自動控制原理4.2根軌跡繪制的基本法則(1)主講人：相角條件模值條件適用的范圍：負反饋系統(tǒng)中開環(huán)參數(shù)K*變化時的常規(guī)根軌跡的繪制。根軌跡方程基于的條件：根軌跡的起點和終點1根軌跡的起點：的根軌跡上點的s值。根軌跡的終點：的根軌跡上點的s值。起點=開環(huán)極點終點=開環(huán)零點規(guī)律：根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。證明：閉環(huán)特征根方程根軌跡方程法則1應(yīng)用：通過開環(huán)極點和開環(huán)零點確定根軌跡的起點和終點；開環(huán)極點數(shù)n大于零點數(shù)m時，有(n-m)條根軌跡的終點在無窮遠處。

實際系統(tǒng)中，考慮電路的實現(xiàn)性，一般開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)，即n>m時，則有n-m條根軌跡的終點將在無窮遠處，的確，當(dāng)

時，代入模值條件得如果把有限值的零點稱為有限零點，而把無窮遠處的零點叫做無限零點。則n>m時，會有n-m條根軌跡趨向于無窮遠處的無限零點。結(jié)論：根軌跡的起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點規(guī)律：根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)m和有限極點數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對稱于實軸。根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性2由根軌跡的定義：開環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)K*從零變到無窮時，閉環(huán)特征根在s平面上變化的軌跡?？芍壽E的分支數(shù)與閉環(huán)特征根的數(shù)目一致。閉環(huán)特征根的數(shù)目是閉環(huán)特征方程的最高階數(shù)，即開環(huán)零點數(shù)m和極點數(shù)n中的大者。1)根軌跡分支數(shù)＝閉環(huán)特征根個數(shù)=max(n,m)。

證明：閉環(huán)特征根方程：63）連續(xù)性：閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益K*的函數(shù)，當(dāng)K*從零到無窮大連續(xù)變化時，特征方程的某些系數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程的根變化也必然是連續(xù)的，故跟軌跡有連續(xù)性。法則2應(yīng)用：確定根軌跡的條數(shù)，繪制根軌跡時只需繪出上半s平面的根軌跡部分，然后利用對稱性對稱畫出下半s平面的根軌跡部分。2）對稱性：線性定常系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的根只有實根和復(fù)根兩種，實根位于實軸上，復(fù)根必共軛，而根軌跡是根的集合，因此根軌跡對稱于實軸。根軌跡的漸近線3漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的夾角：規(guī)律：當(dāng)開環(huán)有限極點數(shù)n大于開環(huán)有限零點數(shù)m時，則有n-m條根軌跡分支沿著與實軸交點為、夾角為的一組漸近線趨向無窮遠處。(1)漸近線與實軸的交點設(shè)無窮遠處有閉環(huán)極點s*，認為開環(huán)零點zj

和極點pi

指向s*

的向量長度都相等。代入模值條件根軌跡的漸近線3證明：(2)漸近線與實軸的夾角設(shè)無窮遠處有閉環(huán)極點s*，認為開環(huán)零點zj

和極點pi

指向s*

的向量角都相等。代入相角條件根軌跡的漸近線3法則3的應(yīng)用：

通常當(dāng)n-m>0時，用法則3尋找趨向無窮遠處根軌跡的漸近線。如果結(jié)合法則2，考慮根軌跡的對稱性，漸近線也是關(guān)于實軸對稱的，所以當(dāng)n-m>1時，即漸近線多于1條時（等于1條時，在實軸上），再求漸近線。若實軸上的s點為根軌跡上的點，則應(yīng)滿足相角條件結(jié)論：當(dāng)s是實軸上的點時，只有其右邊的開環(huán)實極點和實零點與s所成角度為180°，其余均為0°。根軌跡在實軸上的分布4s與左側(cè)實零點、極點所成相角：s與右側(cè)實零點、極點所成相角：ss與復(fù)數(shù)開環(huán)零點、極點所成相角：法則4的應(yīng)用：實軸被實數(shù)開環(huán)零點、開環(huán)極點劃分為多個區(qū)間，從右至左無根軌跡的區(qū)間和有根軌跡的區(qū)間交替出現(xiàn)。結(jié)論：若s為根軌跡的點，則：m-n為奇數(shù)代入相角條件，得設(shè)實軸上有m個開環(huán)實零點、n個開環(huán)實極點在s的右邊m+n為奇數(shù)規(guī)律：實軸上的某一個區(qū)域，若其右邊的開環(huán)實零點數(shù)與開環(huán)實極點數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。證明：已知負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)已知的四個基本法則，確定繪制根軌跡的有關(guān)數(shù)據(jù)。解：首先將開環(huán)極點0、-4、-1+j、-1-j和開環(huán)零點-1標注在s平面上。(1)法則1：起始于4個有限開環(huán)極點，終止于1個有限開環(huán)零點和3個無限零點；(2)法則2：有4條連續(xù)的根軌跡分支，且關(guān)于實軸對稱；(3)法則3：3條根軌跡的漸近線與實軸交點坐標、與實軸正方向的夾角;(4)法則4：實軸上區(qū)域[0,-1]和[-4,-∞)為根軌跡。×0-1-2-3-4123j-1-2-3×××