2019年研究生類公共課數學一真題一、選擇題1.當x→0，x-tax與xk是同階無窮小，則k=______

A.1

B.2

C.3

√

D.4解析：因，若要x-tanx與xk是同階無窮小，則k=3，故選C．2.函數則x=0是f（x）的______

A.可導點，極值點

B.不可導點，極值點

√

C.可導點，非極值點

D.不可導點，非極值點解析：因為不存在，所以x=0是f（x）的不可導點；又因為f（x）連續(xù)，當x＜0時，f'（x）=-2x＞0，當0＜x＜e-1時，f'（x）=lnx+1＜0．所以x=0是f（x）的極值點．3.設{u}是單調增加的有界數列，則下列級數中收斂的是______A．B．C．D．

A.

B.

C.

D.無

√解析：由單調有界收斂定理知{un}極限存在，由有界性滿足|un|≤C，則而，因{un}收斂，故絕對收斂．4.設函數，如果對上半平面（y＞0）內的任意有向光滑封閉曲線C都有∮C-P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，那么函數P（x，y）可取為______A．B．C．D．

A.

B.

C.

D.無

√解析：由題意知，積分與路徑無關，則，故只需選擇在上半平面有連續(xù)偏導數，且滿足的P函數只有D選項．5.設A是三階實對稱矩陣，E三階單位矩陣，若A2+A=2E，且|A|=4，則二次型xTAx的規(guī)范形為______A．B．C．D．

A.

B.

C.無

√解析：設λ是A的特征值，根據A2+A=2E，得λ2+λ=2，解得λ=1或-2，所以A的特征值是1或-2，故選C．因為|A|=4，所以A的三個特征值為1，-2，-2，從而二次型xTAx的規(guī)范形為，故選C．6.如圖所示，有3張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程ai1x+ai2y+ai3z=di（i=1，2，3），組成的線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣分別記為A，，則______A．B．C．D．

A.無

√解析：由題意知3張平面無公共交點，且交線相互平行。所以，所以排除B和D選項；又因為他們兩兩相交于一條直線，故其中任意兩個平面不平行，所以2=r（A），，故選A．7.設A，B為隨機事件，則P（A）=P（B）充分必要條件是______A．P（A∪B）=P（A）+P（B）B．P（AB）=P（A）P（B）C．D．

A.

B.

C.無

√解析：，所以故選C．8.設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P{|X-Y|＜1}______

A.與μ無關，而與σ2有關

√

B.與μ有關，而與σ2無關

C.與μ，σ2都有關

D.與μ，σ2都無關解析：X～N（μ，σ2），Y～N（μ，σ2）且X與Y相互獨立，則E（X-Y）=0，D（X-Y）=D（X）+D（y）=2σ2，所以，與μ無關，而與σ2有關，故選A.二、填空題9.設函數f（u）可導，z=f（iy-ix）+xy，則

解析：因z=f（siny-sinx）+xy，則，10.微分方程2yy'-y2-2=0滿足條件y（0）=1的特解y=______．

解析：因ln（y2+2）=x+lncy2+2=cex．因y（0）=1，則c=3，則11.冪級數在（0，+∞）內的和函數S（x）=______．

12.設∑為曲面x2+y2+4x2=4（z≥0）的上側，則

解析：將曲面方程代入積分表達式有，原積分為由∑關于xOz平面對稱，則其可化為，其中為∑1曲面∑的右半側（y≥0）=，其中Dxy為∑1在xOy平面的投影，13.設A=α1，α2，α3為三階矩陣，若α1，α2線性無關，且α3=-α1+2α2，則線性方程組Ax=0的通解為______．

解析：∵α1，α2線性無關．∴r（A）≥2．∵α3=-α1+2α2∴r（A）＜3，∴r（A）=2，∴Ax=0的基礎解系中有n-r（A）=3-2=1個線性無關的解向量．∵α1-2α2+α3=0，14.設隨機變量X的概率密度為F（X）為X的分布函數，E（X）為X的數學期望，則P{F（x）＞E（X）-1}=______．

解析：方法1：方法二：易知Y=F（X）～U（0，1），三、解答題15.

設函數y（x）是微分方程滿足條件y（0）=0的特解．

（1）.求y（x）；__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：，又y（0）=0，故c=0，因此）（2）.求曲線y=y（x）的凹凸區(qū)間及拐點．__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：所以，曲線y=y（x）的凹區(qū)間為凸區(qū)間為拐點為（0，0），）16.

設a，b為實數，函數z=2+ax2+by2在點（3，4）處的方向導數中，沿方向l=-3i-4j的方向導數最大，最大值為10．

（1）.求a，b；__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：函數梯度為，則函數在點（3，4）處梯度為（6a，8b），則可知沿方向（-3，-4）的最大方向導數為且時，可知方向導數取最大值，則可知解得，則可知函數表達式為z=2-x2-y2；）（2）.求曲線z=2+ax2+by2（z≥0）的面積．__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：所求曲面面積為）（3）.求曲線y=e-xsinx（x≥0）與x軸之間圖形的面積．__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：要計算首先要計算當k=0，2，4，6，…，當k=1，3，5，7，…，）17.

設

（1）.證明：數列{an}單調遞減，且__________________________________________________________________________________________

正確答案：（證明：則{an}單調遞減．）（2）.求

__________________________________________________________________________________________

正確答案：（證明：由第一小題知，{an}單調遞減，則由夾逼準則知，）（3）.設Ω是由錐面x2+（y-z）2-（1-x）2（0≤z≤1）與平面z=0圍成的錐體，求Ω的形心坐標．__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：根據對稱性可知x=0，y=2．而xOy面的投影為x2+（y-2）2≤1，因，根據圓錐的體積計算公式根據先二后一可得因，故形心坐標為）18.

設向量組α1=（1，2，1）T，α2=（1，3，2）T，α3=（1，a，3）T為R3的一個基，β=（1，1，1）T，在這組基下的坐標為（b，c，1）T．

（1）.求a，b，c；__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：β=bα1+cα2+α3，即）（2）.證明α2，α3，β為R3的一個基．并求α2，α3，β到α1，α2，α3的過渡矩陣．__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：由于，所以r（α2，α3，β）=3，則α2，α3，β可為R3的一個基，所以（α1，α2，α3）=（α2，α3，β）P，）19.已知矩陣

（1）.求x，y；__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：A與B相似，則tr（A）=tr（B），|A|=|B|，即，）（2）.求可逆矩陣P，使得P-1AP=B．__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：A的特征值與對應的特征向量分別為：所以存在P1=（α1，α2，α3），使得B的特征值與對應的特征向量分別為：所以存在P2=（ξ1，ξ2，ξ3），使得所以，即B=P2P1-1AP1P2-1=P-1AP）20.

設隨機變量X與Y相互獨立，X服從參數為1的指數分布，Y的概率分布為P{Y=-1}=p，P{X=1}=1-p，（0＜p＜1），令Z=XY．

（1）.求Z的概率密度；__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：FZ（z）=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z，Y=-1}+P{XY≤z，Y=1}=P{X≥-z，Y=-1}+P{X≤z，Y=1}=p[1-FX（-z）]+（1-p）FX（z）．則）（2）.p為何值時，X與Y不相關?__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：X和Z不相關，則ρ=0，即Cov（X，Z）=0，得到E（XZ）=E（X）E（Z）．E（Y）=1-2p，E（Z）=E（XY）=E（X）·E（Y）=1-2p，E（X）=1，E（X2）=D（X）+（EX）2=1+1=2，E（XZ）=E（X2Y）=E（X2）·E（y）=2（1-2p），由E（XZ）=E（X）·E（Z）得2（1-2p）=1-2p，解得：．）（3）.X與Z是否相互獨立?__________________________________________________________________________________________

正確答案：（解：A={X＞1}，B={Z＜1}，因P（AB）≠P（A）P（B），則X與Z不獨立．）21.設總體X的概率密度為

其中μ是已知參數，σ＞0是未知參數，A是常數，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣