第三章圓（壓軸專練）（十三大題型）題型1：“有直徑現(xiàn)直角”1．如圖，已知點是以為直徑的半上的動點（點不與重合），點是中點，連結(jié)，交分別于點．

(1)如圖1，若，的度數(shù)為，求的長．(2)如圖2，若，求的值．(3)如圖3，連結(jié)，當成為直角三角形時，求與的面積比．【答案】(1)1(2)(3)1或2【分析】（1）連接，等弧等角，得到，三線合一，得到，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長即可；（2）同法（1）求出，進而求出的長，即可得解；（3）分和，兩種情況進行討論求解．【解析】（1）解：連接，則：，∵點是中點，的度數(shù)為，∴，∴，∴，∴，∴；（2）連接，則：，∵為直徑，∴的度數(shù)為，∵，∴，∴，同法（1）可知：，∴，∴，∴，∴；（3）①當時，如圖：∵為的中點，∴垂直平分，∴，度數(shù)均為，，，，∵，，；當時，，連結(jié)，∵，，∵為直徑，∴，∵，∴，為的中點，∵，∴，，∵，為的中點，是的中位線，，，．綜上：與的面積比為1或2．【點睛】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，垂徑定理，圓周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，綜合性較強，屬于中考幾何常見的壓軸題．熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．題型2：“有垂徑現(xiàn)三角形”2．如圖1，點是直徑上一點，，，過點作弦，點在上運動，連接．

(1)求的長．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點，在點運動的過程中，的長度是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不會發(fā)生變化，請求出其值．(3)如圖，過點作于，連接，求的最小值．【答案】(1)8(2)的長度不發(fā)生變化；(3)【分析】（1）連接，根據(jù)，，確定圓的半徑為5，結(jié)合，根據(jù)垂徑定理，得到，得．（2）連接，根據(jù)垂徑定理，得到，利用三角形外角性質(zhì)，圓周角定理，證明即可．（3）根據(jù)題意，點H的運動軌跡是以為直徑的上的，當D、H、N三點共線時，取得最小值，計算即可．【解析】（1）如圖，連接，∵，，∴，∴圓的半徑為5，

∵，∴，∴．（2）的長度不發(fā)生變化；．理由如下：如圖，連接，

∵直徑，，，弦，，∴，∴，∵的角平分線交于點，∴，∵，，∴，∴，∴，故的長度不發(fā)生變化；．（3）如圖，連接，∵，

∴點H的運動軌跡是以為直徑的上的，當D、H、N三點共線時，取得最小值，連接，交于點M，故當H與M重合時，取得最小值，∵，，，∴，∴，過點N作于點F，則，∴，∵，∴，，，∴，∴，故最小值為．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，直角所對的弦是直徑，點圓最值，中位線定理，熟練掌握垂徑定理，圓的最值性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3：題型1和題型2綜合3．已知：是的直徑，弦交于點E，且弧?。?1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，點F為上的一點，連接，過點C作，垂足為點G，若點H為弧的中點，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點N，若，，求的半徑．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）連接、，可證是的垂直平分線，即可求證；（2）連接，可求，由此可求，由，即可求解；（3）連接、，設(shè)，可得，從而可求，，進而可求，可證，可得，可求，即可求解．【解析】（1）證明∶如圖，連接、，，，，是的垂直平分線，；（2）解：如圖，連接，是的直徑，，，點H為弧的中點，，，，，，，故的度數(shù)為；（3）解：如圖，連接、，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得：，，，，的半徑為．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的基本性質(zhì)，線段平行線的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性質(zhì)，能根據(jù)題意作出適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．題型4：構(gòu)造出圓心角、圓周角之間的關(guān)系4．如圖，在中，是上一動點，連接，以為直徑的交于點，連接并延長交于點，交于點，連接．(1)若，求證：點是的中點．(2)當點移動到使時，求的值．(3)當點到移動到使時，求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意求得，再利用勾股定理即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意證明出，利用勾股定理得到是等邊三角形，再利用含角的直角三角形三邊關(guān)系即可得到本題答案．【解析】（1）解：證明：連接，，∵為的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴點是的中點．（2）解：解：連接．∵為的直徑，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴=，∴，∴，∴；（3）解：證明：連接．，∵，由（2）知，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由（2）知，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，垂徑定理，等腰直角三角形性質(zhì)和判定，等邊三角形性質(zhì)及判定，含角的直角三角形三邊關(guān)系．題型5：題型1-4綜合5．如圖，在中，點O是的中點，以O(shè)為圓心，為半徑作，交于點D，交于點E，弧與弧相等，點F在線段上，．(1)求證：；(2)判斷與的位置關(guān)系，并加以證明；(3)若的半徑為5，，求的長．【答案】(1)見解析(2)與相切，證明見解析(3)【分析】該題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)“切線垂直于過圓心的直徑或（半徑）”和判定，三角形中位線的性質(zhì)“三角形中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半”和判定，解題的關(guān)鍵是做出對應(yīng)輔助線；（1）連接，根據(jù)弧與弧相等，得出，根據(jù)是的直徑，得出，證出，即可求證；（2）連接，根據(jù)，得出，證出是的中位線，得出，根據(jù)，證出，由等量代換得出，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，即可證明與相切；（3）連接，根據(jù)弧與弧相等證出，根據(jù)，得出，結(jié)合（2）得出，證出是的中位線，得出，設(shè)長為x，則，表示出，，，根據(jù)是的直徑，得出，在中，運用勾股定理解出x，得出，，在中，運用勾股定理解出；【解析】（1）證明：連接，∵弧與弧相等；∴，∵是的直徑；∴，∴，∴，，∴，∴；（2）與相切，證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵點O是的中點，是的中位線，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴與相切；（3）解：連接，∵弧與弧相等，∴，∵，∴，∵，∴，∴，是的中位線，∴，設(shè)長為x，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的直徑，∴在中，，即，解得或（舍），，，在中，，解得．題型6：動點問題（列方程；分類討論）6．如圖1，在中，，，，動點D由點C向點B以每秒速度在邊上運動，動點E由點C向點A以每秒速度在邊上運動，若點D、點E從點C同時出發(fā)，運動t秒（），連接．(1)求證：；(2)如圖2，設(shè)經(jīng)過點D、C、E三點的圓為，連接并延長交于點H．①猜想直線與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②當與邊相切時，則；③在點D、點E運動過程中，若與邊交于點M、N（點M在點N下方，如圖3），連接并延長交邊于點H，連接，當與相似時，直接寫出t值．【答案】(1)見解析(2)①，見解析；②；③或【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)；（1）直接證明結(jié)合可得；（2）①由，可得，由可得，再證明即可；②根據(jù)可得為直徑，當與邊相切時切點為，此時，再利用面積列方程求解即可；③先求出，，再分情況討論，當時，；當時，，分別代入列方程求解即可．【解析】（1）證明：由題意得，，，∴，∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴；（2）解：①．證明：∵經(jīng)過點D、C、E三點，∴，∴，∵由（1），∴，∴，∴，∴；②∵，，∴，∴，∵與邊相切，∴，∴，∵，，，，∴，∴，解得；③由可得，∴由半徑相等可得，當時，，則，解得；當時，，則，解得；綜上所述，當與相似時，或．7．在矩形中，，，點P從點A出發(fā)沿邊以的速度向點B移動，同時，點Q從點B出發(fā)沿以的速度向點C移動，其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒：(1)如圖1，幾秒后，的面積等于？(2)在運動過程中，若以P為圓心、為半徑的與相切（如圖1），求t值；(3)若以Q為圓心，為半徑作．①如圖2，以Q為圓心，為半徑作．在運動過程中，是否存在這樣的t值，使正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；②如圖3，若與四邊形的邊有三個公共點，則t的取值范圍為______．（直接寫出結(jié)果，不需說理）【答案】(1)2秒或4秒(2)(3)①0或或；②【分析】（1）由題意可知，，從而得到，，然后根據(jù)的面積為列方程求解即可；（2）如圖1所示：連接．依據(jù)勾股定理可求得的長，然后依據(jù)切線長定理可知，從而可求得的長，由圓的半徑相等可知，然后在中依據(jù)勾股定理列方程求解即可；（3）①先判斷不與，相切，然后分與相切；與相切，根據(jù)半徑等于構(gòu)建方程求解即可．②先求得與四邊形有兩個公共點時t的值，然后可確定出t的取值范圍．【解析】（1）解：由題意知，，，則，∵∴，解得或，故當運動時間為2秒或4秒時，的面積為；（2）解：如圖1，設(shè)切點為，連接．∵，∴與相切，∴分別與，相切，∴．∵與相切，∴，在中，依據(jù)勾股定理可得．∴．∵，∴，．在中，依據(jù)勾股定理可得，，解得；（3）解∶①由題意知不與，相切，當與相切時，設(shè)切點為E，連接，則，，則四邊形是矩形，∴，∴，解得或；當與相切時，則，∴，解得，（舍去），綜上，當t的值為0或或時，正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切；②解：（Ⅰ）當時，如圖4所示：與四邊形有兩個公共點；（Ⅱ）如圖5所示：當經(jīng)過點D時，與四邊形有兩個公共點，則，得方程，解得：（舍），，∴當，與四邊形有三個公共點．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了三角形的面積公式、切線長定理、勾股定理、圓的性質(zhì)，依據(jù)題意列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．題型7：圓與平面直角坐標系8．如圖，以點為圓心的圓，交軸于、兩點（在的左側(cè)），交軸于、兩點（在的下方），，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到．

(1)求、兩點的坐標；(2)請在圖中畫出線段、，并判斷四邊形的形狀（不必證明），求出點的坐標；(3)動直線從與重合的位置開始繞點順時針旋轉(zhuǎn)，到與重合時停止，設(shè)直線與交點為，點為的中點，過點作于，連接、．請問在旋轉(zhuǎn)過程中的大小是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由．【答案】(1)，(2)矩形，(3)不變，【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角，結(jié)合三角形的外角求出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長，得到點，B點的坐標即可；（2）連接并延長，交圓于點，連接，即可得到四邊形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，過點M作交于點N，證明，可得點M的坐標；（3）結(jié)合題意，得；再結(jié)合點Q是的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)，得，從而推導得點E、M、B、G在以點Q為圓心、為半徑的圓上，故得；再根據(jù)，，即可求解．【解析】（1）解：如圖，連接．

由題意知，，∴，∴，∵，∴，∴，，，，∴，；（2）解：如圖，四邊形是矩形，

由題意，得：，，∴三點共線，∵，，∴四邊形是平行四邊形，又∵為直徑，∴，四邊形是矩形．過點M作交于點N．

在和中，，，，，又，點M的坐標為；（3）解：如圖，

結(jié)合（2）的結(jié)論，四邊形是矩形，，，，，點Q是的中點，，點E、M、B、G在以點Q為圓心、為半徑的圓上，．，，∴，．在旋轉(zhuǎn)過程中的大小不變，始終等于．【點睛】本題屬于圓內(nèi)綜合題，考查圓的基本知識，垂徑定理，圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平面直角坐標系，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，綜合性較強，有一定難度，解題的關(guān)鍵是綜合運用上述知識，逐步推導論證．題型8：圓與二次函數(shù)9．如圖1，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與x軸交于A，兩點，與y軸交于點C，且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式：(2)若點G為拋物線上一點，當時，直接寫出點G的坐標；(3)如圖2若M為線段的中點，N為拋物線的頂點，經(jīng)過A，B，C三點．經(jīng)過圓心T的直線交拋物線于D，E兩點，直線交x軸于點P，直線交x軸于點Q．求的值．【答案】(1)(2)，(3)；詳見解析【分析】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與角度問題，二次函數(shù)與定值問題；（1）由求出，C0,-3，然后將這三個點代入計算即可；（2）取點，，交軸于，證明，，得到，點為直線、與拋物線的交點，分別求直線、解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求交點即可；（3）先求出圓心，再設(shè)，，求出經(jīng)過的直線解析式，再與拋物線聯(lián)立得到，推出，，再求出解析式及其與軸于點，得到，同理，再代入計算即可．【解析】（1）解：，∴，∴，，C0,-3，將，，C0,-3代入得：，解得，該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：取點，，交軸于，則，，，∴，，∴，∴點為直線、與拋物線的交點，設(shè)直線解析式為，代入，得，解得，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴即直線與拋物線的交點點的坐標，同理直線與拋物線的交點點的坐標，∴點的坐標，；（3）解：；理由如下：經(jīng)過三點，圓心在的垂直平分線，與的垂直平分線的交點處，．為拋物線上兩點，設(shè)，，設(shè)經(jīng)過的直線解析式為，聯(lián)立得：即：，，．為拋物線的頂點，，，表示為，即：直線交軸于點，令，得解得，同理，．故的值為．10．如圖，已知拋物線與x軸交于A、B（A在B的左邊），與y軸交于C，且．(1)若點A的坐標是，C的坐標是，試求拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下，如圖1，直線與拋物線交于D、E兩點，點F在直線下方的拋物線上，若以F為圓心作，滿足與直線相切，求當?shù)陌霃阶畲髸r，點F的坐標；(3)如圖2，若，M、N分別是拋物線對稱軸右側(cè)上的兩點（M在N的右邊），連接、、，交x軸于點P，點K是的中點，若的內(nèi)心在x軸上，K的縱坐標為n，試探究的值是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)定值，【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，將點坐標代入，即可求解；（2）過F作于H，過F作軸，交直線于Q，由切線的性質(zhì)得H在上，，由勾股定理得，設(shè)，，可求，即可求解；（3）設(shè)，設(shè)拋物線解析式為，將代入得，，設(shè)直線解析式為，聯(lián)立直線與拋物線的解析式得，，同理可求出，由中點得，待定系數(shù)法得直線解析式為，可求出，由可求出，即可求解．【解析】（1）解：A的坐標是，，，，可設(shè)拋物線的解析式為，，，解得：，，故拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過F作于H，過F作軸，交直線于Q，為的切線，H在上，，直線，，，設(shè)，，，，當時，，，，F(xiàn)；（3）解：定值，設(shè)，，，，，設(shè)拋物線解析式為，將代入得，，的內(nèi)心在x軸上，，設(shè)直線解析式為：，聯(lián)立，解得：，，平分，且在軸上，直線與直線關(guān)于軸對稱，同理設(shè)直線解析式為：，同理可求出，K是的中點，，，，設(shè)直線解析式為：，則有，解得：，直線解析式為：，當時，，解得：，，，，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心定義，勾股定理等；能熟練使用待定系數(shù)法求函數(shù)解析及輔助未知數(shù)表示點的坐標，掌握切線的性質(zhì)，并能利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．題型9：新定義題—直線與圓的位置關(guān)系11．在平面直角坐標系中，的半徑為1．對于的弦和一點，給出如下定義：若直線與只有一個公共點，，則稱點是弦的“切割點”．(1)已知點．①若點為弦的“切割點”，則______，點的坐標為______；②若弦與軸平行且只有一個點為弦的“切割點”，則的取值范圍是______；(2)已知點為直線上一點，若存在的弦．當時，點為弦的“切割點”．直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①2；；②(2)【分析】（1）①過點A作軸于C，連接，解得到，則，根據(jù)題意可得與相切，則，進而可得，求出，則；設(shè)與軸交點為，證明為等邊三角形，得到，則，再由，可得點B與點重合，即O、B、M三點都在y軸上，則．②如圖，先由平行線的性質(zhì)得到，再由“切割點”的定義得到，當點在下方時，可得，當點在上方時，可得，再由只有一個點為弦的“切割點”，可得．（2）在取弦，使得，此時點為弦的“切割點”，連接，則，證明是等邊三角形，得到，則，可求出，則可利用勾股定理求出，故點在以點O為圓心，半徑為的圓上運動；如圖所示，在取弦，使得，此時點為弦的“切割點”，連接，證明是直角三角形，且，得到，則，即可推出是等腰直角三角形，得到，則，故點在以點O為圓心，半徑為的圓上運動；綜上所述，當時，點Q的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為和半徑為兩個圓組成的圓環(huán)，那么直線一定要與以O(shè)為圓心，半徑為和半徑為兩個圓組成的圓環(huán)有交點；求出當直線與以O(shè)為圓心，半徑為的圓相切時b的值即可得到答案．【解析】（1）解：①如圖，過點A作軸于C，連接，∵，∴，，∴，∴，∵，∴點M在y軸上，∴，∵點為弦的“切割點”，∴與相切，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)與軸交點為，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∵點為弦的“切割點”，∴，∴點B與點重合，即O、B、M三點都在y軸上，∵，∴．②如圖，∵軸，∴，∵弦與軸平行且只有一個點為弦的“切割點”，∴與相切于A，∴，∴，當點在下方時，∴，∴，∴；當點在上方時，則，∴，∴，∵只有一個點為弦的“切割點”，∴．（2）解：如圖所示，在取弦，使得，此時點為弦的“切割點”，連接，∴，∵的半徑為1，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴點在以點O為圓心，半徑為的圓上運動；如圖所示，在取弦，使得，此時點為弦的“切割點”，連接，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴點在以點O為圓心，半徑為的圓上運動；綜上所述，當時，點Q的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為和半徑為兩個圓組成的圓環(huán)，∵點為直線上一點，∴直線一定要與以O(shè)為圓心，半徑為和半徑為兩個圓組成的圓環(huán)有交點；如圖所示，當直線與以O(shè)為圓心，半徑為的圓相切于點H（x軸上方）時，連接，設(shè)直線與x軸，y軸分別交于K、L，則，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，同理當直線與以O(shè)為圓心，半徑為的圓相切時，切點在x軸下方時，，綜上所述，．【點睛】本題主要考查了圓與一次函數(shù)綜合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解（1）的關(guān)鍵在于正確理解定義，解（2）的關(guān)鍵在于正確找到點Q的運動軌跡。題型10：內(nèi)心12．如圖：是的直徑，為上一點，平分∠，是的內(nèi)心，與相交于，連接、、．（1）求證：；（2）求證：；（3）已知，，求的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)圓周角定理可得，然后根據(jù)圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)心的定義可得，最后根據(jù)等腰三角形的判定可得，由此即可得證；（2）先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得和，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（3）如圖（見解析），先根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)正切三角函數(shù)可得，設(shè)，從而可得，然后根據(jù)線段的和差、直角三角形的面積公式可得，最后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得出答案．【解析】（1）如圖，連接，平分，，，由圓周角定理得：，，點是的內(nèi)心，，，，；（2）由圓周角定理得：，在和中，，，，即，由圓周角定理得：，在和中，，，，即，，，，即；（3）如圖，設(shè)內(nèi)切圓與的切點分別為點，連接，則，是的直徑，，，設(shè)，則，，設(shè)，則，，，，解得，，，，即，解得，在中，，即，解得或（不符題意，舍去），，即的半徑為5．【點睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心等知識點，較難的是題（3）熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型11：圓與銳角的三角函數(shù)13．如圖1，四邊形內(nèi)接于，點A是的中點，．直線與相切于點A，交的延長線于點E，已知，思考并解決以下問題：(1)求證：．(2)求的值．(3)如圖2，在上取一點F，使．①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②如圖3，作于點H，于點I．若，，連接，請直接寫出的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)①，理由見解析；②【分析】（1）連接OA，根據(jù)是的切線，得出，進一步推出，得出，由圓周角定理得，即可得到；（2）根據(jù)點A是的中點即條件推出，由（1）得，證明出，即可得到；（3）①判斷：，根據(jù)等角對等邊即可證明；②連接OI，OB，先得出點A，I，O三點共線，進一步求出．設(shè)，，利用勾股定理，解得，，，，作，由題意得，進一步證明出，得出，作，利用勾股定理求出，即可求解．【解析】（1）解：連接OA，∵是的切線，∴，∵點A是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵點A是的中點，∵，∵四邊形ABCD內(nèi)接于，∴，由（1）得，∴，∴，∴．（3）解：①判斷：，理由：∵，，∴，∴，∵，，又∵，∴，∴．②如上圖，連接OI，OB．∵，，∴I是BD中點，∴，∴點A，I，O三點共線，∵，∴，∵，∴，∵，∴．設(shè)，，則，，，即，解得，∴，，，作，∵點F為角平分線交點，∴，由題意得，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，作，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了切線，圓周角定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識點，添加適當?shù)妮o助線，利用相似建立等式求解．題型12：弧長與扇形面積綜合14．如圖，在中，，，，O是的中點，D是線段上一點，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)，得到扇形．(1)如圖1，若點D與點B重合，①判斷：點C上（填“在”或“不在”）；②求A，E兩點間的距離．(2)如圖2，設(shè)交于點，交于點G，若于點O，求陰影部分的面積；(3)當扇形所在圓與的邊相切時，求的長．【答案】(1)①在②10(2)(3)或【分析】（1）①根據(jù)，可判斷：點C在上．②根據(jù)，，，得到，結(jié)合O是的中點，得到，結(jié)合得到，從而判定是等邊三角形，即可計算；（2）根據(jù)，，，得得到，根據(jù)得到，從而得到，利用扇形面積公式計算解答即可；（3）分扇形所在圓與邊相切，求的長即可．【解析】（1）∵O是的中點，，∴，∴點C在上．故答案為：在．②∵，，，∴，，∵O是的中點，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；（2）∵，，，∴，，∴，∵，，∴∴，∵，∴，∴，∴．（3）當所在的圓與相切于點時，則，∵，，∴，∴，∵，∴的長為；當所在的圓與相切于點時，則，∵，，∴，∴，∵，∴的長為；綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，切線的性質(zhì)，弧長公式，扇形面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)，切線性質(zhì)，弧長及其扇形的面積是解題的關(guān)鍵．15．如圖1、圖2、圖3和圖4、是半圓O的直徑，且，點C以每秒個單位長的速度從點B沿運動到點A．(1)連接，．求圖1中的陰影部分面積和的最小值S；(2)如圖2，過點C作半圓O的切線，點P在射線AB上，且，過點P在射線的上方作．且．當點Q與點C重合時，求點H到射線的距離；(3)如圖3和圖4，在點C運動過程中，將半圓O沿折疊，與交于點D．①連接．若，求的度數(shù)；②當點D落在半徑上（包括端點O，A）時，求點C運動的時長；③如圖4，連接，過點A作，與的延長線交于點E，延長交于點F，連接．當時，請直接用含d的式子表示．【答案】(1)(2)(3)①；②秒；③【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)可求出，利用求出，然后利用不等式的性質(zhì)求解即可；（2）過點H作于H，連接，利用勾股定理求出，證明，得出，即可求解；（3）①設(shè)點D在上的對應(yīng)點為，連接，，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，利用折疊的性質(zhì)求出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；②當D和O重合時，連接，設(shè)D在上的對應(yīng)點為，連接與交于M，則，根據(jù)翻折可得，則，求出，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)求出，進而求出，利用弧長公式求出的長度，即可求解；③連接，利用勾股定理求出，證明，利用正切定義可得出，利用弧、弦的關(guān)系可得出，則，證明，得出，即．【解析】（1）解：設(shè)，，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，∵∴，即，∴，∴即，∴陰影部分面積和的最小值為；（2）解：過點H作于H，連接，∵是切線，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，即，∴，即點H到射線的距離為；（3）解：①如圖，設(shè)點D在上的對應(yīng)點為，連接，，，∵，，∴，∴，∵折疊，∴，∴；②當D和O重合時，連接，設(shè)D在上的對應(yīng)點為，連接與交于M，則，∵翻折，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當點D落在半徑時，點C運動的時長為秒；③連接，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∶∴，∵與均是所對的弦，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∴題型13：情景探究題16．閱讀理解：(1)【學習心得】小趙同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”．這類題目主要是兩種類型．①類型一，“定點+定長”：如圖1，在中，，，D是外一點，且，求的度數(shù)．解：若以點A（定點）為圓心，AB（定長）為半徑作輔助圓，則點C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到_____；②類型二，“定角+定弦”：如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為_______；(2)【問題解決】如圖3，在矩形中，已知，，點P是邊上一動點（點P不與B，C重合），連接，作點B關(guān)于直線的對稱點M，則線段的最小值為________；(3)【問題拓展】如圖4，在正方形中，，動點E，F(xiàn)分別在邊上移動，且滿足．連接和，交于點P．點E從點D開始運動到點C時，點P也隨之運動，請直接寫出點P的運動路徑長．【答案】(1)①；②2(2)2(3)點P的運動路徑長為．【分析】（1）①根據(jù)得到點B，點C