第11講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)鏈教材夯基固本激活思維1．(人A必一P109習題T2(1))設(shè)a＞0，則下列運算中正確的是()A．a(chǎn)eq\s\up6(\f(4,3))aeq\s\up6(\f(3,4))＝a B．a(chǎn)÷aeq\s\up6(\f(2,3))＝aeq\s\up6(\f(3,2))C．a(chǎn)eq\s\up6(\f(2,3))a－eq\s\up6(\f(2,3))＝0 D．(aeq\s\up6(\f(1,4)))4＝a2．(人A必一P118練習T2改)設(shè)a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，則()A．b＜c＜a B．c＜a＜bC．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c3．(人A必一P110習題T8(1)改)已知xeq\s\up6(\f(1,2))＋x－eq\s\up6(\f(1,2))＝5，則x＋x-1的值為()A．5 B．23C．25 D．274．下列函數(shù)的值域是(0，＋∞)的有()A．y＝4eq\s\up6(\f(1,3－x)) B．y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(3x)－1)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－2x) D．y＝eq\r(1－3x)5．函數(shù)y＝ax+2026＋2026(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點____．聚焦知識1．根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做____，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使得eq\r(n,a)有意義)；當n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；當n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．分數(shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\s\up6(\f(m,n))＝____(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\s\up6(\f(m,n))＝____(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪____．(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝___；(ar)s＝____；(ab)r＝____，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象定義域R值域____性質(zhì)過定點____，即當x＝0時，y＝1當x＞0時，____；當x＜0時，____當x＜0時，____；當x＞0時，____在(－∞，＋∞)上是____在(－∞，＋∞)上是____4．常用結(jié)論(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象時注意兩個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)．(2)底數(shù)a的大小決定了圖象相對位置的高低，不論是a＞1，還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越高，即“底大圖高”．(3)f(x)＝ax與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)(a＞0且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱．研題型能力養(yǎng)成舉題說法指數(shù)式的求值與化簡例1指數(shù)式的求值與化簡．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋(0.002)－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)-1＋π0＝__－eq\f(167,9)__．(2)已知aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(5)，則aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\s\up6(\f(1,2))＝__3__．(3)eq\f(a\s\up6(\f(2,3))\r(b),a－eq\s\up6(\f(1,2))\r(3,b))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a-1\r(b-1),b\r(a))))eq\s\up12(－\f(2,3))＝__aeq\s\up6(\f(1,6))b－eq\s\up6(\f(5,6))__．指數(shù)冪運算的一般原則：(1)負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(2)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)．(3)若是根式，應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示．變式1(1)已知ab＝－5，則aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5) B．0C．－2eq\r(5) D．±2eq\r(5)(2)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0.1-2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq\f(37,48)＝___．指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(多選)已知實數(shù)a，b滿足等式3a＝6b，則下列可能成立的關(guān)系式為()A．a(chǎn)＝b B．0＜b＜aC．a(chǎn)＜b＜0 D．0＜a＜b指數(shù)型函數(shù)的圖象，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．1．(多選)已知實數(shù)a，b滿足等式2025a＝2026b，則下列關(guān)系式可能成立的是()A．0＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜0C．0＜a＜b D．a(chǎn)＝b2．函數(shù)y＝2|1-x|的圖象大致是()ABCD指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用視角1比較函數(shù)值(式)的大小例3－1已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))，則()A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b變式3－1(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a視角2單調(diào)區(qū)間例3－2(1)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝2eq\r(4－3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(3,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))視角3最值例3－3(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2)+4x的值域為()A．[81，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,81)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,81))) D．(－∞，－81](2)函數(shù)y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是()A．[－31，1) B．[－35，－31]C．[－35，1) D．(－∞，－31]視角4綜合應(yīng)用例3－4已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)．(1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)若對任意實數(shù)m∈[－1，1]，f(m)＋f(m2－2t)＜0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．隨堂內(nèi)化1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c2．通過長期數(shù)據(jù)研究某人駕駛汽車的習慣，發(fā)現(xiàn)其行車速度v(km/h)與行駛地區(qū)的人口密度p(人/km2)有如下關(guān)系：v＝50·(0.4＋e-0.00004p)．如果他在人口密度為a的地區(qū)行車時速度為65km/h，那么他在人口密度為eq\f(a,2)的地區(qū)行車時速度約是()A．69.4km/h B．67.4km/hC．62.5km/h D．60.5km/h3．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1＋3x)，則()A．f(log34)＝eq\f(1,5)B．f(x)的值域為(－∞，1)C．f(x)是R上的減函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))對稱4．若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個交點，則a的取值范圍是____．配套熱練A組夯基精練一、單項選擇題1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞b＞a2．(2024·福州2月質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝3|a－2x|在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(－∞，4]C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)3．(2023·全國乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．24．(2024·合肥二檢)常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱作半衰期，記為T(單位：天)．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為T1，T2．開始記錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的eq\f(1,4)，則T1，T2滿足的關(guān)系式為()A．－2＋eq\f(512,T1)＝eq\f(512,T2) B．2＋eq\f(512,T1)＝eq\f(512,T2)C．－2＋log2eq\f(512,T1)＝log2eq\f(512,T2) D．2＋log2eq\f(512,T1)＝log2eq\f(512,T2)二、多項選擇題5．(2024·長春預(yù)測)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,2x－1＋1)，則下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)單調(diào)遞增B．函數(shù)f(x)的值域為(0，2)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱6．(2025·八省聯(lián)考)在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵函數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù)sinhx＝eq\f(ex－e－x,2)，雙曲余弦函數(shù)coshx＝eq\f(ex＋e－x,2)，雙曲正切函數(shù)tanhx＝eq\f(sinhx,coshx)，則()A．雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù) B．雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C．雙曲正切函數(shù)是增函數(shù) D．tanh(x＋y)＝eq\f(tanhx＋tanhy,1＋tanhxtanhy)7．(2024·臨沂一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋a(a∈R)，則()A．f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)B．f(x)的值域為RC．當a＝1時，f(x)為奇函數(shù)D．當a＝2時，f(－x)＋f(x)＝2三、填空題8．若命題“任意x∈[1，3]，a≤2x＋2－x”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是____．9．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為____．10．(2024·安陽三模)已知函數(shù)f(x)＝b＋eq\f(2a－1,2x－a)(a＞0)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，則a＋b＝____．四、解答題11．計算下列各式的值：(1)64eq\s\up6(\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－2)－(e－π)0＋(4eq\s\up6(\f(1,3))×5eq\s\up6(\f(1,2)))6；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,200)))eq\s\up12(－\f(1,2))－10(eq\r(2)－1)＋10(eq\r(3)－eq\r(2))0＋(－8)eq\s\up6(\f(4,3))．12．已知函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x．(1)若a＝－5，求不等式f(x)≤－4的解集；(2)若x∈[－2，2]時，f(x)的最小值為－1，求a的值．B組滾動小練13．(2025·南昌期初摸底)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|x＝my＋1，m∈R}，A∩B＝C，若C為單元素集合，則()A．m＝eq\f(1,2) B．m＝2C．m＝0或m＝eq\f(1,2) D．m＝0或m＝214．(2024·南京零模)(多選)若a＜0＜b，且a＋b＞0，則()A．eq\f(a,b)＞－1 B．|a|＜|b|C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞0 D．(a－1)(b－1)＜115．(2024·溫州三模)若定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)－1，f(4)＝2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝____．第11講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)激活思維1.D【解析】對于A，aeq\s\up6(\f(4,3))aeq\s\up6(\f(3,4))＝aeq\f(4,3)＋eq\f(3,4)＝aeq\s\up6(\f(25,12))；對于B，a÷aeq\s\up6(\f(2,3))＝a1－eq\f(2,3)＝aeq\s\up6(\f(1,3))；對于C，aeq\s\up6(\f(2,3))a－eq\f(2,3)＝a0＝1；對于D，(aeq\s\up6(\f(1,4)))4＝a.2.D【解析】b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c.3.B【解析】因為xeq\s\up6(\f(1,2))＋x－eq\f(1,2)＝5，所以(xeq\s\up6(\f(1,2))＋x－eq\f(1,2))2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23.4.C【解析】對于A，y＝4eq\s\up6(\f(1,3－x))的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；對于B，y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(3x)－1)的值域是[0，＋∞)；對于C，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－2x)的值域是(0，＋∞)；對于D，y＝eq\r(1－3x)的值域是[0，1).5.(－2026，2027)聚焦知識1.(1)根式2.(1)eq\r(n,am)eq\f(1,\r(n,am))沒有意義(2)ar＋sarsarbr3.(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)舉題說法例1(1)－eq\f(167,9)【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\s\up6(\f(1,2))－eq\f(10（\r(,5)＋2）,（\r(,5)－2）（\r(,5)＋2）)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(,5)－10eq\r(,5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(2)3【解析】因為(aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\f(1,2))2＝a＋a－1－2＝(aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2))2－4＝5，所以(aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2))2＝9.又因為aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)>0，所以aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3.(3)aeq\s\up6(\f(1,6))b－eq\f(5,6)【解析】eq\f(a\s\up6(\f(2,3))\r(b),a－\f(1,2)\r(3,b))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1\r(b－1),b\r(a))))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(1,2)),a－\f(1,2)b\s\up6(\f(1,3)))×eq\f(b－\f(2,3)a－\f(1,3),a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(2,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)beq\f(1,2)－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)－eq\f(1,3)＝aeq\s\up6(\f(1,6))b－eq\f(5,6).變式1(1)B【解析】由題意知ab<0，aeq\r(,－\f(b,a))＋beq\r(,－\f(a,b))＝aeq\r(,－\f(ab,a2))＋beq\r(,－\f(ab,b2))＝aeq\r(,\f(5,a2))＋beq\r(,\f(5,b2))＝aeq\f(\r(,5),|a|)＋beq\f(\r(,5),|b|)，由于ab<0，故eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)，則原式＝0.(2)100【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up6(\f(1,2))＋eq\f(1,0.12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.例2ABC【解析】由題意，在同一平面直角坐標系內(nèi)分別畫出函數(shù)y＝3x和y＝6x的圖象，如圖所示，由圖象知，當a＝b＝0時，3a＝6b＝1，故A正確；作出直線y＝k，當k>1時，若3a＝6b＝k，則0<b<a，故B正確；作出直線y＝m，當0<m<1時，若3a＝6b＝m，則a<b<0，故C正確；當0<a<b時，易得2b>1，則3a<3b<2b·3b＝6b，故D錯誤．(例2)題組·高頻強化1.ABD【解析】如圖，觀察易知a，b的關(guān)系為a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(第1題)2.A【解析】函數(shù)y＝2|1－x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>1，,21－x，x≤1，))所以當x>1時，y＝2x－1是增函數(shù)，當x≤1時，y＝21－x是減函數(shù)，且當x＝1時，y＝1，即函數(shù)的圖象過點(1，1)，所以符合條件的圖象是A.例3-1A【解析】因為a＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))>4eq\s\up6(\f(2,5))＝b，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))＝5eq\s\up6(\f(2,3))>4eq\s\up6(\f(2,3))＝a，所以c>a>b.變式3-1B【解析】因為y＝4.2x在R上單調(diào)遞增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2－0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b.因為y＝log4.2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c.例3-2(1)D【解析】函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在(0，1)上單調(diào)遞減，則有函數(shù)y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在(0，1)上單調(diào)遞減，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范圍是[2，＋∞).(2)B【解析】設(shè)t＝4－3x－x2，則由t＝4－3x－x2≥0，得－4≤x≤1，即函數(shù)f(x)的定義域為[－4，1].又t＝4－3x－x2＝－(x＋eq\f(3,2))2＋eq\f(25,4)，所以t＝4－3x－x2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))上單調(diào)遞減，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1)).例3-3(1)B【解析】易知二次函數(shù)y＝－x2＋4x的圖象開口向下，當x＝2時，取得最大值4.又函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)是減函數(shù)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2)＋4x的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,81)，＋∞)).(2)C【解析】令t＝2x，因為x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，則4x－3×2x＋2＋1＝t2－12t＋1.令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，所以當t＝6時，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35.又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，即函數(shù)y＝4x－3×2x＋2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1).例3-4【解答】(1)當x>0時，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，任取x<0，則－x>0，f(－x)＝1－eq\f(2,2－x＋1)＝1－eq\f(2x＋1,2x＋1)＝eq\f(1－2x,2x＋1).又因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).又因為f(0)＝0也符合上式，所以f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).(2)f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,2x1＋1)－eq\f(2x2－1,2x2＋1)＝eq\f(2（2x1－2x2）,（2x1＋1）（2x2＋1）).因為x1<x2，所以2x1<2x2，所以2x1－2x2<0.又因為2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．(3)由f(m)＋f(m2－2t)<0，得f(m)<－f(m2－2t)，所以f(m)<f(2t－m2)，所以m<2t－m2，即m2＋m<2t，所以對?m∈[－1，1]，m2＋m<2t恒成立．令y＝m2＋m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，m∈[－1，1]，當m＝1時，ymax＝2，所以2<2t，解得t>1，所以實數(shù)t的取值范圍為(1，＋∞).隨堂內(nèi)化1.D【解析】由y＝1.01x在R上單調(diào)遞增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c.2.B【解析】由題知65＝50·(0.4＋e－0.00004a)，整理得e－0.00004a＝0.9，所以e－0.00002a＝(e－0.00004a)eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(0.9)，所以當他在人口密度為eq\f(a,2)的地區(qū)行車時速度v＝50·(0.4＋e－0.00002a)＝50·(0.4＋eq\r(0.9))≈67.4km/h.3.ACD【解析】f(log34)＝eq\f(1,1＋3log34)＝eq\f(1,1＋4)＝eq\f(1,5)，故A正確；由y＝1＋3x的值域是(1，＋∞)，知f(x)＝eq\f(1,1＋3x)的值域是(0，1)，故B錯誤；由y＝1＋3x恒正且在R上單調(diào)遞增，知f(x)＝eq\f(1,1＋3x)是R上的減函數(shù)，故C正確；由f(x)＋f(－x)＝eq\f(1,1＋3x)＋eq\f(1,1＋3－x)＝eq\f(1,1＋3x)＋eq\f(3x,1＋3x)＝1，知D正確．4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位長度，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，保持x軸及其上方的圖象不變得到的．當a＞1時，如圖(1)，兩圖象只有一個交點，不符合題意；當0＜a＜1時，如圖(2)，要使兩個圖象有兩個交點，則0＜2a＜1，即0＜a＜eq\f(1,2).綜上可知，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).圖(1)圖(2)(第4題)配套精煉1.D【解析】方法一：由指數(shù)函數(shù)y＝0.3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，得a<b.由冪函數(shù)y＝x0.5在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，得c>b.綜上，c>b>a.方法二：因為eq\f(a,b)＝0.30.1<1，且eq\f(b,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(0.5)<1，又a，b，c都為正數(shù)，所以c>b>a.2.D【解析】函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝3|a－2x|在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞減，所以y＝|a－2x|在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞減，所以a－2×2≥0，即a≥4.3.D【解析】因為f(x)＝eq\f(xex,eax－1)為偶函數(shù)，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f(（－x）e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e（a－1）x],eax－1)＝0.又因為x不恒為0，所以ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.4.B【解析】設(shè)開始記錄時，甲、乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(512,T1))，乙的質(zhì)量為(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(512,T2)).由題意可得(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(512,T2))＝eq\f(1,4)·(eq\f(1,2))eq\s\up6(\f(512,T1))＝(eq\f(1,2))2＋eq\f(512,T1)，所以2＋eq\f(512,T1)＝eq\f(512,T2).5.ABD【解析】f(x)＝eq\f(2x,2x－1＋1)＝eq\f(2x＋2－2,2x－1＋1)＝2－eq\f(2,2x－1＋1)，令函數(shù)y＝2－eq\f(2,t)，t＝2x－1＋1，則t>1.因為內(nèi)層函數(shù)t＝2x－1＋1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y＝2－eq\f(2,t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A正確；因為2x－1＋1>1，所以0<eq\f(2,2x－1＋1)<2，則0<2－eq\f(2,2x－1＋1)<2，所以函數(shù)f(x)的值域為(0，2)，故B正確；f(2－x)＝eq\f(22－x,21－x＋1)＝eq\f(4,2＋2x)＝eq\f(2,2x－1＋1)，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱，故C錯誤，D正確．6.ACD【解析】對于A，設(shè)h(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，則h′(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)>0，故sinhx＝eq\f(ex－e－x,2)是增函數(shù)，故A正確．對于B，方法一：設(shè)f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)，則f′(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，令f′(x)＝0，得x＝0.又f′(x)單調(diào)遞增，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯誤．方法二：設(shè)f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)，則f(x)＝f(－x)，所以f(x)為偶函數(shù)，且f(x)不是常函數(shù)，故f(x)不是增函數(shù)，故B錯誤．對于C，設(shè)g(x)＝tanhx＝eq\f(sinhx,coshx)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)，方法一：g′(x)＝eq\f(4,（ex＋e－x）2)>0，故g(x)＝tanhx為增函數(shù)，故C正確．方法二：g(x)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)＝eq\f(ex＋e－x－2e－x,ex＋e－x)＝1－eq\f(2e－x,ex＋e－x)＝1－eq\f(2,e2x＋1).因為y＝eq\f(2,e2x＋1)在R上單調(diào)遞減，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，故C正確．對于D，tanh(x＋y)＝eq\f(ex＋y－e－（x＋y）,ex＋y＋e－（x＋y）)，eq\f(tanhx＋tanhy,1＋tanhxtanhy)＝eq\f(\f(ex－e－x,ex＋e－x)＋\f(ey－e－y,ey＋e－y),1＋\f(ex－e－x,ex＋e－x)·\f(ey－e－y,ey＋e－y))＝eq\f(（ex－e－x）（ey＋e－y）＋（ey－e－y）（ex＋e－x）,（ex＋e－x）（ey＋e－y）＋（ey－e－y）（ex－e－x）)＝eq\f(2[ex＋y－e－（x＋y）],2[ex＋y＋e－（x＋y）])＝tanh(x＋y)，故D正確．7.ACD【解析】對于函數(shù)f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正確；因為2x>0，當2x－1>0時，eq\f(2,2x－1)>0，所以eq\f(2,2x－1)＋a>a，當－1<2x－1<0時，eq\f(2,2x－1)<－2，所以eq\f(2,2x－1)＋a<－2＋a，綜上可得f(x)的值域為(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B錯誤；當a＝1時，f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋1＝eq\f(2x＋1,2x－1)，則f(－x)＝eq\f(2－x＋1,2－x－1)＝－eq\f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋1為奇函數(shù)，故C正確；當a＝2時，f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋2＝eq\f(2x＋1,2x－1)＋1，則f(x)＋f(－x)＝eq\f(2x＋1,2x－1)＋1＋eq\f(2－x＋1,2－x－1)＋1＝2，故D正確．8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))【解析】若命題“任意x∈[1，3]，a≤2x＋2－x”為假命題，則命題“存在x∈[1，3]，a>2x＋2－x”為真命題．當1≤x≤3時，2≤2x≤8，令t＝2x，則2≤t≤8，又y＝t＋eq\f(1,t)在[2，8]上單調(diào)遞增，所以eq\f(5,2)≤y≤eq\f(65,8)，所以a>eq\f(5,2).9.{－1，0，1}【解析】f(x)＝eq\f(1,2)×4x－3×2x＋4(0<x<2)，令t＝2x，則t∈(1，4)，令g(t)＝eq\f(1,2)t2－3t＋4，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為t＝3，g(1)＝eq\f(3,2)，g(3)＝－eq\f(1,2)，g(4)＝0，所以g(t)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，即f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，所以[f(x)]∈{－