèn)題所求的關(guān)鍵．6．D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．通過(guò)直接計(jì)算各點(diǎn)函數(shù)值，比較大小即可．【詳解】∵拋物線解析式為，∴對(duì)于點(diǎn)，有；對(duì)于點(diǎn)，有；對(duì)于點(diǎn)，有．∵，∴．故選：D．7．B【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟記相關(guān)判定定理即可求解．【詳解】解：∵與中，，A.，∴能判定；B.，∴不能判定；

C.，∴，∴能判定；D.，∴能判定．故選：B．8．B【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的綜合判斷；分別根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，判斷出a，c與0的大小關(guān)系，看是否矛盾即可．【詳解】解：A、一次函數(shù)的圖象與y軸交于負(fù)半軸，；二次函數(shù)的圖象開口向上，，相矛盾，故A錯(cuò)誤；B、一次函數(shù)的圖象過(guò)一、二、四象限，，；二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點(diǎn)為，在第四象限，，，故B正確；C、二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，在y軸右側(cè)，故C錯(cuò)誤；D、一次函數(shù)的圖象過(guò)一、二、三象限，；拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，，相矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：B．9．C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，推導(dǎo)出二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．通過(guò)消去參數(shù)，得到和的關(guān)系式，結(jié)合和均為負(fù)數(shù)的條件，推導(dǎo)出，代入得到關(guān)于的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出時(shí)的的取值范圍即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴∴，代入中，得，∴二次函數(shù),∴函數(shù)圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線，在時(shí)，k隨著a的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故選：C．10．B【分析】設(shè)，則，證明，得出，求出，得出，根據(jù)x的范圍即可得出的最小值，判斷①正確；根據(jù)，，求出最小值，判斷②正確；根據(jù)，得出點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)當(dāng)M、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，求出最小值即可判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)勾股定理，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最值即可，判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，即，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為，故①正確；∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，故②正確；∵，∴點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，以的中點(diǎn)M為圓心，為半徑畫弧，連接，則，根據(jù)勾股定理得：，當(dāng)M、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為：，故③錯(cuò)誤；連接，如圖所示：∵，，∴根據(jù)勾股定理得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，∴的最小值為，故④錯(cuò)誤；綜上分析可知：正確的有2個(gè)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．11．6【分析】本題考查成比例線段，掌握比例中項(xiàng)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列比例式即可得解，注意線段不能為負(fù)．【詳解】解：設(shè)線段a和b的比例中項(xiàng)為c，∴，解得：，（舍），故答案為：6．12．【分析】本題考查黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項(xiàng)（即），叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，黃金分割的比值是，即．直接利用黃金分割的定義計(jì)算即可．【詳解】解：∵為的黃金分割點(diǎn)（），的長(zhǎng)度為，∴，∴，∴．故答案為：．13．【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，則，易得，進(jìn)而證明可得，即，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：．故答案為：．14．【分析】（1）結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及角平分線的定義進(jìn)行分析，即可作答．（2）先得出平分（三角形的角平分線交于點(diǎn)），再證明，是等邊三角形，結(jié)合兩組對(duì)角相等，得出，再作圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，再根據(jù)勾股定理以及30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：（1）∵，∴∵、分別平分、．∴，∴，則，故答案為：；（2）∵、分別平分、．∴平分（三角形的角平分線交于點(diǎn)），∴，∵過(guò)作分別交、于點(diǎn)、，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，由（1）得，∴，∴，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，即，∵點(diǎn)P是的角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P是的內(nèi)心，分別過(guò)點(diǎn)P作，如圖所示：則，結(jié)合切線長(zhǎng)定理得，∵，∴，設(shè)∵是等邊三角形，，∴∵，∴，∵在中，，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．15．（1）；（2）點(diǎn)不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，理由見解析．【分析】（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式是，再把點(diǎn)代入，即可求出，即可得出解析式；（2）把點(diǎn)P的坐標(biāo)分別代入，看看兩邊是否相等即可．【詳解】解：（1）由頂點(diǎn)，可設(shè)關(guān)系式為：，將點(diǎn)代入上式可得：，解得：，∴此二次函數(shù)的關(guān)系式為．（2）點(diǎn)不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的應(yīng)用，能正確求出函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．16．(1)作圖見解析，(2)見解析【分析】本題考查了畫位似圖形，求位似圖形的點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，無(wú)刻度作圖．（1）利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)A、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后順次連接即可；（2）取格點(diǎn)，連接與交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)，則，故．【詳解】（1）解：如圖即為所求，點(diǎn)；（2）解：如圖，點(diǎn)即為所求；17．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角的和差等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先證明可得，再根據(jù)角的和差即可證明結(jié)論；（2）直接運(yùn)用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴．18．(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是特定點(diǎn)坐標(biāo)的確定；（1）由已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式即可求出的值；（2）由已知可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式可得其縱坐標(biāo)，因此的高即可求得．【詳解】（1）解：由題意得：，即：，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，即：；（2）由（1）可知，∵，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，即：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，∴．19．(1)證明見解析(2)【分析】本題重點(diǎn)考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，本題中熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及常用結(jié)論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)可以得到，同時(shí)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，即完成求證．（2）先令，根據(jù)三角形相似以及，可以推導(dǎo)得到，然后利用角平分線上的點(diǎn)到線段兩邊距離相等推到得到的值，利用得到的值，最后得到的值，即完成求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)，由已知條件可得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的角平分線，∴和在和邊上的高相等，∴，∴，∵，∴，∴，∴．答：的值為．20．(1)，(2)(3)或【分析】（1）直接根據(jù)待定系數(shù)法求兩個(gè)函數(shù)解析式即可；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則可知，然后得出邊上的高根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的部分即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，∴將分別代入，，得，即，∴一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為；（2）聯(lián)立，即，解得：，（即為點(diǎn)），經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的解，∴點(diǎn)，∴，邊上的高為，∴；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可得反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍即為一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的部分，∴反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖像求不等式的解集等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．任務(wù)1：7；任務(wù)2：（，且為正整數(shù)）；任務(wù)3：小王爸爸應(yīng)該在5月份投資【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．任務(wù)1：先求出當(dāng)時(shí)，或，再結(jié)合函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的所有可能的取值為，由此即可得；任務(wù)2：根據(jù)點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法求解即可得；任務(wù)3：設(shè)這種農(nóng)產(chǎn)品每千克的收益為元，根據(jù)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：任務(wù)1：令，則，解得或，即二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∵二次函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，又∵為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，的所有可能的取值為，∴該農(nóng)產(chǎn)品一年共有7個(gè)月份成本不高于4元．故答案為：7．任務(wù)2：設(shè)售價(jià)（元）與月份之間的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，所以售價(jià)（元）與月份之間的函數(shù)表達(dá)式為（，且為正整數(shù)）．任務(wù)3：設(shè)這種農(nóng)產(chǎn)品每千克的收益為元，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，的值最大，答：小王爸爸應(yīng)該在5月份投資．22．(1)證明見解析；(2)