答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁陜西省榆林市2026屆高三上學(xué)期第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．84．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B．1 C． D．6．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則7．在等腰梯形中，，，，為線段上的動點（包括端點），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)（），滿足，則關(guān)于函數(shù)的說法正確的有（

）A．B．函數(shù)的對稱中心為（）C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）D．函數(shù)在上的最小值為10．已知函數(shù)，若方程恰有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)可能的取值為（

）A． B．1 C． D．211．在棱長為1的正方體中，設(shè)為的中點，為的中點，為線段上的動點．則下列說法正確的是（

）A．過、、三點的平面截正方體所得截面可能為正六邊形B．直線與平面所成角的最大值為C．不存在點，使得D．與一定是異面直線三、填空題12．已知向量在向量上的投影向量為，則向量.（寫出滿足條件的一個即可）13．已知，則．14．在有序數(shù)組（，）中定義：元素（）右邊比其大的元素個數(shù)稱為的“順序數(shù)”，元素右邊比其小的元素個數(shù)稱為的“逆序數(shù)”．記有序數(shù)組的所有元素的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和為．①的所有元素的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和．②．四、解答題15．已知數(shù)列中，，．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．16．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．(1)求角的值；(2)若的面積為，的平分線交于，求線段的最大值．17．如圖，在梯形中，，，將沿翻折成，使得，連接，．(1)求證：；(2)若，，，且點、、、均在球的球面上．（?。┳C明點在線段上；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)．(1)當時，求的最小值；(2)已知函數(shù)有兩個零點，，且．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：．19．已知函數(shù)，．(1)證明：在上單調(diào)遞減；(2)記的最小值為，最大值為，數(shù)列的前項積為．（?。┣蟮耐椆?；（ⅱ）證明：．《陜西省榆林市2026屆高三上學(xué)期第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案DABDADCBACDBD題號11答案ABD1．D【分析】根據(jù)并集的定義即可求出.【詳解】利用并集的定義可得．故選：D．2．A【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運算求得正確答案.【詳解】由題意可得，則，所以．故選：A3．B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式、前項和為以及等差中項即可求出.【詳解】解法1：因為，所以，所以，所以公差，則．解法2：因為即得所以，故選：B．4．D【分析】由題意命題是假命題，則命題的否定是真命題，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為“，使”是假命題，所以“，都有”是真命題．即，所以，故選:.5．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，進而計算出三角形的面積.【詳解】因為，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，整理得．直線與軸交于點，與軸交于點，因此所求面積為．故選：A6．D【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】選項A：若，，，則或與異面，A選項錯誤.選項B：若，，，則或與相交，B選項錯誤.選項C：若，，，則或或與相交但不垂直，C選項錯誤.選項D：若，，，則必有，D選項正確.故選：D7．C【分析】建立平面直角坐標系，利用向量法求得正確答案.【詳解】依題意，等腰梯形中，，，，以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則，設(shè)，則，.故選：C．8．B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來分析的關(guān)系，進而確定的取值范圍.【詳解】解法1：由題意可知，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以，．設(shè)，則，令得．當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，因此，故選：B．解法2：由題意可知，設(shè)，則函數(shù)在單調(diào)遞增．又，所以，．設(shè)，則，令得．當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，因此，故選：B．9．ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求得，利用整體代入法求得的對稱中心和單調(diào)區(qū)間，利用換元法求得最小值.【詳解】因為，且，所以圖象關(guān)于直線對稱，即（），解得（），又，所以，，A選項正確.令（），所以圖象的對稱中心為（），B選項錯誤.令（），得（），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（），C選項正確.設(shè)，，因為，所以，所以當時，函數(shù)取得最小值為，即函數(shù)在上的最小值為,D選項正確.故選：ACD10．BD【分析】先分析函數(shù)的圖像特征，再將“方程根的個數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖象交點個數(shù)”問題來確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】解法1：由，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，當直線與曲線（）相切時，聯(lián)立得，令，得，依題意，作出與的圖象，如圖所示，由圖知，①當時，且，函數(shù)的圖象與的圖象無交點，不滿足題意；②當時，且，函數(shù)的圖象與的圖象僅交于點，不滿足題意；③當時，若，則，若，則，要使方程恰有2個不同的實數(shù)根，則的圖象與軸的交點在點左側(cè)，只需，即，當時有3個不同實根，時有4個不同實根；④當時，由上函數(shù)的圖象與的圖象有3個交點，不滿足題意；⑤當時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點，滿足題意．綜上，的取值范圍為，所以實數(shù)可能的取值為1和2，故選BD．解法2：對于A選項，當時，且，函數(shù)的圖象與的圖象僅交于點，不滿足題意；對于B選項，當時，函數(shù)最大值點為，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點，滿足題意；對于C選項，當時，，有3個不同實根；對于D選項，當時，此時函數(shù)與的圖象都關(guān)于直線對稱，方程恰有2個不同的實數(shù)根，所以實數(shù)可能的取值為1和2.故選:BD．11．ABD【分析】選項A：通過分析過、、三點的平面截正方體所得截面的形狀來判斷；選項B：先找出直線與平面所成角，再分析其最大值；選項C：建立空間直角坐標系，利用向量的數(shù)量積來判斷是否存在點，使得；選項D：建立空間直角坐標系，通過判斷與是否共面來判斷它們是否為異面直線.【詳解】選項A：在正方體中，過，，的截面與各棱交點為各棱中點時截面為正六邊形，故選項A正確；選項B：如圖

過作垂直于，則平面，連接，．則為與平面所成角．在中，，要使最大，只需最小，又最小值為1，所以最大值為1，從而直線與平面所成角最大值為．故選項B正確；對于選項C和D：以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則

，，，，設(shè)，，則．，．若，則，解得，又，所以存在點，使得．故選項C不正確．設(shè)平面的一個法向量，，，則即取，解得，故，又，所以，從而與一定是異面直線．故選項D正確．故選：ABD．12．（答案不唯一）【分析】根據(jù)投影向量的概念與平面向量的坐標運算即可得的值，從而可得滿足條件的一個.【詳解】向量在向量上的投影向量為所以,則向量（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.13．【分析】解法1：通過已知三角函數(shù)值求出的表達式，再代入計算即可.解法2：對角進行變形，使其與已知條件建立聯(lián)系，再運用二倍角公式計算即可.【詳解】解法1：因為，所以或（），則或（），所以．解法2：因為，所以．故答案為：.14．10【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義分析及等差數(shù)列求和公式、裂項相消法求解.【詳解】①對于可知，2的順序數(shù)為3，逆序數(shù)為1；4的順序數(shù)為1，逆序數(shù)為2；1的順序數(shù)為2，逆序數(shù)為0；3的順序數(shù)為1，逆序數(shù)為0，5的順序數(shù)為0，逆序數(shù)為0．故．②對于各項均不相同的有序數(shù)組，易知后有個數(shù)，所以的順序數(shù)+逆序數(shù)，所以，所以，所以．故答案為：10；．15．(1)(2)【分析】（1）通過等比數(shù)列的定義利用題干給的關(guān)系即可證明；（2）利用分組求和的方法，結(jié)合等差和等比數(shù)列的求和公式即可求出.【詳解】（1）因為，且，所以，所以數(shù)列是以5為首項，以5為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）因為，所以．16．(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.（2）利用三角形的面積公式列方程，求得，再根據(jù)面積列方程，利用基本不等式求得的最大值.【詳解】（1）由正弦定理，及，得，即，由余弦定理得，，所以．（2）如圖所示，因為，所以，因為為的平分線，，所以，，當且僅當時，等號成立，所以線段的最大值為．

17．(1)證明見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）．【分析】（1）證明出平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）（i）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，設(shè)點，由可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，可得出點的坐標，即可證得結(jié)論成立；（ii）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）翻折前，，即，，翻折后，則有，，又因為，、平面，所以平面．又平面，所以．（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，，，故、、、、．（?。┰O(shè)，則，，，．由，可得，解得，，則，故在線段上．（ⅱ）因為，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則，，可得，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．(1)0(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得出函數(shù)單調(diào)性進而得出最小值；（2）（?。┙夥?：根據(jù)函數(shù)有兩個零點構(gòu)造函數(shù)得出，則圖象與直線有兩個交點，數(shù)形結(jié)合得出參數(shù)范圍；解法2：分和得出函數(shù)單調(diào)性進而結(jié)合零點得出參數(shù)范圍；（ⅱ）證明1：構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)結(jié)合基本不等式得出導(dǎo)函數(shù)為正即可證明；證明2：由已知，，兩式相減得，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可證明；證明3：先應(yīng)用不等式性質(zhì)化簡為，再構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）當時，，．令得．當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為；（2）（?。┙夥?：令得．設(shè)，則圖象與直線有兩個交點．，當時，；當時，．因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時，，，，由圖可知，．

因此的取值范圍為．解法2：函數(shù)的定義域為，．當時，，故在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當時，令得．當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．時，，時，，因為函數(shù)有兩個零點，所以，，解得1．因此的取值范圍為．（ⅱ）證明1：由（ⅰ）解法2知，，，要證，即證．因為，所以，又在單調(diào)遞減，即證，又，即證．設(shè)，，則，當且僅當時取等號，所以，函數(shù)在單調(diào)遞增．當時，，因此，．因為，所以，故原不等式成立．證明2：由題意可知，，兩式相減得．要證，即證，即證，令，則．即證（），即證（）．設(shè)（），則．由（1）知，，當且僅當時取等號．故，即，在單調(diào)遞增，當時，，故原不等式成立．證明3：由題意可知，，兩式相減得．要證，即證，即證．令，，則，，．即證（），即證（）．令，即證（）．設(shè)（），則，在單調(diào)遞減，，因為，所以，故原不等式成立．19．(1)證明見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分析可知，即可得單調(diào)性；（2）（i）利用誘導(dǎo)公式分析可知的對稱軸和周期性，結(jié)合單調(diào)性可得和；（ⅱ）可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)