江蘇省連云港市2025-2026學年高三上學期期中調研考試數學試題一、單選題1．已知復數，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，若，則（

）A．1 B． C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．若關于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．函數的圖象的對稱軸方程為（

）A．， B．，C．， D．，6．已知，且，，，則（

）A． B． C． D．7．已知函數，，的定義域都為，其中為奇函數，為偶函數，且，，則函數的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知一個紅球和三個半徑為3的白球，這四個球兩兩外切，且它們都內切于一個半徑為7的黑球，則紅球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若，為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則直線（

）A．可以與，都垂直 B．至少與，中一條相交C．至多與，中一條相交 D．至少與，中一條平行10．在中，為的中點，為的中點，若，且的面積為，則（

）A． B．C． D．的最小值為11．已知函數，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數列，對于任意的正整數，則（

）A． B．是極大值點C． D．三、填空題12．某校報告廳第一排有22個座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，則這個報告廳共有個座位.13．設，且，則.14．若函數在區(qū)間上有零點，則實數的取值范圍為．四、解答題15．設等比數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和為，證明：.16．在中，，，.(1)求；(2)求的角平分線的長.17．已知多面體的底面是正方形，底面，，.(1)證明：平面平面；(2)設.（i）當時，求直線與平面所成角的正弦值；（ii）若二面角的大小為，求的值.18．已知橢圓：的焦距為2，且經過點.(1)求橢圓的方程；(2)若，是橢圓上的兩個點，且，證明：為定值；(3)將橢圓上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到曲線.若點，點，在曲線上，且，求的最大值.19．已知函數，直線：.(1)若直線與曲線相切，求實數的值；(2)證明：對于，，使得當時，直線恒在曲線上方；(3)若直線與曲線有三個不同的交點，且從左到右的三個交點的橫坐標依次為，，，證明：.

參考答案1．A解析：因為復數，則，則的虛部為.故選：A.2．C解析：因為集合，，又因為，當即時，，不符合題意；當即時，，符合題意；則.故選：C.3．B解析：假設，，有，即充分性不成立；若，則有且，即必要性成立；綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：B．4．C解析：當時，不等式為，此時解集不為空集，不符合題意，當時，若解集為空集，則，解得，當時，此時不等式的解集一定不為空集，故不符合題意，綜上可得,故選：C5．A解析：由題意可知：，即，所以對稱軸方程為，解得，故選：A6．D解析：由，，將其代入，得，展開得，整理得，又，，，所以，兩邊除以，得，解得．故選：D．7．D解析：是奇函數，所以，又由，得①，因為是偶函數，所以，又由，得②，聯(lián)立①②可解得，所以，令，解得或，當時，，且，故，單調遞增；當時，，故，單調遞減；因此，在處取得極大值，也是最大值，．故選：D．8．C解析：如圖，作出符合題意的圖形，設三個半徑為3的白球的球心分別為，設紅球半徑為，球心為，連接，則在平面上的射影為底面正三角形的外心，可得，三棱錐為正三棱錐，側棱，再設大球的球心為，由對稱性可得，在線段上，要使大球與四個小球都內切，則，，又，，解得，則紅球的表面積．故選：C．9．AB解析：因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則，與a、b異面矛盾，所以至少與，中一條相交故B對，C、D錯；當a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，直線可以與，都垂直，故A對.故選：AB.10．AC解析：在中，為的中點，為的中點，所以，A選項正確；，B選項錯誤；因為，又因為的面積為，則，所以，C選項正確；，當且僅當時取的最小值為.故選：AC.11．BCD解析：的極值點為在上的變號零點.即為函數與函數圖像在交點的橫坐標.又注意到時，，時，，，時，.據此可將兩函數圖像畫在同一坐標系中，如下圖所示.對于A，由圖像可知，則，故A錯誤；對于B，注意到時，，，.結合圖像可知當當是函數的極大值點，是函數的極小值點，故B正確，對于C,表示兩點與間距離，由圖像可知，隨著n的增大，兩點間距離越來越近，即為遞減.故，化簡可得，故C正確；對于D，由于，故因此，且，故，由于為單調遞減函數，為單調遞增函數，結合為單調遞增函數，因此為單調遞增函數，由于，可得，故D正確.故選：BCD12．820解析：根據題意可知：報告廳的座位個數成等差數列，且，故，故，所以座位的個數為，故答案為：82013．解析：，又因為，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或不合題意，所以，所以.故答案為：.14．解析：函數在區(qū)間上有零點，即在上有解，又在單調遞增，所以在單調遞增，又時，，且，所以．故答案為：．15．（1）由得，，兩式相減得.因為數列是等比數列，所以.當時，，則，所以.綜上.（2）由，得.所以.由于，，所以.16．（1）由得，由正弦定理得，即.因為，所以，又，故.（2）在中，由余弦定理，，得，解得（舍去負值），所以.在中，，則有即，解得.

17．（1）證明：底面為正方形，得.因為底面，面，得.又，平面，平面，得平面，由平面，所以平面平面；（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由得，，，，，（i）當時，，，，，設平面的法向量為，由得不妨取，則，從而平面的一個法向量為.設直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.（ii）由，得，，由（1）知，.設平面的法向量為，由得，不妨取，則，，所以平面的一個法向量為.則，又因為二面角的大小為135°，所以，化簡得，得或.18．（1）由題意得解得所以橢圓的方程為.（2）當直線或其中一條斜率不存在時，.當直線，斜率存在且均不為0時，設直線：，，由得，所以.同理可得，所以.綜上，.（3）解法一：設曲線上任意一點坐標為，對應橢圓上點坐標為，則代入中得：.設的中點為，因為，所以所以，即.所以.解法二：設曲線上任意一點坐標為，對應橢圓上點坐標為，則代入中得：.設原點到直線，的距離分別為，，則..所以，當且僅當時取得等號.即的最大值為.19．（1）設直線與曲線相切于點，，令，得或2.故切點為或，切線方程為或，即或.（2）由得，當，遞減，有，當，遞增，有，當，遞減，有.若，取，當時，結合函數單調性可知若，取，下面證明不等式，先證明如下不等式：當，有，令，，當，遞減，當，遞增，有，即，變形得