2/30專題4.3對數(shù)（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對數(shù)的概念判斷與求值】 2【題型2指數(shù)式與對數(shù)式的互化】 3【題型3對數(shù)的運(yùn)算】 5【題型4對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】 6【題型5運(yùn)用換底公式化簡計算】 7【題型6指、對數(shù)方程的求解】 9【題型7帶附加條件的指、對數(shù)問題】 10【題型8運(yùn)用換底公式證明恒等式】 12【題型9對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 14知識點(diǎn)1對數(shù)的概念1．對數(shù)的定義、性質(zhì)與對數(shù)恒等式(1)對數(shù)的定義：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)對數(shù)的性質(zhì)：①=0，=1(a>0,且a≠1)，負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).

②對數(shù)恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時，ax=N.

用圖表示為：2．常用對數(shù)與自然對數(shù)名稱定義符號常用對數(shù)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)簡記作lgN自然對數(shù)以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，e是無理數(shù)，e

≈2.71828簡記作lnN【題型1對數(shù)的概念判斷與求值】【例1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若代數(shù)式log8x2?2x?3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（A．?∞,?1 C．3,+∞ D．【答案】D【解題思路】由對數(shù)的真數(shù)大于0列式即可求.【解答過程】由題可得x2?2x?3>0，解得x<?1或故實(shí)數(shù)x的取值范圍為?∞故選：D.【變式1-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）有下列說法：①以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】根據(jù)對數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，一一判斷每個選項，可得答案.【解答過程】根據(jù)常用對數(shù)以及自然對數(shù)的概念可知①③正確，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知④正確，只有當(dāng)a>0且a≠1時，指數(shù)式ax故選：C.【變式1-2】（24-25高一上·天津西青·期中）log4log5x=0A．0 B．1 C．5 D．625【答案】C【解題思路】利用對數(shù)的性質(zhì)loga1=0，【解答過程】∵log4(log5故選：C.【變式1-3】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）對數(shù)loga+35?a中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．?∞,5 B．?3,5 C．?3,?2∪?2,5 【答案】C【解題思路】根據(jù)對數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】因為對數(shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實(shí)數(shù)，真數(shù)為正實(shí)數(shù)，所以有5?a>0a+3>0故選：C.【題型2指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【例2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若m2024=n（m>0且m≠1），則（

）A．logmn=2024 C．log2024m=n 【答案】A【解題思路】根據(jù)對數(shù)的定義將指數(shù)化為對數(shù).【解答過程】因為m2024=n（m>0且m≠1），所以故選：A.【變式2-1】（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知ax=4，loga3=y，則A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【解題思路】根據(jù)對數(shù)式和指數(shù)式的互化，利用指數(shù)的運(yùn)算即可求得答案.【解答過程】由loga3=y，得故ax+y故選：D.【變式2-2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）將下列指數(shù)式化為對數(shù)式：(1)12(2)103(3)e2【答案】(1)log(2)lg(3)ln【解題思路】直接利用指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系實(shí)現(xiàn)指對互化.【解答過程】（1）由12?5=32（2）由103=1000，得（3）由e2=x，得【變式2-3】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化．(1)53(2)4?2(3)log1(4)log3【答案】(1)log(2)log(3)1(4)3【解題思路】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互換公式ab=N?【解答過程】（1）53（2）4?2（3）log1（4）log3知識點(diǎn)2對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我們有：運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式自然語言描述積的對數(shù)正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)的對數(shù)的和商的對數(shù)兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)冪的對數(shù)正數(shù)冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘同一底數(shù)的冪的底數(shù)的對數(shù)2．對數(shù)的換底公式及其推論(1)換底公式：設(shè)a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，則.(2)換底公式的推論：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．對數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【題型3對數(shù)的運(yùn)算】【例3】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）計算：log153?log6A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】B【解題思路】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得所求代數(shù)式的值.【解答過程】原式=log故選：B.【變式3-1】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）求值：2log510?A．1 B．log516 C．2 【答案】C【解題思路】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算公式，即可求解.【解答過程】2log故選：C.【變式3-2】（24-25高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）對于一個聲強(qiáng)為I（單位：Wm2）的聲波，其聲強(qiáng)級L（單位：dB）可由如下公式計算：L=10lgII0（其中I0是能引起聽覺的最弱聲強(qiáng)）.設(shè)聲強(qiáng)為I1時的聲強(qiáng)級為70dB，聲強(qiáng)為A．10 B．100 C．1010 【答案】A【解題思路】代入求值，得到I1=10【解答過程】令L=70，則10lgI1令L=60，則10lgI2故I1故選：A.【變式3-3】（24-25高一上·江蘇常州·期中）一個39位整數(shù)的64次方根仍是整數(shù)，這個64次方根是（

）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解題思路】根據(jù)題意設(shè)這個39位數(shù)為a×1038(0<a<10)，這個數(shù)的64次方根為k【解答過程】設(shè)設(shè)這個39位數(shù)為a×1038(0<a<10)所以a×1038=所以lgk=1932所以0.59375<0.59375+1也即0.59375<lg因為lg2≈0.301，lg3≈0.477，所以所以k=4，故選：C.【題型4對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】【例4】（24-25高一上·重慶黔江·期末）計算lg2+lg50?2A．?2 B．?1 C．4 D．5【答案】B【解題思路】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則即可得到答案.【解答過程】lg2+故選：B.【變式4-1】（24-25高一上·上海·期中）設(shè)a是不等于1的正數(shù)，M，N是任意給定的正數(shù)，c是任意給定的實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)中錯誤的是（

）A．logaa=1 C．logaMc【答案】D【解題思路】對于ABC：根據(jù)對數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)分析判斷即可；對于D：舉反例說明即可.【解答過程】因為a是不等于1的正數(shù)，M，N是任意給定的正數(shù)，c是任意給定的實(shí)數(shù)，對于選項A：loga對于選項B：loga對于選項C：loga對于選項D：例如a=M=N=2，則loga此時loga故選：D.【變式4-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知log52=a，5b=3，則A．2a+b B．2ab C．a(chǎn)2+b 【答案】A【解題思路】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的互化以及對數(shù)運(yùn)算法則即可得出結(jié)果.【解答過程】由5b=3，則b=log∴l(xiāng)og故選：A.【變式4-3】（24-25高一上·江蘇南京·期中）我們知道，任何一個正實(shí)數(shù)P可以表示成P=a×10n1≤a<10,n∈Z，此時lgP=n+lga（1≤a<10），當(dāng)n>0時，P是n+1位數(shù)，則A．14 B．15 C．55 D．56【答案】B【解題思路】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【解答過程】lg2所以211故選：B.【題型5運(yùn)用換底公式化簡計算】【例5】（24-25高一上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知lg2=a，lg3=b，則log30A．a(chǎn)+2bb?1 B．a(chǎn)+2bb+1 C．a(chǎn)?2bb?1【答案】B【解題思路】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解.【解答過程】由題意，log30故選：B．【變式5-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)lg2=a，lg3=b，則A．b?a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b?a+1a?2b【答案】A【解題思路】利用對數(shù)換底公式和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【解答過程】∵lg2=a，log18即log18故選：A.【變式5-2】（2025·青海·模擬預(yù)測）若a=log35，5b=6A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】A【解題思路】指數(shù)式化為對數(shù)式，利用對數(shù)運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行求解.【解答過程】由5b故ab?=log故選：A.【變式5-3】（24-25高一上·福建南平·期末）已知logaM=6，logbM=10，logcM=15（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；M>0），則A．13 B．3 C．130【答案】B【解題思路】由條件結(jié)合換底公式可求logM【解答過程】由logaM=6，可得同理，可得logMb=1∴l(xiāng)og所以logabc故選：B.【題型6指、對數(shù)方程的求解】【例6】（24-25高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若lga，lgb是方程5x2?10x+3=0的兩個實(shí)根，則A．2 B．12 C．100 D．【答案】C【解題思路】由韋達(dá)定理可得：lga+【解答過程】由韋達(dá)定理可得：lga+所以lgab=lga+故選：C.【變式6-1】（24-25高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）已知lga，lgb是方程6x2?4x?3=0A．49 B．139 C．149【答案】D【解題思路】由韋達(dá)定理可得：lga+lgb=【解答過程】由韋達(dá)定理可得：lga+lgb=所以lga故選：D.【變式6-2】（24-25高一·山東棗莊·課后作業(yè)）若方程lgx2+lg7+lg5lgx+A．lg7?lg5 B．lg35 【答案】D【解題思路】運(yùn)用一元二次方程根的求法，結(jié)合對數(shù)性質(zhì)可解.【解答過程】lgx2+則lgx+lg7=0,解得x=17或x=1故選：D.【變式6-3】（25-26高一上·全國·單元測試）甲、乙兩人同時解關(guān)于x的方程：log2x+b+clogx2=0．甲寫錯了常數(shù)b，得兩根為14及18；乙寫錯了常數(shù)cA．x=2 B．x=4C．x=4或x=8 D．x=2或x=8【答案】C【解題思路】將原方程變形為log2x2+blog【解答過程】原方程兩邊同時乘以log2x，可變形為∵甲寫錯了b，得到兩根為14及18，∴又∵乙寫錯了常數(shù)c，得到兩根為12及64，∴b=?∴原方程為log2x2∴l(xiāng)og2x=2或log2故選：C.【題型7帶附加條件的指、對數(shù)問題】【例7】（24-25高一上·河南開封·期末）求滿足下列條件的各式的值：(1)若10m=4，10n(2)若xlog32=1【答案】(1)2(2)9【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算計算得解.（2）利用對數(shù)換底公式及指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系計算得解.【解答過程】（1）由10m=4，10n所以m+2n=2.（2）由xlog32=1所以4x【變式7-1】（24-25高一上·全國·周測）（1）已知2a=5（2）已知32x=4【答案】（1）13【解題思路】先利用指對互化，再利用換底公式化簡.【解答過程】（1）由已知，a=log所以1a（2）因為32x=43y=3y=log412所以3x【變式7-2】（24-25高一上·吉林延邊·期末）（1）若xlog23=1（2）已知lg2=a，lg3=b，試用a，b表示【答案】（1）52；（2）【解題思路】（1）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)式化指數(shù)式得3x（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【解答過程】（1）因為xlog23=1所以3x=2，則所以3x（2）因為lg2=a，lg所以lg15=lg3×10【變式7-3】（24-25高一上·江蘇南京·期末）已知6m=2，6(1)求62m?n(2)用m，n表示log20【答案】(1)45(2)n?m+12m+n【解題思路】（1）逆用指數(shù)運(yùn)算法則計算即可.（2）化指數(shù)式為對數(shù)式，再利用換底公式及對數(shù)運(yùn)算法則求解.【解答過程】（1）由6m=2，6n（2）由6m=2，6n所以log20【題型8\t"/gzsx/zj145214/_blank"\o"運(yùn)用換底公式證明恒等式"運(yùn)用換底公式證明恒等式】【例8】（24-25高一上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知：2x=3【答案】證明見詳解【解題思路】將指數(shù)式化為對數(shù)式，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算以及換底公式運(yùn)算分析證明.【解答過程】設(shè)2x=3則x=log2a,y=所以2x【變式8-1】（24-25高一下·廣西崇左·階段練習(xí)）求滿足下列條件的各式的值(1)若xlog34=1(2)設(shè)3x=4【答案】(1)10(2)證明見解析【解題思路】（1）運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則即可求解；（2）運(yùn)用對數(shù)的換底公式即可證明.【解答過程】（1）∵xlog∴l(xiāng)og3∴4x∴4（2）證明：設(shè)3x則x=log3m，y=所以1x=logm3所以1x所以1x【變式8-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）證明：（1）loga（2）loga【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題思路】利用換底公式及對數(shù)的性質(zhì)即可證明【解答過程】證明：（1）loga故loga（2）∵logam【變式8-3】（24-25高一下·上?！ふn后作業(yè)）已知在△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所對應(yīng)的三條邊長分別為a，b，c．求證：【答案】見解析【解題思路】利用直角三角形的勾股定理、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算法則可以證明等式成立.【解答過程】證明：在△ABC中，因為∠C=90°，所以因為log(b+c)a+log(c?b)=loga[(c?b)(c+b)]=所以log(b+c)知識點(diǎn)3對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際生活中，經(jīng)常會遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運(yùn)算的問題.求解對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題時，一是要合理建立數(shù)學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對數(shù)的性質(zhì)以及式子兩邊取對數(shù)的方法求解.

對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：

(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計算時要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；

(2)建立指數(shù)式，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時往往將等式兩邊同時取對數(shù)進(jìn)行計算.【題型9對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2025·陜西·模擬預(yù)測）2025年1月西藏定日發(fā)生6.8級地震，已知M（里氏震級）的計算公式為M=lgA?lgA0（其中A是被測地震最大振幅，常數(shù)AA．1.8 B．18 C．63 D．128【答案】C【解題思路】根據(jù)題意可得A=A0?10M【解答過程】由M=lgA?lgA0當(dāng)M=6.8時，地震最大振幅為A1當(dāng)M=5時，地震最大振幅為A2則A1故選：C.【變式9-1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V間的關(guān)系為L=5+lgV.已知五分記錄法的評判范圍為[4.0,5.2]，設(shè)lga=1.4，五分記錄法中，最大值對應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為M，最小值對應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為m，則MA．a(chǎn)+102 B．20a10+a C．a(chǎn)2【答案】D【解題