第三節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型

課程目標(biāo)

1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與

互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.

2.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.

3.通過(guò)實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

4.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.

基礎(chǔ)知識(shí)

L樣本空間和隨機(jī)事件

關(guān)鍵詞含義

樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)E的的基本結(jié)果，常用co表示樣本點(diǎn)

樣本空間樣本點(diǎn)的集合，常用C表示樣本空間

如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果包,例，…，g，則稱樣本空間

有限樣本空間

?={5,32，…，"}為有限樣本空間

隨機(jī)事件樣木空間Q的，相.用大寫字母A,B,C,…表示

基本事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件

必然事件每次試驗(yàn)的事件

不可能事件每次試驗(yàn)的事件

2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AGB

相等關(guān)系B2A且AeBA=B

并事件（和事件）A與B至少有一個(gè)發(fā)生AUB或A+B

交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生ACIB或AB

互斥事件A與B不能同時(shí)發(fā)生AHB=0

AOB=0,

互為對(duì)立事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生

AUB=Q

3.古典概型

（I）古典概型的特征

①育限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只6個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性.

（2）古典概型的概率公式：設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間C包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本

點(diǎn)，貝!定義事件A的概率P（A）==.其中，n（A）即n（Q）分別表示事件A和樣本空間

Q包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

4.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A,都有P(A)20；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(C)=1,P(0)=0；

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=；

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=；

性質(zhì)5：如果A=B,那么P(A)WP(B),由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A,因?yàn)椤AUC,所以0WP

(A)W1；

性質(zhì)6：設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(AUB)=.

5.頻率和概率

隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的槎率。(A)會(huì)逐漸事件A發(fā)

生的概率P(A),我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此可以用頻率A(A)估il概率P<A).

基礎(chǔ)自測(cè)

1.判斷正誤.(正確的畫7”，錯(cuò)誤的畫“義”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()

(2)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生.()

(3)若AUB是必然事件，則A與B是對(duì)立事件.()

(4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.()

2.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()

A.至少有一次中靶B.兩次都中靶

C.只有一次中靶D.兩次都不中靶

3.把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲100C次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝

上的概率為()

A.0.496B.0.504

C.0.5D.1

4.從集合｛1,2,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a,從集合｛2,4,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量

n=(2,-1)垂直的概率為()

A.-B.-

99

C.-D.-

33

5.拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(AUB)

=,P(AAB)=.

常用結(jié)論

若事件A”Az，…，An兩兩互斥，則P(A|UA2U-UA?)=P(AI)+P(A2)+…+P(An).

結(jié)論運(yùn)用

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)砧，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20,0.25,0.3,0.25,這四

條流水線的合格率依次為0.95,0.96,C.97,0.98,現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，

則恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率是()

A.0.014B.0.024

C.0.034D.0.044

聚焦考點(diǎn)課堂演練

考點(diǎn)1隨機(jī)事件關(guān)系的判斷

【例1】（1）口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出3個(gè)球，則互斥而不對(duì)

立的事件是（）

A.至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)黑球B.至少有1個(gè)紅球與都是黑球

C.至少有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)黑球D.恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球

（2）（多選）對(duì)空中K行的《機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A=｛兩彈都擊中飛機(jī)｝,事件

B=（兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)｝，事件C=｛恰有一彈擊中飛機(jī)）,事件D=｛至少有一彈擊中飛機(jī)｝,則下列關(guān)系王確

的是（）

A.AOD=0B.BCID=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

方法技巧

事件關(guān)系判斷的策略

（1）判斷事件的互斥、對(duì)立關(guān)系時(shí)一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件：兩個(gè)事件，若

有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件，反之不成立.互斥事件是不可能同

時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，

即有且僅有一個(gè)發(fā)生：

（2）判新事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部

結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.

跟蹤訓(xùn)練

拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨孔事件：Ci="點(diǎn)數(shù)為i"，其中i=l,2,3,4,5,6：D.="點(diǎn)數(shù)不

大于2"；D2=”點(diǎn)數(shù)大于2"：4="點(diǎn)數(shù)大于4”，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為.

（1）G與Q互斥：（2）C2，C3為對(duì)立事件：（3〉C3CD2：（4）D5CD2：（5）D|UD2=Q,D】CD2=0：

（6）D3=C5UC6.

（2）

考點(diǎn)2用頻率估計(jì)概率

I）

【例2】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相向，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸

奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單

位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300

瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年的六月份各天的最高

氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

【例3】(1)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯

演，貝!這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為()

A.iB.|

63

C.-D.-

23

(2)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()

A.；B.|

63

方法技巧

1.古典概型的概率求解步驟

(1)求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n;

(2)求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的人數(shù)m:

(3)代入公式P(A)=巴求解.

n

2.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題；

(2)樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)

題時(shí)直觀、方便，但畫樹狀圖時(shí)要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重■復(fù)：

(3)排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列、組合的知識(shí).

考向2互斥事件與對(duì)立事件的概率

【例4】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1(X)0張獎(jiǎng)券為?個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等

獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C,求：

(I)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

(2)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

方法技巧

互斥事件概率的兩種求法

(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率:

（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮

先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.

跟蹤訓(xùn)練

I.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍

數(shù)的概率為（）

A.-B.-

53

C.-D.-

53

2.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)

抽到不同主題的概率為（）

A.-B.-

63

C.1D.-

23

第三節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型

課后分層跟蹤鞏固

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)A

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率

B.某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為高，買I000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)

C.連續(xù)10（）次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面?，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為喘

D.某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺(tái)虧家中，有70%認(rèn)為明天會(huì)降水，30%

認(rèn)為陜天不會(huì)降水

2.在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是總，那

么概率是高的事件是（）

A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡

C.都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡

3.某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)7nm規(guī)格的芯片.現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中來(lái)自甲、乙、丙

的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊.若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.8,0.8,0.7,則從這25塊

芯片中隨機(jī)抽取一塊，該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是（）

A.0.76B.0.64

C.0.58D.0.48

4.《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓.如邕是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成（“一”表示一根陽(yáng)線,

”表示一根陰線），現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽(yáng)線數(shù)目相同的概率為（）

5.（多選）下列說(shuō)法中正確的有（：

A.若事件A與事件B是互斥事件，則P（AB）=0

B.若事件A與事件B是對(duì)立事件，則P（AUB）=1

C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件

D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙

分得的不是紅牌”是互斥事件

6.（多選）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為

不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件由品，設(shè)事件A為“該產(chǎn)品是一等品”，B為“該產(chǎn)品是合格品”，C

為“該產(chǎn)品是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（）

7Q

A.P（B）=—B.P（AUB）=—

1010

C.P（AAB）=0D.P（AUB）=P（C）

7.李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來(lái)的考試成績(jī)分布:

90分及80?70?60-50?50分

成績(jī)

以上89分79分69分59分以下

人數(shù)4217224086528

經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生王小明下學(xué)期將選修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用己有的信息估計(jì)他得以下分?jǐn)?shù)的概率:

（1）90分及以上的概率為；

（2）不及格（60分及以上為及格）的概率為.

8.從正方體的X個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

9.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率為；以第一次向上的點(diǎn)數(shù)

為橫坐標(biāo)x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)（x,y）在圓x2+y2=lf的內(nèi)部的概率為.

10.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：（I）至多2人排隊(duì)等候的概率:

（2）至少3人排隊(duì)等候的概率.

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)B

11.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到A,B,C三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng).若每個(gè)社區(qū)至少分一名義工，則甲

單獨(dú)被分到A社區(qū)的概率為（）

A.；B.|C.1D.-

6