7.1.1角的推廣人教B版（2019）必修第三冊學(xué)習(xí)目標CONTENTS1.理解任意角的概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點）2.知道象限角，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點）3.會用集合表示終邊相同的角，體現(xiàn)邏輯推理能力（難點）課程引入復(fù)習(xí)一下：角的定義是什么？有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角.角也可以看成是一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.例如：圖中所示的大小為120°的角，可以認為是OA旋轉(zhuǎn)到OB所形成的，也可以認為是OB旋轉(zhuǎn)到OA所形成的.OAB120°課程內(nèi)容教學(xué)情景與問題如圖所示，當(dāng)摩天輪在持續(xù)不斷地轉(zhuǎn)動時，(1)摩天輪所轉(zhuǎn)過的角度大小是否會超過360

？顯然，上述情境中，只要時間足夠長，摩天輪所經(jīng)過的角的大小會超過360°.課程內(nèi)容教學(xué)情景與問題(2)如果甲、乙兩人分別站在摩天輪的兩側(cè)觀察，那么他們所看到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相同嗎？如果不同，你能用合適的數(shù)學(xué)符號表示這種不同嗎？甲、乙兩人觀察到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相反，如果其中一人觀察到的是逆時針旋轉(zhuǎn)，則另一個人觀察到的是順時針旋轉(zhuǎn)，由于相反意義的量可以用正負數(shù)表示，因此不難想到這種不同可以用正負號來區(qū)分．從這個實例出發(fā)，你能將以前所學(xué)的角進行推廣嗎？課程內(nèi)容教學(xué)角的相關(guān)概念角的概念：一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形稱為角，這兩條射線分別稱為角的始邊和終邊.

射線的旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向：順時針方向和逆時針方向.正角的概念：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角.OAB課程內(nèi)容教學(xué)角的相關(guān)概念負角的概念：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角.零角的概念：如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個零角.即零角的始邊和終邊重合.OABOA(B)課程內(nèi)容教學(xué)角的分類任意角正角，逆時針旋轉(zhuǎn)零角，不作旋轉(zhuǎn)負角，順時針旋轉(zhuǎn)課程內(nèi)容教學(xué)角的表示方法作圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對量．如圖(1)，(2)所示的兩個轉(zhuǎn)角中，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB時，旋轉(zhuǎn)的絕對量都超過了一個周角的大小，按照圖中箭頭所指的旋轉(zhuǎn)方向和弧線所表示的周數(shù)，可知：α＝450°，β＝－630°OAB（2）OAB（1）αβ課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)利用轉(zhuǎn)角給出60°＋90°與90°-30°的幾何意義．利用轉(zhuǎn)角，可以給出角的加減運算的一個幾何意義．60°＋90°的幾何意義：射線OA逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角為60°，OB逆時針旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為90°，則OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為：60°＋90°＝150°OABC60°90°150°課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)利用轉(zhuǎn)角給出60°＋90°與90°-30°的幾何意義．90°-30°的幾何意義：射線OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角為90°，OB逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為-30°，則OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角為：ABOC60°90°－30°90°－30°＝60°課程內(nèi)容教學(xué)象限角的概念角的頂點與坐標原點重合，角的始邊落在x軸的正半軸上.

這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角稱為第幾象限角.

如果終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限.課程內(nèi)容教學(xué)練一練：根據(jù)上面的概念，判斷下面的角所在的象限？1.如圖中的45°，-315°，405°角都是

；xy

O405°-315°

45°第一象限角2.如圖中的126°角是

；第二象限角126°3.如圖中的210°角是

；210°第三象限角4.如圖中的-60°角是

；第四象限角-60°-90°注意：-90°角不是象限角，它的終邊在y軸上.課程內(nèi)容教學(xué)上面圖(1)中三個角的終邊相同．那么，終邊相同的角有沒有一個共同的表示方法呢？嘗試與發(fā)現(xiàn)一般地，角α＋k·360°(k∈Z)與角α的終邊相同，這只需把k·360°看成逆時針或者順時針方向旋轉(zhuǎn)若干周即可.任意兩個終邊相同的角，它們的差一定是360°的整數(shù)倍.因此，所有與α終邊相同的角組成一個集合，這個集合可記為

即集合S的每一個元素的終邊都與α的終邊相同，k=0時對應(yīng)元素為α.S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，課程內(nèi)容教學(xué)例1：如圖所示，已知角α的終邊為射線OA,分別作出角α+90°，

α-90°，α+180°的終邊.由角的定義可知，把角α的終邊OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°可得α+90°

的終邊OB，把角

α的終邊OA順時針方向旋轉(zhuǎn)90°可得角α－90°的終邊

OC，把角α的終邊OA逆時針方向旋轉(zhuǎn)______可得角α+180°的終邊OD，如圖.180°ABCDα-90°90°180°O課程內(nèi)容教學(xué)例2：分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式－360°≤β≤720°的元素β寫出來．(1)60°;

解不等式－360°≤60°＋k·360°＜720°，得所以k可?。?，0或1，因此S中滿足－360°≤β＜720°得元素是60°＋(-1)·360°＝－300°，60°＋1·360°＝420°．60°＋0·360°=60°，課程內(nèi)容教學(xué)例2：分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式-360°≤β≤720°的元素β寫出來．(2)-21°.

S＝{β|β＝-21°＋k·360°，k∈Z}解不等式－360≤－21°＋k·360°＜720°，得所以k可取0，1或2，因此S中滿足-360≤β<720°得元素是-21°＋0·360°＝-21°，-21°＋2·360°＝699°．-21°＋1·360°＝339°，課程內(nèi)容教學(xué)例3：寫出終邊在第一象限內(nèi)的角的集合．因為大于0°且小于90°的終邊一定在第一象限，而且如果一個角的終邊在第一象限，那么這個角的終邊一定與大于0°且小于90°的某個角的終邊相同，因此終邊在第一象限內(nèi)的角的集合為{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}課程內(nèi)容教學(xué)例4：寫出終邊在x軸上的角的集合．在[0°,360°)內(nèi)，終邊在x軸上的角有兩個，即0°和180°，與這兩個角終邊相同的角組成的集合依次為：S1＝{α|α＝k·360°，k∈Z}S2＝{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}為簡便起見，我們把集合S1和S2的表示方法改為S1＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}S2＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}因為{m|m=2k，k∈Z}∪{m|m=2k＋1，k∈Z}＝Z，即集合S是終邊在x軸上的角的集合．課程內(nèi)容教學(xué)對于例題4的另一種理解：零角的終邊在x軸上，零角的終邊旋轉(zhuǎn)180°，－180°，2×180°，2×(-180°)，…終邊仍然落在x軸上的角的集合為{α|α＝k·180°，k∈Z}已知α為第二象限角，則

是第幾象限角？因為90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z，所以45°＋k·180°＜

＜90°＋k·180°，k∈Z，當(dāng)k為奇數(shù)時，記k＝2n＋1，225°＋n·360°＜

＜270°＋k·360°，n∈Z，課程內(nèi)容教學(xué)已知α為第二象限角，則

是第幾象限角？此時是第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時，記k＝2n，45°＋