江蘇省揚(yáng)州市高郵市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部是（

）A． B． C．1 D．22．已知的頂點(diǎn)為，，，則邊上的中線長為（

）A． B． C． D．63．已知直線：在軸上的截距是在軸上的截距的3倍，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．6 B． C．或1 D．6或14．已知在圓：外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到：橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，其面積為，若橢圓上一點(diǎn)滿足，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．6．已知圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則弦的長度為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線的一個頂點(diǎn).以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．8．已知圓：的切線與圓：交于，兩點(diǎn)，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，，且四邊形是矩形，則（

）A．直線的斜率為B．直線的方程為C．四邊形的面積為6D．以為直徑的圓的方程為10．已知左、右焦點(diǎn)分別為，的橢圓上有一動點(diǎn)（異于長軸端點(diǎn)，），則下列說法正確的是（

）A．的取值范圍為B．射線與橢圓交于點(diǎn)，則的最小值為C．橢圓上存在4個不同的點(diǎn)，使得為直角三角形D．直線，的斜率之積為11．高郵融合歷史與現(xiàn)代，將“好事成雙”提煉為文旅品牌.郵城一位數(shù)學(xué)老師設(shè)計(jì)了“雙核”曲線，其方程為.對于曲線，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)B．曲線上存在唯一的點(diǎn)，使得點(diǎn)到與到的距離之差為8C．曲線所圍成的封閉曲線面積小于D．若曲線上恰好存在4個不同點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題12．與雙曲線：有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為.14．橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若內(nèi)切圓的半徑，則橢圓的離心率為.四、解答題15．已知復(fù)數(shù).(1)若是關(guān)于的方程的一個根，求的值；(2)若復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù).16．已知三條直線：，：，：，且與間的距離是.(1)求的值；(2)求過直線與的交點(diǎn)，且垂直于的直線方程；(3)求與平行且到，距離相等的直線的方程.17．在人工智能實(shí)驗(yàn)室中，一個追蹤機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)一個目標(biāo)機(jī)器人在點(diǎn)處正欲逃跑.追蹤機(jī)器人最大速度是目標(biāo)機(jī)器人最大速度的2倍.假設(shè)兩個機(jī)器人均按直線方向以最大速度移動.

(1)若追蹤機(jī)器人在點(diǎn)處成功攔截目標(biāo)機(jī)器人，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)問：無論目標(biāo)機(jī)器人沿何方向逃跑，追蹤機(jī)器人是否總能在安全區(qū)（的區(qū)域）內(nèi)成功攔截?并說明理由.18．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，射線與橢圓交于點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點(diǎn)且與橢圓只有一個公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).19．已知雙曲線：，過右焦點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，交兩條漸近線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值；(2)求面積的最小值；(3)記，，的面積分別為，，，求的取值范圍.

參考答案題號12345678910答案BCCADBBAABDAC題號11答案ABD12．13．/14．15．（1）由是關(guān)于的方程的一個根，所以，即有，化簡得，則；（2）設(shè)，所以，又，且是純虛數(shù)，所以，解得或，所以或.16．（1）因?yàn)椋?，：，所以與間的距離為，即，因?yàn)?，所以，解得；?）由直線與的方程聯(lián)立方程組，解得.即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線方程為，代入得解得，故所求的直線方程為，即.（3）直線：，：，由題可設(shè)所求直線方程為，則有，所以，所以，解得，故所求的直線方程為，即.17．（1）設(shè)追蹤機(jī)器人在點(diǎn)處攔截目標(biāo)機(jī)器人，因?yàn)樽粉櫃C(jī)器人與目標(biāo)機(jī)器人速度之比為，所以相遇時，所以，即兩機(jī)器人相遇點(diǎn)的軌跡方程為；（2）點(diǎn)的軌跡圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳A心到的距離，所以點(diǎn)的軌跡圓與相交，則相遇點(diǎn)會出現(xiàn)在安全區(qū)外，故追蹤機(jī)器人不會總能在安全區(qū)內(nèi)成功攔截.18．（1）由的周長為，得，解得，由橢圓過點(diǎn)，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，得該直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由消去得，由，解得，所以直線的方程為：.（3）當(dāng)直線斜率存在時，如圖，設(shè)直線方程為，，

由消去得，，即，則，而，由，得，解得，則直線過點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時，，由，得，解得，直線也過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).19．（1）由題意知,雙曲線的漸近