考研數(shù)學(xué)三2025年線性代數(shù)模擬試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)矩陣A=(a??)???，其中a??≠0，則|A|=0的充分必要條件是存在一個(gè)r(0<r≤n-1)，使得A的所有r+1階子式都為0。2.設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n階不可逆矩陣，則下列矩陣中一定可逆的是（）。（A）A+B（B）AB（C）B+A?1（D）A-B?13.向量組α?=(1,0,2,3),α?=(1,1,3,5),α?=(2,1,a+2,7),α?=(1,2,4,a+8)線性無(wú)關(guān)。4.設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，若r(A)=n，則r(AB)=（）。（A）min{r(A),r(B)}（B）r(B)（C）n（D）min{m,r(B)}5.設(shè)n階矩陣A滿足A2-3A+2I=O，則A的特征值可能是（）。（A）1（B）2（C）3（D）-16.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A可逆，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）A的特征值可能為0（B）A的特征值必全為正數(shù)（C）A必可對(duì)角化（D）A的特征向量必正交7.設(shè)A是n階矩陣，A的伴隨矩陣A*的秩為1，則r(A)=（）。（A）1（B）2（C）n-1（D）n二、填空題：8.設(shè)A=[a??]???，其中a??=a??=a??=1，a??=a??=a??=a??=a??=a??=-1/2，則|A|=_______。9.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，向量β?=α?+α?,β?=α?+α?,β?=α?+α?，則向量組β?,β?,β?的秩為_(kāi)______。10.設(shè)A=[a??]???，B=[b??]???，則矩陣AB=[c??]???，其中c??=_______。11.若線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則矩陣A的秩r(A)=_______。12.設(shè)A是n階矩陣，存在正整數(shù)k(k≥2)使得A?=O(O為n階零矩陣)，則A的特征值必滿足_______。13.設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+x?2+ax?2+2bx?x?+2cx?x?+2dx?x?的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1，則a,b,c,d滿足的關(guān)系式為_(kāi)______。三、解答題：14.計(jì)算行列式|A|，其中A=[(a-b)2,(a-b)(a+c),(a-b)(a+d);(b-c)(b+a),(b-c)2,(b-c)(b+d);(c-d)(c+a),(c-d)(c+b),(c-d)2]。15.設(shè)向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,t)。問(wèn)：(1)當(dāng)t取何值時(shí)，向量組α?,α?,α?線性相關(guān)？(2)當(dāng)t取何值時(shí)，向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)？并在此時(shí)，將向量β=(1,4,6)用α?,α?,α?線性表示。16.已知矩陣A=[1,2,0;0,1,0;1,x,1]可逆，求x的取值范圍，并求A的逆矩陣A?1。17.設(shè)矩陣A=[1,1,0;1,2,1;0,1,1]，求一個(gè)正交矩陣P，使得P?AP為對(duì)角矩陣。18.設(shè)矩陣A=[1,-1,2;0,1,1;1,x,0]，矩陣B滿足A2-AB+I=O(I為3階單位矩陣)。(1)求x的值。(2)求矩陣B。19.設(shè)線性方程組{x?+x?+x?=1;x?+2x?+ax?=4;2x?+3x?+(a+2)x?=b}有無(wú)窮多解。(1)求參數(shù)a,b的值。(2)求該方程組的一般解。20.設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+ax?2+2x?x?+4x?x?+2x?x?。(1)若該二次型的矩陣A正定，求a的取值范圍。(2)當(dāng)a取使A正定的值時(shí)，求該二次型的規(guī)范形。---試卷答案一、單項(xiàng)選擇題：1.B2.C3.A4.B5.D6.C7.C二、填空題：8.-1/29.310.a??b??+a??b??+a??b??11.n-212.013.b2-ac>0三、解答題：14.解：利用行變換化簡(jiǎn)行列式。|A|=|(a-b,(a-b)(a+c)/(a-b),(a-b)(a+d)/(a-b));(b-c,(b-c)2,(b-c)(b+d)/(b-c));(c-d,(c-d)(c+a)/(c-d),(c-d)2)|=|(a-b,a+c,a+d);(b-c,b-c,b+d);(c-d,c+a,c-d)|=|(a-b,a+c,a+d);(b-c,b-c,b+d);(c-d,c+a,c-d)|=|(a-b,a+c,a+d);(b-c,b-c,b+d);(c-d,c+a,c-d)|=(b-c)(c-d)|(a-b,a+c,a+d);(1,1,1);(c-d,c+a,c-d)|=(b-c)(c-d)[(a-b)(c-d)+(a+c)(c-d)+(a+d)(c-d)]=(b-c)(c-d)[(a-b+a+c+a+d)c-(a-b+a+c+a+d)d]=(b-c)(c-d)(3a-d-b)c=-(1/2)(b-c)(c-d)(3a-d-b)=-(1/2)(b-c)(c-d)(3a-d-b)=-(1/2)故答案為：-1/2。15.解：(1)計(jì)算向量組α?,α?,α?的秩。構(gòu)造矩陣A=[α?,α?,α?]=[(1,1,1;1,2,3;1,3,t)]。對(duì)A進(jìn)行行變換：[(1,1,1;1,2,3;1,3,t)]→[(1,1,1;0,1,2;0,2,t-1)]→[(1,1,1;0,1,2;0,0,t-5)]當(dāng)t=5時(shí)，秩r(A)=2<3，向量組線性相關(guān)。故當(dāng)t=5時(shí)，向量組α?,α?,α?線性相關(guān)。(2)當(dāng)t≠5時(shí)，秩r(A)=3，向量組線性無(wú)關(guān)。此時(shí)求β=(1,4,6)的線性表示。由(1)知，當(dāng)t≠5時(shí)，α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)。構(gòu)造增廣矩陣B=[α?,α?,α?,β]。[1,1,1,1;1,2,3,4;1,3,t,6]→[1,1,1,1;0,1,2,3;0,2,t-1,5]→[1,1,1,1;0,1,2,3;0,0,t-5,-1]因?yàn)閠≠5，所以r(B)=r(A)=3，方程組有唯一解。由最后一個(gè)行簡(jiǎn)化形式得：(t-5)x?=-1，即x?=1/(5-t)。代入上一行得：2x?+(t-1)x?=5，即2x?+(t-1)/(5-t)=5。2x?=5-(t-1)/(5-t)=(25-5t-t+1)/(5-t)=(26-6t)/(5-t)。x?=(13-3t)/(5-t)。代入第一行得：x?+x?+x?=1，即x?+(13-3t)/(5-t)+1/(5-t)=1。x?=1-(14-3t)/(5-t)=(5-t)-(14-3t)=-9+2t。所以β=x?α?+x?α?+x?α?=(-9+2t)α?+(13-3t)α?+(1/(5-t))α?。故答案為：t=5；β=(-9+2t)α?+(13-3t)α?+(1/(5-t))α?。16.解：(1)計(jì)算行列式|A|=|1,2,0;0,1,0;1,x,1|=1(1*1-0*x)-2(0*1-0*1)+0(0*x-1*1)=1。行列式不為零，所以A總是可逆的。這里題目可能想問(wèn)的是A可逆時(shí)x的取值，或者A不可逆時(shí)x的取值。由于A總是可逆，所以x可以取任何實(shí)數(shù)。(2)A可逆，所以A?1=(1/|A|)adj(A)=adj(A)=[A*]。計(jì)算A的伴隨矩陣A*=[M??]?，其中M??是A的(i,j)元素的代數(shù)余子式。M??=|1,0;1,1|=1M??=-|0,0;1,1|=0M??=|0,1;1,x|=-1M??=-|2,0;x,1|=-2M??=|1,0;1,1|=1M??=-|1,2;1,x|=-(x-2)=2-xM??=|2,0;1,1|=2M??=-|1,0;1,x|=-(x-1)=1-xM??=|1,2;0,1|=1A*=[M??]?=[(1,-2,2);(0,1,1-x);(-1,2-x,1)]A?1=(1/|A|)A*=A*=[(1,-2,2);(0,1,1-x);(-1,2-x,1)]。故答案為：x∈R；A?1=[(1,-2,2);(0,1,1-x);(-1,2-x,1)]。17.解：A是實(shí)對(duì)稱矩陣，必可對(duì)角化。求A的特征值和特征向量。|λI-A|=|λ-1,-1,0;-1,λ-2,-1;0,-1,λ-1|=(λ-1)|λ-2,-1;-1,λ-1|-(-1)|λ-1,-1;0,λ-1|=(λ-1)[(λ-2)(λ-1)-1]+|λ-1,-1;0,λ-1|=(λ-1)(λ2-3λ+1)+(λ-1)(λ-1)=(λ-1)(λ2-3λ+1+λ-1)=(λ-1)(λ2-2λ)=λ(λ-1)(λ-2)。特征值為λ?=0,λ?=1,λ?=2。對(duì)λ?=0，解(0I-A)x=0，即Ax=0。[0,-1,0;-1,-2,-1;0,-1,-1]→[-1,-2,-1;0,-1,-1;0,0,0]→[1,2,1;0,1,1;0,0,0]→[-1,0,-1;0,1,1;0,0,0]得x?=x?,x?=-x?。令x?=1，得特征向量α?=(1,-1,1)?。對(duì)λ?=1，解(1I-A)x=0。[0,-1,0;-1,-1,-1;0,-1,0]→[-1,-1,-1;0,-1,0;0,0,0]→[1,1,1;0,1,0;0,0,0]→[-1,0,1;0,1,0;0,0,0]得x?=-x?,x?=0。令x?=1，得特征向量α?=(-1,0,1)?。對(duì)λ?=2，解(2I-A)x=0。[1,-1,0;-1,0,-1;0,-1,1]→[-1,0,-1;0,-1,1;0,0,0]→[1,0,1;0,1,-1;0,0,0]→[-1,0,1;0,1,-1;0,0,0]得x?=-x?,x?=x?。令x?=1，得特征向量α?=(-1,1,1)?。將α?,α?,α?單位化：β?=α?/||α?||=(1,-1,1)/sqrt(3)=(1/sqrt(3),-1/sqrt(3),1/sqrt(3))?。β?=α?/||α?||=(-1,0,1)/sqrt(2)=(-1/sqrt(2),0,1/sqrt(2))?。β?=α?/||α?||=(-1,1,1)/sqrt(3)=(-1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))?。令P=[β?,β?,β?]=[(1/sqrt(3),-1/sqrt(2),-1/sqrt(3));(-1/sqrt(3),0,1/sqrt(3));(1/sqrt(3),1/sqrt(2),1/sqrt(3))]。則P?AP=Λ=diag(0,1,2)。故答案為：P=[(1/sqrt(3),-1/sqrt(2),-1/sqrt(3));(-1/sqrt(3),0,1/sqrt(3));(1/sqrt(3),1/sqrt(2),1/sqrt(3))]。18.解：(1)計(jì)算矩陣A的行列式|A|=|1,-1,2;0,1,1;1,x,0|=1(1*0-1*x)-(-1)(0*0-1*1)+2(0*x-1*1)=-x+1+2(-1)=-x-1。因?yàn)锳可逆，所以|A|≠0。即-x-1≠0，解得x≠-1。(2)A可逆，所以方程兩邊左乘A?1。A?1(A2-AB+I)=A?1O。即A-B+A?1=O。A-B=-A?1。B=A+A?1。計(jì)算A?1。|A|=-x-1，A*=[M??]?。M??=|1,1;x,0|=-x。M??=-|0,1;1,0|=1。M??=|0,1;1,x|=-1。M??=-|1,2;x,0|=2x。M??=|1,-1;1,0|=1。M??=-|1,-1;0,1|=-1。M??=|1,-1;1,2|=3。M??=-|1,-1;0,1|=-1。M??=|1,-1;0,1|=1。A*=[(-x,2x,3);(1,1,-1);(-1,-1,1)]?=[(-x,1,-1);(2x,1,-1);(3,-1,1)]。A?1=(1/|A|)A*=(-1/(x+1))[(-x,1,-1);(2x,1,-1);(3,-1,1)]=[(x,-1,1);(-2x,-1,1);(-3,1,-1)]/(x+1)。B=A+A?1=[(1,-1,2)+(x/(x+1),-1/(x+1),1/(x+1));(0,1,1)+(-2x/(x+1),-1/(x+1),1/(x+1));(1,x,0)+(-3/(x+1),1/(x+1),-1/(x+1))]/(x+1)=[(x+1)/(x+1),-2/(x+1)+2/(x+1),2(x+1)/(x+1)+1/(x+1)];[0-2x/(x+1),(x+1)/(x+1)-1/(x+1),1+1/(x+1)];[(x+1)/(x+1)-3/(x+1),x+1/(x+1),-1/(x+1)]=[(x+1)/x+1,0,(2x+3)/(x+1)];[-2x/(x+1),x/(x+1),(x+2)/(x+1)];[(x-2)/(x+1),(x+1)/(x+1),-1/(x+1)]=[(x+1)/x+1,0,(2x+3)/(x+1)];[-2x/(x+1),x/(x+1),(x+2)/(x+1)];[(x-2)/(x+1),1,-1/(x+1)]。故答案為：x≠-1；B=[(x+1)/x+1,0,(2x+3)/(x+1)];[-2x/(x+1),x/(x+1),(x+2)/(x+1)];[(x-2)/(x+1),1,-1/(x+1)]。19.解：(1)寫(xiě)出增廣矩陣B=[(1,1,1,1;1,2,a,4;2,3,a+2,b)]。對(duì)B進(jìn)行行變換：[(1,1,1,1;1,2,a,4;2,3,a+2,b)]→[(1,1,1,1;0,1,a-1,3;0,1,a,b-2)]→[(1,1,1,1;0,1,a-1,3;0,0,1,b-5)]方程組有無(wú)窮多解，則r(A)=r(B)<3。由第三個(gè)行簡(jiǎn)化形式知，必須b-5=0，即b=5。代入第二個(gè)行簡(jiǎn)化形式得：1(a-1)=3，即a-1=3，解得a=4。故a=4,b=5。(2)由(1)知，a=4,b=5。此時(shí)增廣矩陣B=[(1,1,1,1;0,1,3,3;0,0,1,0)]。對(duì)B進(jìn)行行變換化為行最簡(jiǎn)形式：[(1,1,1,1;0,1,3,3;0,0,1,0)]→[(1,1,0,-2;0,1,0,-3;0,0,1,0)]→[(1,0,0,1;0,1,0,-3;0,0,1,0)]對(duì)應(yīng)的方程組為：x?=1,x?=-3,x?=0。方程組有無(wú)窮多解，對(duì)應(yīng)的齊次方程組x?+x?+x?=0的基礎(chǔ)解系為(-1,1,0)?。通解為x?=1,x?=-3,x?=0+k(-1,1,0)?=1-k,-3+k,0(k為任意常數(shù))。故一般解為