自考本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2025年高等代數(shù)沖刺試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列向量組中，線性無關(guān)的是（）。（A）(1,2,3),(2,3,5),(0,1,2)（B）(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（C）(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)（D）(1,-1,2),(2,-2,4),(3,0,6)2.設(shè)A為n階矩陣，B為m階矩陣，則下列運(yùn)算中定義的是（）。（A）AB的行列式（B）AB的轉(zhuǎn)置（C）A+B的逆矩陣（D）B+A的乘積3.齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是（）。（A）矩陣A的行向量組線性相關(guān)（B）矩陣A的列向量組線性相關(guān)（C）矩陣A的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)（D）矩陣A是可逆矩陣4.若n階矩陣A的特征值是λ，則矩陣A^k（k為正整數(shù)）的特征值是（）。（A）kλ（B）λ^k（C）λ/k（D）k/λ5.實(shí)二次型f(x1,x2,...,xn)=X^TAX可以化為標(biāo)準(zhǔn)形f=λ1y1^2+λ2y2^2+...+λny_n，則λ1,λ2,...,λn一定是（）。（A）A的特征值（B）A的伴隨矩陣的特征值（C）A的轉(zhuǎn)置矩陣的特征值（D）A的合同矩陣的特征值二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請將答案填在題中橫線上。）6.設(shè)A是一個(gè)3階矩陣，且|A|=2，則|3A|=_______。7.向量組α1,α2,α3線性無關(guān)的充要條件是_______。8.矩陣A=[a_{ij}]的秩r(A)=r，則A中_______階子式不等于零，而所有r+1階子式都等于零。9.矩陣A=[1,2;3,4]的特征多項(xiàng)式f(λ)=_______。10.若二次型f(x1,x2)=x1^2+4x2^2+2tx1x2的矩陣為A，且A與矩陣B=[1,0;0,2]合同，則t=_______。三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題7分，共28分。）11.計(jì)算行列式D的值：D=|1,-1,2;3,0,1;2,1,-3|。12.已知矩陣A=[1,2;0,1]和B=[1,0;3,1]，求矩陣方程AX+B=A的解X。13.求矩陣A=[0,1;-1,0]的特征值和特征向量。14.將二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3通過配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。）15.設(shè)向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，證明向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關(guān)。16.設(shè)A是n階正定矩陣，證明A的伴隨矩陣A*也是正定矩陣。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.C4.B5.A二、填空題6.187.存在k1,k2,k3不全為零，使k1α1+k2α2+k3α3=08.任意一個(gè)9.λ^2-5λ+410.±2三、計(jì)算題11.D=1*(-1)*(-3)+(-1)*1*2+2*0*1-2*1*1-(-1)*3*1-1*0*(-3)=3-2+0-2+3+0=212.AX=A-B=>AX=[-1,-2;0,0]=>X=A^(-1)*[-1,-2;0,0]A^(-1)=[1,-2;0,1]=>X=[1,-2;0,1]*[-1,-2;0,0]=[-1,2;0,0]13.特征方程|λI-A|=|λ,-1;1,λ|=λ^2+1=0=>λ=±i對λ=i,(iI-A)x=[i,-1;1,i]x=0=>-x1+ix2=0=>x1=ix2,令x2=1=>特征向量k1[1,i]^T(k1≠0)對λ=-i,(-iI-A)x=[-i,-1;1,-i]x=0=>x1-ix2=0=>x1=-ix2,令x2=1=>特征向量k2[-1,-i]^T(k2≠0)14.f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1+x2+x3)^2-x2^2-x3^2-2x2x3+2x2^2+2x3^2+2x2x3=(x1+x2+x3)^2+x2^2+x3^2=y1^2+y2^2+y3^2(令y1=x1+x2+x3,y2=x2,y3=x3)四、證明題15.證明向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1線性無關(guān)，即證若c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α1)=0，則c1=c2=c3=0。展開:c1α1+c1α2+c2α2+c2α3+c3α3+c3α1=0合并:(c1+c3)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3=0由于α1,α2,α3線性無關(guān)，系數(shù)必全為0:c1+c3=0,c1+c2=0,c2+c3=0解此方程組得:c1=c2=c3=0。故α1+α2,α2+α3,α3+α1線性無關(guān)。16.證明A正定=>對任意0≠x∈R^n,x^TAx>0。且|A|≠0(A可逆)。要證A*正定，即證對任意0≠x∈R^n,x^T