2/30第一章空間向量與立體幾何（舉一反三單元測試·培優(yōu)卷）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（24-25高二上·河北·階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，M，N分別是邊BC，BD，CD的中點，DE，MN交于F點，則12AB+A．AD B．AF C．FA D．EM【答案】B【解題思路】根據(jù)向量的加法的三角形法則和平行四邊形法則計算即可.【解答過程】因為E是邊BC的中點，則12AB+故選：B.2．（5分）（24-25高一上·重慶·期末）已知空間向量a+b+c=0，且A．12 B．14 C．32【答案】B【解題思路】根據(jù)模長公式即可代入求解.【解答過程】由a+b+故?b=a故選：B.3．（5分）（24-25高二上·北京密云·期末）如圖，在三棱錐O?ABC中，點D是棱AC的中點，若OA=a，OB=b，OC=A．?B．a(chǎn)C．?D．1【答案】C【解題思路】根據(jù)空間向量的基本定理結(jié)合線性運算求解.【解答過程】DB=故選：C.4．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量a=1,0,1，b=1,A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】C【解題思路】依據(jù)條件，計算ka【解答過程】因a=1,0,因ka+b與2a?故選：C.5．（5分）（24-25高二上·北京·期末）已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M為側(cè)棱PC上的點，且PM=2MC，若BM=xAB+yA．?53 C．23 D．【答案】C【解題思路】運用向量的線性運用表示向量BM=23【解答過程】因為PM=2MC，所以BM?所以BM=23又BM=xAB+y所以x+y+z=2故選：C.6．（5分）（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空間向量a=2,?1,1，b=m,?3,3，若a與b的夾角是銳角，則A．?∞,?6∪C．?3,6∪6,+∞【答案】C【解題思路】應(yīng)用夾角是銳角的向量關(guān)系計算即可.【解答過程】因為空間向量a=2,?1,1，若a與b的夾角是銳角，則a→·b所以?3<m<6或m>6.故選：C.7．（5分）（24-25高二上·青海西寧·階段練習(xí)）正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，四面體A．12 B．14 C．13【答案】C【解題思路】先根據(jù)四面體ACB1D1體積為【解答過程】設(shè)AA1=a,因為四面體ACB1D1以DA,DC,DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則所以AC設(shè)平面BC1A所以m→·B令x=1，則y=1,z=1，所以m→設(shè)AC1與平面BCsinθ=故選：C.8．（5分）（24-25高三上·四川達州·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．QN⊥BB1 B．QN//C．直線QN與PT為異面直線 D．B1D⊥【答案】D【解題思路】首先以點B1【解答過程】如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)棱長為2，A.Q2,0,1，N1,2,0，B0,0,2，B10,0,0QN?BB1=2≠0B.平面BCC1B1的法向量為B1A1=2,0,0，QNC.P1,0,2，T0,2,1，PT=?1,2,?1，QN=D.D2,2,2，M2,1,0，B1D=PT=?1,2,?1，B1D?PT=0，PM∩PT=P，PM,PT?故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列說法正確的有（

）A．設(shè)a,?b,?c是空間向量，若a與b共線，b與B．若兩個非零向量AB與CD滿足AB+CD=0C．零向量與任何向量都共線D．兩個單位向量一定是相等向量【答案】BC【解題思路】根據(jù)共線向量以及單位向量的定義即可求解.【解答過程】對于A，若b為零向量時，則無法得到a與c共線，A錯誤，對于B，由AB+CD=0可得AB=?對于C，零向量與任意向量共線，故C正確，對于D，單位向量的模長相等，但是方向不一定相同,故D錯誤，故選：BC.10．（6分）（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量a，b滿足a+b=?1,1,3，a?2A．a(chǎn)=2,0,?1 C．b∥c 【答案】BC【解題思路】根據(jù)空間向量坐標表示及線性運算即可判斷A；根據(jù)空間向量的模的坐標公式即可判斷B；根據(jù)空間向量共線定理即可判斷C；根據(jù)空間向量夾角的坐標公式即可判斷D.【解答過程】對于A，由a+b=得2a所以a=?2,0,1，所以對于B，c=對于C，因為c=2b，所以對于D，a?cosa故選：BC.11．（6分）（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AAA．線段ED1B．異面直線D1E和BC．點B到直線D1ED．三棱錐B?D1【答案】BC【解題思路】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算即可判斷ABC，結(jié)合等體積法即可判斷D選項．【解答過程】A選項，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，根據(jù)題意得，B1,2,0，E1,1,0，D10,0,1，則ED1=?1,?1,1，所以線段B選項，又B1C=?1,0,?1，所以異面直線cosEC選項，設(shè)直線D1E上存在點F滿足D1則D1F=λ則BF=λ?1,λ?2,1?λ，又BF?解得λ=43，則所以點B到直線D1E的距離為：D選項，因為VB?故選：BC．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（24-25高二上·廣東江門·期中）已知a=1,0,1,b=【答案】?4【解題思路】根據(jù)空間向量加法、數(shù)量積的坐標運算求解即可.【解答過程】a+c=所以(a故答案為：?4.13．（5分）（24-25高二上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐O?ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,BD=23【答案】1【解題思路】由空間向量的加、減、數(shù)乘運算可求得.【解答過程】由已知，OE===1故答案為：1214．（5分）（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，Q為線段AP的中點，AB=3,BC=4,PA=2，則點P到平面BQD的距離為.【答案】12【解題思路】構(gòu)建合適的空間直角坐標系，應(yīng)用向量法求點面距離.【解答過程】如圖，以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則B(3,0,0),D(0,4,0),P(0,0,2),Q(0,0,1)，所以QB=(3,0,?1),設(shè)平面BQD的法向量為n=(x,y,z)，則n?BD=?3x+4y=0n所以點P到平面BQD的距離d=QP故答案為：1213四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（24-25高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A

(1)AB?(2)A1(3)1【答案】(1)DB(2)A(3)G【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.【解答過程】（1）AB?（2）A1（3）1216．（15分）（24-25高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖所示，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(1)用a,b,c為基底表示向量(2)求cosB【答案】(1)BD1(2)6【解題思路】（1）先求出BD1=?AB+（2）AC=a+b，平方，進而求出AC=【解答過程】（1）記AB=a，AD=則a=b=∴a?b=BD∴BD1=2，即（2）AC=a+故AC=由（1）知BD1=故B=b∴cosB17．（15分）（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知向量a=e1?2e2?e3(1)求a?b(2)求a+b與a?【答案】(1)a?b(2)0【解題思路】（1）由數(shù)量積和模的坐標表示計算；（2）由向量夾角的坐標表示求解．【解答過程】（1）由題意a=(1,?2,?1),b=(2,1,1)所以a?b=2?2?1=?1（2）a?cosθ=18．（17分）（24-25高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C(1)求BN的長；(2)求證：BN⊥平面C1【答案】(1)3(2)證明見解析【解題思路】（1）先建立空間直角坐標系，再求出坐標，進而求出向量求出模長；（2）應(yīng)用向量法得出線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理證明即可.【解答過程】（1）因為CC1⊥平面ABC，∠BCA=90°，以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x則B0,1,0,N1,0,1，所以BN（2）依題意得A1C1M=則C1M⊥又因為C1M∩C1N=C1，C19．（17分）（24-25高二上·廣西欽州·階段練習(xí)）如圖所示，在多面體ABCGFE中，底面BCFE為矩形，且AE⊥底面BCFE，AG//EF，AG=AE=BE=12EF=2(1)證明：AO//平面GCF.(2)求直線FG與平面ABO夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)26【解題思路】（1）取線段CF的中點H，連接OH,GH，求證AO//HG即可由線面平行判定定理得證.（2）建立空間直角坐標系E?xyz，求出向量FG和平面ABO的一個法向量m即可由線面角的空間向量法計算求解.【解答過程】（1）證明：取線段CF的中點H，連接OH,GH，因為四邊形EBCF是矩形，且CB=2EB，所以O(shè)H//BC且OH=1因為AG//EF且AG=12EF,EF//BC所以AG//BC且AG=1所以AG//OH且AG=OH，所以四邊形AOHG是平行四邊形，則AO//HG，因為AO?平面GCF,HG?平面GCF，所以A