疑難壓軸4電磁感應(yīng)綜合應(yīng)用

1．（2024?浙江）某小組探究“法拉第圓盤(pán)發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)的功用”，設(shè)計(jì)了如圖所示裝置。飛輪由

三根長(zhǎng)a＝0.8m的輻條和金屬圓環(huán)組成，可繞過(guò)其中心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不可伸長(zhǎng)細(xì)繩繞在圓

環(huán)上，系著質(zhì)量m＝1kg的物塊，細(xì)繩與圓環(huán)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。飛輪處在方向垂直環(huán)面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，

左側(cè)電路通過(guò)電刷與轉(zhuǎn)軸和圓環(huán)邊緣良好接觸，開(kāi)關(guān)S可分別與圖示中的電路連接。已知電源電

動(dòng)勢(shì)E0＝12V、內(nèi)阻r＝0.1、限流電阻R1＝0.3、飛輪每根輻條電阻R＝0.9，電路中還有可

調(diào)電阻R2（待求）和電感LΩ，不計(jì)其他電阻和阻力Ω損耗，不計(jì)飛輪轉(zhuǎn)軸大小。Ω

（1）開(kāi)關(guān)S擲1，“電動(dòng)機(jī)”提升物塊勻速上升時(shí)，理想電壓表示數(shù)U＝8V。

①判斷磁場(chǎng)方向，并求流過(guò)電阻R1的電流I；

②求物塊勻速上升的速度v。

（2）開(kāi)關(guān)S擲2，物塊從靜止開(kāi)始下落，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，物塊勻速下降的速度與“電動(dòng)機(jī)”勻

速提升物塊的速度大小相等：

①求可調(diào)電阻R2的阻值；

②求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。

【解答】解：（1）開(kāi)關(guān)S擲1，相當(dāng)于電動(dòng)機(jī)；

①物塊上升，則金屬輪沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，輻條受到的安培力指向逆時(shí)針?lè)较颍棗l中電流方向

從圓周指向O點(diǎn)，由左手定則可知，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外；

由閉合電路的歐姆定律E0＝U+I（R1+r）

代入數(shù)據(jù)解得流過(guò)電阻R1的電流為10A；

②三根輻條的并聯(lián)電阻并

?0.9

2?==?=0.3?

根據(jù)能量守恒定律UI＝IR并+m3gv3

代入數(shù)據(jù)解得v＝5m/s；

另解：輻條切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與電源電動(dòng)勢(shì)相反，設(shè)每根輻條產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E1，等效電

路圖如圖1所示：

則U＝E1+IR并

代入數(shù)據(jù)解得E1＝5V

此時(shí)金屬輪可視為電動(dòng)機(jī)P出＝E1I

當(dāng)物塊P勻速上升時(shí)P出＝mgv

解得v＝5m/s

（2）物塊勻速下落時(shí)，相當(dāng)于發(fā)電機(jī)；

2

①由能量關(guān)系可知mgv′＝（I′）（R2+R并）

代入數(shù)據(jù)解得R2＝0.2

另解：等效電路圖如圖Ω2所示：

由受力分析可知，輻條受到的安培力與第（1）問(wèn)相同，經(jīng)過(guò)R2的電流I′＝I＝10A

由題意可知v′＝v＝5m/s

每根輻條切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E2＝E1＝5V

總

?25?

?===0.5?

根據(jù)電?阻'串聯(lián)10、?并聯(lián)電路的特點(diǎn)R總＝R2+R并

代入數(shù)據(jù)解得R2＝0.2

Ω

②根據(jù)導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

2

2111

?=2???=2????=2???'

而E2＝5V

代入數(shù)據(jù)解得B＝2.5T。

答：（1）①磁場(chǎng)方向垂直紙面向外；流過(guò)電阻R1的電流為10A；

②物塊勻速上升的速度為5m/s；

（2）①可調(diào)電阻R2的阻值為0.2；

②磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為2.5T。Ω

2．（2024?廣西）某興趣小組為研究非摩擦形式的阻力設(shè)計(jì)了如圖甲的模型。模型由大齒輪、小齒輪、

鏈條、阻力裝置K及絕緣圓盤(pán)等組成。K由固定在絕緣圓盤(pán)上兩個(gè)完全相同的環(huán)狀扇形線圈M1、

M2組成，小齒輪與絕緣圓盤(pán)固定于同一轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)軸軸線位于磁場(chǎng)邊界處，方向與磁場(chǎng)方向平

行，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，與K所在平面垂直。大、小齒輪半徑比

為n，通過(guò)鏈條連接。K的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)圖乙。其中r1＝r，r2＝4r，每個(gè)線圈的圓心角為﹣，圓

心在轉(zhuǎn)軸軸線上，電阻為R。不計(jì)摩擦，忽略磁場(chǎng)邊界處的磁場(chǎng)，若大齒輪以的角速π度保β持勻

速轉(zhuǎn)動(dòng)，以線圈M1的ab邊某次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求K轉(zhuǎn)動(dòng)一周：ω

（1）不同時(shí)間線圈M1的ab邊或cd邊受到的安培力大?。?/p>

（2）流過(guò)線圈M1的電流有效值；

（3）裝置K消耗的平均電功率。

【解答】解：（1）由題意知大齒輪以的角速度保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，大小齒輪線速度相等，則，

1?

ω?=?

?

?=

可得小??齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為1＝n

轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T(mén)ωω

2?2?

=1=

以線圈M1的ab?邊某次??進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，到cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)歷的時(shí)間為

??????

?1=?=

這段時(shí)2間?內(nèi)線圈??M1產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為

E1＝B（4r﹣r）B

??+????1+4??1152

=×3?×=????

222

電流為：I1

2

?115????

=?=2?

受到的安培力大?。篎1＝BI1L＝B（4r﹣r）

223

15????45????

×2?×=2?

當(dāng)ab邊和cd邊均進(jìn)入磁場(chǎng)后到ab邊離開(kāi)磁場(chǎng)，經(jīng)歷的時(shí)間為

t2

??

=?=

由于2?M1線圈??磁通量不變，無(wú)感應(yīng)電流，安培力大小為0；

當(dāng)M1線圏ab邊離開(kāi)磁場(chǎng)到cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)，經(jīng)歷的時(shí)間為

t3＝t1

???

此時(shí)的=安?培?力大小由前面分析可知

F3＝F1

23

45????

方向與=進(jìn)入時(shí)2?相反；

當(dāng)M1線圏c(diǎn)d邊離開(kāi)磁場(chǎng)到ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)歷的時(shí)間為

t4＝t2

?

同理可=知??安培力為0。

（2）根據(jù)（1）可知，設(shè)流過(guò)線圈M1的電流有效值為I，則根據(jù)有效值定義有

222

1133

?其?中?I+1＝?I?3，?t1=＝?t3??

聯(lián)立解得：I

2

???15????

=?

（3）根據(jù)題意可知?流過(guò)線2圈?M1和M2的電流有效值相同，則在一個(gè)周期內(nèi)裝置K消耗的平均電

功率為

P＝2I2R

2242

225????(???)

=

答：（1）不同時(shí)間2線??圈M1的ab邊或cd邊受到的安培力大小見(jiàn)解析；

（2）流過(guò)線圈M1的電流有效值為；

2

???15????

??2?

（3）裝置K消耗的平均電功率為。

2242

225????(???)

2??

3．（2024?河北）如圖，邊長(zhǎng)為2L的正方形金屬細(xì)框固定放置在絕緣水平面上，細(xì)框中心O處固定

一豎直細(xì)導(dǎo)體軸OO'。間距為L(zhǎng)、與水平面成角的平行導(dǎo)軌通過(guò)導(dǎo)線分別與細(xì)框及導(dǎo)體軸相連。

導(dǎo)軌和細(xì)框分別處在與各自所在平面垂直的勻θ強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。足夠長(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)

體棒OA在水平面內(nèi)繞O點(diǎn)以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水平放置在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體棒CD始終靜止。OA

棒在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，CD棒在所受安培力ω達(dá)到最大和最小時(shí)均恰好能靜止。已知CD棒在導(dǎo)軌間的

電阻值為R，電路中其余部分的電阻均不計(jì)，CD棒始終與導(dǎo)軌垂直，各部分始終接觸良好，不

計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g。

（1）求CD棒所受安培力的最大值和最小值。

（2）鎖定OA棒，推動(dòng)CD棒下滑，撤去推力瞬間，CD棒的加速度大小為a，所受安培力大小

等于（1）問(wèn)中安培力的最大值，求CD棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

【解答】解：（1）OA棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)OA垂直正方形金屬細(xì)框時(shí)，產(chǎn)生的感

應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最?。?/p>

OA棒產(chǎn)生最小感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

12

????=???

根據(jù)閉合電路的歐姆定律，電路中2的最小電流

????

????=

CD棒所受安培力的最小值Fmin＝BIminL?

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得

23

??????

當(dāng)OA轉(zhuǎn)動(dòng)至正方形?金屬=細(xì)框2?的對(duì)角線位置時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大；

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，OA棒的有效長(zhǎng)度有

?=2?

有

OA棒產(chǎn)生最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有

??2

?

電路中的最大電流?=??×2=???

?

??

?=?

CD棒所受安培力的最大值Fm＝BImL

23

???

=?

（2）CD棒在所受安培力達(dá)到最大時(shí)，CD棒有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，最大靜摩擦力方向沿導(dǎo)軌向下

根據(jù)平衡條件Fm＝mgsin+fm

CD棒在所受安培力達(dá)到最θ小時(shí)，CD棒有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，最大靜摩擦力方向沿導(dǎo)軌向上

根據(jù)平衡條件Fmin+fm＝mgsin

聯(lián)立解得θ

23

3???

鎖定OA棒?，=推4?動(dòng)??C??D?棒下滑，撤去推力瞬間，CD棒的加速度大小為a，方向沿導(dǎo)軌向上

根據(jù)牛頓第二定律Fm+mgcos﹣mgsin＝ma

聯(lián)立解得μ。θθ

?1

?=??????3????

答：（1）CD棒所受安培力的最大值為；最小值為；

2323

??????

（2）CD棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為?。2?

?1

?????

?????3

4．（2024?洛陽(yáng)一模）如圖所示，兩根電阻不計(jì)的光滑水平導(dǎo)軌A1B1、A2B2平行放置，間距L＝1m，

處于豎直向下B＝0.4T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)軌左側(cè)接一電容C＝0.1F的超級(jí)電容器，初始時(shí)刻電容

器帶一定電量，電性如圖所示。質(zhì)量m1＝0.2kg、電阻不計(jì)的金屬棒ab垂直架在導(dǎo)軌上，閉合開(kāi)

關(guān)S后，ab棒由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，且離開(kāi)B1B2時(shí)已以v1＝1.6m/s勻速。下方光滑絕緣軌道C1MD1、

C2ND2間距也為L(zhǎng)，正對(duì)A1B1、A2B2放置，其中C1M、C2N半徑r＝1.25m、圓心角＝37°的

圓弧，與水平軌道MD1、ND2相切于M、N兩點(diǎn)，其中NO、MP兩邊長(zhǎng)度d＝0.5m，θ以O(shè)點(diǎn)為

坐標(biāo)原點(diǎn)，沿導(dǎo)軌向右建立坐標(biāo)系，OP右側(cè)0＜x＜0.5m處存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

?

的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向豎直向下。質(zhì)量m2＝0.4kg、電阻R＝1的“U”型金屬框靜止于水平?導(dǎo)=軌N3O?P(?M)

處。導(dǎo)體棒ab自B1B2拋出后恰好能從C1C2處沿切線進(jìn)Ω入圓弧軌道，并在MN處與金屬框發(fā)生

完全非彈性碰撞，碰后組成導(dǎo)電良好的閉合線框一起向右運(yùn)動(dòng)。重力加速度的大小g取10m/s2。

請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

（1）求初始時(shí)刻電容器帶電量Q0；

（2）若閉合線框進(jìn)入磁場(chǎng)Bx區(qū)域時(shí)，立刻給線框施加一個(gè)水平向右的外力F，使線框勻速穿過(guò)

磁場(chǎng)Bx區(qū)域，求此過(guò)程中線框產(chǎn)生的焦耳熱；

（3）閉合線框進(jìn)入磁場(chǎng)Bx區(qū)域后只受安培力作用而減速，試討論線框能否穿過(guò)Bx區(qū)域。若能，

求出離開(kāi)磁場(chǎng)Bx時(shí)的速度；若不能，求出線框停止時(shí)右邊框的位置坐標(biāo)x。

【解答】解：（1）設(shè)初始時(shí)電容器兩端電壓為U0導(dǎo)體棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到穩(wěn)定過(guò)程，電容器極板上

電荷量變化量為ΔQ，導(dǎo)體棒穩(wěn)定后的電動(dòng)勢(shì)為E，對(duì)導(dǎo)體棒，以v1方向?yàn)檎较?，由?dòng)量定理

有

BIL?Δt＝m1v1﹣0

E＝BLv1

而

???

?=?=?0??

由電流的公式有

??

整?=理?有?

Q0＝CU0＝ΔQ+CE

解得

Q0＝0.864C

（2）導(dǎo)體棒ab自B1B2拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C1C2處速度方向沿圓弧軌道的切線方向，與水

平方向的夾角等于＝37°，其水平分速度大小等于v1，則到達(dá)C1C2處的速度為

θ

1

2?

解?得=????

v2＝2m/s

設(shè)ab與金屬框碰撞前瞬間速度大小為v3，由動(dòng)能定理得

22

1113112

解?得??(1?????)=2???2??

v3＝3m/s

對(duì)ab與金屬框發(fā)生完全非彈性碰撞的過(guò)程，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得

m1v3＝（m1+m2）v4

解得

v4＝1m/s

閉合線框穿過(guò)磁場(chǎng)Bx的過(guò)程，有

變，（0＜x＜0.5m）

?4

???????

因?安=培?力?與?=位?移成??正=比?，故可?用?安=培5力?(的?)平均值計(jì)算克服安培力做功，閉合線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程克

服安培力做功為

1

?=×(0+5×0.5)×0.5?=0.625?

閉合線2框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程與離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程克服安培力做功相等，根據(jù)功能關(guān)系可得穿過(guò)磁場(chǎng)Bx區(qū)

域線框產(chǎn)生的焦耳熱為：

Q＝2W＝2×0.625J＝1.25J

（3）假設(shè)閉合線框能夠穿過(guò)磁場(chǎng)Bx，對(duì)此過(guò)程微分成若干極短時(shí)間段dt（dt→0），以向右為正

方向，對(duì)閉合線框由動(dòng)量定理得

﹣BxLI?dt＝（m1+m2）?dv

其中：

????????

聯(lián)立代入??數(shù)??據(jù)=可??得=?=?

﹣5x?dx＝0.75?dv，（0＜x＜0.5m）

對(duì)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程積分可得

0.5

可?得5