4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.在實際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.2.能建立函數(shù)模型解決實際問題.3.體會如何借助函數(shù)刻畫實際問題,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

常見的函數(shù)模型一次函數(shù)模型y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型y=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0,且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型y=mlogax+n(m,a,n為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1)冪型函數(shù)模型y=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)分段函數(shù)模型自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)某種商品進價為每件360元,按進價增加10%出售,后因庫存積壓降價,若按原售價九折出售,則每件還能獲利.(

)(2)某種產(chǎn)品每件定價80元,每天可售出30件,若每件定價120元,則每天可售出20件,如果每天售出件數(shù)y(單位:件)是定價x(單位:元)的一次函數(shù),則這個函數(shù)解析式為y=-x+50.(

)(3)某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…,現(xiàn)有2個這樣的細胞,分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是y=2x.(

)×√×2.冪函數(shù)一定比一次函數(shù)增長速度快嗎?提示

冪函數(shù)的指數(shù)與一次函數(shù)的一次項系數(shù)不確定,兩者的增長速度不能比較.知識點2

擬合函數(shù)模型1.應(yīng)用擬合函數(shù)模型解決問題的基本進程

2.解決函數(shù)實際應(yīng)用題的步驟第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象;第二步:建立函數(shù)模型,把實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;第三步:解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果;第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答.而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當,所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解.思考辨析在根據(jù)已有數(shù)據(jù)擬合函數(shù)模型時,所有的數(shù)據(jù)都要符合函數(shù)模型嗎?提示

不需要所有數(shù)據(jù)都符合函數(shù)模型,只要相對誤差最小即可.

自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在函數(shù)建模中,散點圖可以幫助我們選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型.(

)(2)對數(shù)函數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度越來越平緩的變化規(guī)律.(

)√√2.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)每天的利潤如下表所示:

時間/天1234利潤/千元23.988.0115.99現(xiàn)構(gòu)建一個描述這種空調(diào)銷售情況的函數(shù)模型,用y(單位:千元)表示第x天的利潤,則應(yīng)是下列函數(shù)中的(

)A.y=log2x B.y=2xC.y=x2 D.y=2xB重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

解

(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),規(guī)律方法1.本題涉及平均增長率的問題,求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.2.在實際問題中,有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題,都常用到指數(shù)型函數(shù)模型.★★變式訓(xùn)練1

某種藥物被服用后,在人體內(nèi)大致要經(jīng)過釋放和代謝兩個主要過程,已知在藥物釋放過程中,血液中的藥物濃度y(單位:μg/mL)與時間t(單位:h)成正比,藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=kat(t≥2,a>0,且a≠1,k,a是常數(shù)),如圖所示.(1)根據(jù)圖象寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達式;(2)據(jù)測算,藥物濃度不低于0.25μg/mL時才有效,求該藥物的有效時長.

探究點二對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】

隨著2022年冬奧會的舉行,其吉祥物“冰墩墩”非常受歡迎.假設(shè)某車間流水線每天生產(chǎn)的“冰墩墩”初始數(shù)量為100個,由于市場需求量增大,故該工廠決定增加生產(chǎn)數(shù)量,每天以5%的增長率進行生產(chǎn),經(jīng)過y天后每天生產(chǎn)的“冰墩墩”數(shù)量為x(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg1.05≈0.021,lg3≈0.477,lg5≈0.699).(1)該工廠每天生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量經(jīng)過幾天后會翻一倍?(2)填寫下表,并根據(jù)表中的數(shù)據(jù),說明“冰墩墩”的生產(chǎn)變化規(guī)律.每天生產(chǎn)的“冰墩墩”數(shù)量x/個1002003004005006007008009001000經(jīng)過天數(shù)y0

29

37404346

每天生產(chǎn)的“冰墩墩”數(shù)量x/個100200300400500經(jīng)過的天數(shù)y015232934每天生產(chǎn)的“冰墩墩”數(shù)量x/個6007008009001

000經(jīng)過的天數(shù)y3740434648由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),每天生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量隨時間的增長而增加,但大約每增加100個所需要的時間在逐漸縮短.規(guī)律方法1.基本類型:有關(guān)對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)解析式,然后根據(jù)實際問題再求解.2.求解策略:首先根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)數(shù)值回答其實際意義.變式訓(xùn)練2候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3(其中a,b是實數(shù)).據(jù)統(tǒng)計,該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位,而其耗氧量為90個單位時,其飛行速度為1m/s.(1)求出a,b的值.(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個單位?所以若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2

m/s,則其耗氧量至少要270個單位.探究點三建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

x914182229Q(x)5459635952已知第9天的銷售收入為552元.(1)求k的值.(2)給出以下四種函數(shù)模型:①Q(mào)(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=ax+b;④Q(x)=blogax.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型(簡要說明理由)來描述日銷售量Q(x)關(guān)于第x天的變化關(guān)系,并求出該函數(shù)的解析式.(3)設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)y=f(x)(單位:元),求函數(shù)f(x)的最小值.

規(guī)律方法

函數(shù)模型選擇的基本步驟

變式訓(xùn)練3某籃球運動員為了測試自己的投籃最佳距離,他在每個測試點投籃30次,得到投籃命中數(shù)量y(單位:個)與測試點投籃距離x(單位:米)的部分數(shù)據(jù)如下表:x3568y25292820為了描述球員在測試點投籃命中數(shù)量y與投籃距離x的變化關(guān)系,現(xiàn)有以下三種y=f(x)函數(shù)模型供選擇:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型并說明理由,同時求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)在第(1)問的條件下,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,m]上的最大值為29,最小值為4,求m的取值范圍.解

(1)由表中數(shù)據(jù)可知,f(x)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,∵f(x)=ax3+b與f(x)=abx都是單調(diào)函數(shù),∴不符合題意;∵f(x)=-x2+ax+b先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,∴符合題意.∴f(x)=-x2+10x+4.(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故對稱軸為x=5,∴f(x)在(-∞,5]上單調(diào)遞增,在(5,+∞)上單調(diào)遞減,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4時,x=0或10,∴m≤10.綜上所述,5≤m≤10,故m的取值范圍是[5,10].學(xué)以致用·隨堂檢測促達標12345

A12345

123452.某地區(qū)植被被破壞,土地沙化越來越嚴重,最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則沙漠面積增加數(shù)y關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是(

)C解析

當x=1時,排除選項B;當x=3時,排除選項A,D,經(jīng)檢驗C項較為接近.123453.某種產(chǎn)品的有效期y(單位:天)與儲藏的溫度x(單位:℃)滿足關(guān)系式y(tǒng)=ekx+b(k,b為常數(shù)),若該產(chǎn)品在0℃下的有效期為192天,在33℃下的有效期是24天,則該產(chǎn)品在22℃下的有效期為(

)A.45天

B.46天

C.47天

D.48天D

123454.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個激勵銷售人