專題15排列組合

易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤（相鄰問題）

相鄰問題

技巧總結(jié)

相鄰問題

1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一

起考慮.如果設(shè)計到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進行計算.

2、解題步驟：

第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)

第二步：求出其余元素的排列種數(shù)

第三步：求出總的排列種數(shù)

易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊

元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排

列）；

（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安

排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；

例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（）

35863

A．A6A5種B．A8A6A3種

3384

C．A5A3種D．A8A6種

易錯分析：本題易出現(xiàn)的錯誤是把“甲、乙、丙3人不能相鄰”理解為“甲、乙、丙3人互不相鄰”的情況，使

結(jié)果中遺漏甲、乙、丙3人中有兩人相鄰的情況．

正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙3人不相鄰的方法

863

數(shù)，即A8A6A3，故選B．

易錯警示：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其

余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即

先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素

變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能

相鄰，那么有（）種加工方法．

A．24B．32C．48D．64

2

解：工序A，B必須相鄰，可看作一個整體，工序C，D不能相鄰，所以先對AB，E工序進行排序，有A22

22

種方法，AB內(nèi)部排序，有A22種方法，排好之后有三個空可以把工序C，D插入，共A36種情況，所

以一共有22624種可能性故選：A

變式2：中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.中國的目標是到2030

年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴大了太空計劃.在航天

員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C

實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（）

A．24種B．48種C．96種D．144種

解：首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個程序進行全排列，最后將程序A排在第一步

241

或最后一步，根據(jù)分步計數(shù)原理可得A2A4A2224296種.故選：C

變式3：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，

以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩

階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A．10種B．12種C．16種D．24種

解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班

會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活

2

動有1種方法，則此時共有A2(211)8種方法；

2

如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有A22種方法.綜合得不同的安

排方案共有10種.故選:A

1．2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A．1120B．7200C．8640D．14400

【答案】B

【分析】相鄰問題用捆綁法看成一個整體，丙不排在兩端可先排好其他人后再排丙.

26

【詳解】甲與乙相鄰有A2種不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除丙外的5人排好，有A6種不同的

排法，

1

再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有C5種不同的排法，

261

所以共有A2A6C5=7200種不同的排法．

故選：B.

2．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相

鄰，則不同的排法共有（）

A．48種B．72種C．120種D．144種

【答案】D

【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排

列，再插空排丙和丁.

23

【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有A2種，再與丙和丁外的兩人排列有A3種，

2232

再排丙和丁有A4種，故共有A2A3A4144種排法.

故選：D.

8

1

3．把二項式x的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為p，有理項兩兩不相鄰的概率為q，

x

p

則（）

q

11

A．5B．C．4D．

54

【答案】A

【分析】根據(jù)二項式的展開公式可得有5項有理項，4項無理項，從而可得p、q的值，再代入求解即可得

答案.

r3r

8r14

【詳解】解：rr2，其中0r8，，

Tr1C8xC8xrN

x

當r0,2,4,6,8時為有理項，故有5項有理項，4項無理項，

A5A5A4A5pA5A5

554555

故p9，q9，故455.

A9A9qA4A5

故選:A．

4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（）

A．48B．96C．144D．288

【答案】C

【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計算求解.

【詳解】由于A，B相鄰，所以先將A,B看作一個整體捆綁起來與E,F進行全排列，

然后將C，D插入到已排好隊的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，

322

故共有A3A2A4144,

故選：C

5．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分3:0戰(zhàn)

勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能

站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A．18種B．24種C．30種D．36種

【答案】C

【分析】分別計算丙站在左端時和丙不站在左端時的情況，即可得到答案.

3

【詳解】當丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有A36種站法；

當丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，

123

有A2A2A324種站法，

所以一共有62430種不同的站法．

故選：C

6．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別

有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則

不同的排法共有（）

A．18種B．36種C．72種D．144種

【答案】C

【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可由全排列求解.

1233

【詳解】由題意可得A1A2A3A372，

故選:C

7．甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小

孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，

則所有不同站法的種數(shù)為（）

A．144B．864C．1728D．2880

【答案】C

【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案.

2232

【詳解】甲家庭的站法有A2A312種，乙家庭的站法有A3A472種，

2

最后將兩個家庭的整體全排列，有A22種站法，

則所有不同站法的種數(shù)為127221728．

故選：C

8．某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和B不相鄰，則不同的排法共有（）

A．120種B．240種C．360種D．480種

【答案】D

6

【分析】正難則反，首先我們可以求出6名學(xué)員隨機站成一排的全排列數(shù)即A6，然后求學(xué)員A和B相鄰的

排列數(shù)，兩數(shù)相減即可.

【詳解】一方面：若要求學(xué)員A和B相鄰，則可以將學(xué)員A和B捆綁作為一個“元素”，此時一共有5個元

素，

25

但注意到學(xué)員A和B可以互換位置，所以學(xué)員A和B相鄰一共有A2A52154321240種排法.

6

另一方面：6名學(xué)員隨機站成一排的全排列數(shù)為A6654321720種排法.

625

結(jié)合以上兩方面：學(xué)員A和B不相鄰的不同的排法共有A6A2A5720240480種排法.

故選：D.

9．某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有AE共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車01,02、

高鐵01,02,03共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車01停放在A道的概率為（）

1111

A．B．C．D．

45810

【答案】C

【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.

【詳解】記M“兩動車相鄰”，N“動車01停在A道”，

nMNA31

3

則PNM24.

nMA2A48

故選：C

10．班長邀請A,B,C,D四位同學(xué)參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機坐在①②③④四

個座位，則A,B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

11

A．B．

23

12

C．D．

43

【答案】A

【分析】先計算出A,B,C,D四位同學(xué)參加圓桌會議的情況數(shù)，再計算出A,B兩位同學(xué)座位相鄰的情況，從

而計算出概率.

4

【詳解】A,B,C,D四位同學(xué)參加圓桌會議，共有A424種情況，

2

其中A,B兩位同學(xué)可坐在①②，②③，③④三個位置，并可進行互換位置，有3A26種情況，

2

C,D兩位同學(xué)坐在其余兩個位置，且可互換，有A22種情況，

故A,B兩位同學(xué)座位相鄰的情況有6212種情況，

121

所以A,B兩位同學(xué)座位相鄰的概率為.

242

故選：A

11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（）

A．4種B．8種C．12種D．48種

【答案】B

【分析】根據(jù)分步乘法原理結(jié)合排列數(shù)求解即可.

【詳解】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，

22

根據(jù)分步乘法原理得，有2A2A28種不同的排法.

故選：B

12．5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（）

A．70種B．72種C．36種D．12種

【答案】C

【分析】相鄰問題用捆綁法即可得解.

【詳解】甲、乙、丙先排好后視為一個整體與其他2個同學(xué)進行排列，

33

則共有A3A336種排法.

故選：C

13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進行排列，則（）

A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種

B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種

C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種

D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，利用排列數(shù)公式，以及捆綁法、插空法，以及分類討論，結(jié)合分類計數(shù)原理，逐項判

定，即可求解.

【詳解】由題意知，現(xiàn)有2名男生和3名女生，

32

對于A中，排成前后兩排，前排3人后排2人，則有A5A2120種排法，所以A正確；

33

對于B中，全體排成一排，女生必須站在一起，則有A3A336種排法，所以B正確；

32

對于C中，全體排成一排，男生互不相鄰，則有A3A472種排法，所以C正確；

對于D中，全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾

1

可分為兩類：（1）當甲站在中間的三個位置中的一個位置時，有A33種排法，

1113

此時乙有A33種排法，共有A3A3A354種排法；

1

（2）當甲站在排尾時，甲只有一種排法，此時乙有A44種排法，

13

共有A4A324種排法，綜上可得，共有542478種不同的排法，所以D錯誤.

故選：ABC.

14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種

B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種

C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種

D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種

【答案】BD

【分析】A選項，定序問題采用倍縮法進行求解；B選項，采用插空法進行求解；C選項，分兩種情況，若

最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項，使用捆綁法進行求解；

A5

5

【詳解】對于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有320種情況，故A錯誤；

A3

32

對于B，先安排丙，丁，戊三人，有A36種情況，再將甲乙兩人插空，則有A412種情況，故甲乙不相鄰

的排法種數(shù)為61272種情況，故B正確；

4

對于C，若最左端排乙，此時其余四人可進行全排列，故有A424種；若最左端不排乙，則最左端只能從

113

丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有A3A3A354種情況，則共有245478種站法，故C錯誤；

4

對于D，將甲與乙捆綁，看做一個整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有A424種，故D正確；

故選：BD

15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓(xùn)練，則（）

A．甲乙不相鄰的不同排法有48種

B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種

C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種

D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種

【答案】BCD

【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合捆綁法逐一判斷即可.

32

【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有A3A472種，所以本選項不正確；

123

B：甲乙中間恰排一個人的不同排法有C3A2A336種，所以本選項正確；

23

C：甲乙不排在兩端的不同排法有A3A336種，所以本選項正確；

A5

5

D：甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有320種，所以本選項正確.

A3

故選：BCD

16．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進行安排，則下列

說法正確的是（）

A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序

B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序

C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序

D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個教師節(jié)目，共有72種不同的出場順序

【答案】BCD

【分析】選項A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項B

由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結(jié)合4男3女的全排列求解即可；選項C先

將4位男生捆綁作為一個整體進行全排列，然后3位女生和這個整體全排列可得；選項D采用“插空法”，

分兩次插入老師節(jié)目即可.

43

【詳解】若3個女生不相鄰，則有A4A51440種不同的出場順序，A錯誤；

1

若女生甲在女生乙的前面，則有A72520種不同的出場順序，B正確；

27

44

若4位男生相鄰，則有A4A4576種不同的出場順序，C正確；

若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個學(xué)生節(jié)目形成8個空，插入1

個教師節(jié)目，有8種情況；

第二步，原7個學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個教師節(jié)目形成9個空，再插入1個教師節(jié)目，有9種情況，

所以這兩位教師共有8972種不同的出場順序，D正確.

故選：BCD.

17．某校高二年級安排甲?乙?丙三名同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每名同學(xué)只

能選擇一個社區(qū)進行實踐活動，且多名同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行實踐活動，則下列說法正確的有（）

A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種

C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D．如果甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

【答案】AC

【分析】對于A，根據(jù)社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，由甲?乙?丙三名同學(xué)都有5種選擇減去有4種選擇求解；

對于B，根據(jù)同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，有乙丙都有5種選擇求解；對于C，根據(jù)三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相

同求解；對于D，由甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，捆綁再選擇求解；

【詳解】對于A，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有534361（種），故A正確；

對于B，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有5225（種），故B錯誤；

對于C，如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有54360（種），故C正確；

對于D，甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，第一步，將甲?乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區(qū)，

則不同的安排方法共有5225（種），故D錯誤.

故選：AC.

18．在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學(xué)生排成一排合

影，則（）

A．3名男生排在一起，有6種不同排法B．2名女生排在一起，有48種不同排法

C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法D．女生不站在兩端，有108種不同排法

【答案】BC

【分析】利用捆綁法可判斷A、B；利用插空法可判斷C；利用分步計數(shù)法可判斷D.

【詳解】解：由題意得：

對于選項A：3名男生排在一起，先讓3個男生全排后再作為一個整體和2個女生做一個全排，共有

33

A3A336種，A錯誤；

對于選項B：2名女生排在一起，先讓2個女生全排后再作為一個整體和3個男生做一個全排，共有

24

A2A448種，B正確；

23

對于選項C：3名男生均不相鄰，先讓3個男生全排后，中間留出兩個空位讓女生進行插空，共有A2A312

種，C正確；

22

對于選項D：女生不站在兩端，先從三個男生種選出兩個進行全排后放在兩端，共有C3A26種，然后將

223

剩下的3人進行全排后放中間，共有C3A2A336種，D錯誤.

故選：BC

19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種

【答案】ABC

【分析】A選項，使用捆綁法進行求解；B選項，分兩種情況，最左端排甲和最左端排乙，分別求出兩種情

況下的排法，相加即可；C選項，采用插空法進行求解；D選項，定序問題采用倍縮法進行求解.

4

【詳解】A選項，將甲與乙捆綁，看做一個整體，與其他三人站成一排，故有A424種，A正確；

4

B選項，若最左端排甲，此時其余四人可進行全排列，故有A424種，

13

若最左端排乙，則最右端只能從丙，丁，戊選出1人，其余三人與三個位置進行全排列，故有C3A318種

選擇，

綜上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有241842種，B正確；

32

C選項，先安排丙，丁，戊三人，有A36種情況，再將甲乙兩人插空，則有A412種情況，故甲乙不相鄰

的排法種數(shù)為61272種情況，C正確；

A5

5

D選項，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有320種情況，D錯誤.

A3

故選：ABC

20．(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（）

A．A與B相鄰有48種擺法

B．A與C相鄰有48種擺法

C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法

D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法

【答案】ABC

【分析】逐個分析每個選項正確與否即可

4

【詳解】對于A選項：產(chǎn)品A與B相鄰，把A,B作為一個元素有A4432124種方法，

4

而A，B可交換位置，所以有2A448種擺法.故A選項符合題意.

對于B選項：同A選項一樣分析可知產(chǎn)品A與C相鄰也有48種擺法.故B選項符合題意.

對于C選項:當A,B相鄰又滿足A,C相鄰，

首先將產(chǎn)品A,B,C捆綁起來作為一個元素并把產(chǎn)品A放在產(chǎn)品B與C之間，

2

注意到產(chǎn)品B與C可互換位置，所以首先排列A,B,C有A2212種擺法，

3

把A,B,C組成的整體作為一個元素和剩下的兩個元素D,E進行排列，又有A33216種擺法，

23

所以A，B相鄰又A，C相鄰，有A2A32612種擺法.故C選項符合題意.

對于D選項：由A選項可知A與B相鄰有48種擺法，

由C選項可知A，B相鄰又A，C相鄰有12種擺法，

因此A與B相鄰，且A與C不相鄰有481236種擺法.故D選項不符合題意.

故選：ABC.

21．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老

師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（）

1

A．A5A4B．A4C1A3C．C1C1A3D．A4

5442312324

【答案】BCD

【分析】根據(jù)排列組合，結(jié)合相鄰問題，即可求解.

413

【詳解】（方法1：間接法）：四名同學(xué)全排再去掉甲與老師相鄰的情況為A4C2A3．

（方法2：直接法）：特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間，甲同學(xué)從兩端中任選一個位置，有

113

N1C1C22種站法，其余三名學(xué)生任意排列有N2A36種排法，則不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12

（種）．

11

或者，四名同學(xué)全排時，甲同學(xué)與老師相鄰與甲同學(xué)與老師不相鄰各占，故有A4．

224

故選:BCD．

易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”

（不相鄰問題）

不相鄰問題

技巧總結(jié)

1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進行全排列，然后將要求不相鄰的元

素插入到已排列的元素之間，最后進行計算即可

2.解題步驟：

①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)

②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種（插空法），求出排列種數(shù)

③求出總的排列種數(shù)

易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其

余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即

先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入

的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進行排列．

例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．

（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；

（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起．

34

錯解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，所以共有A3A4144種排法；

5

（2）將男生看成一個整體，與女生進行全排列即可，所以共有A5120種排法．

錯因分析：解決此類問題時將“在一起”的進行“捆綁”，與其他元素進行排列即可．錯解中（1）忽略了將男

女生所看成的兩個整體進行排列，即忽略了“整體排列”；（2）忽略了將男生進行排列，即忽略了“內(nèi)部排列”．

正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，最后兩個整體全排列①，所

以共有342種排法；

A3A4A2288

35

（2）將男生看成一個整體，先進行內(nèi)部排列，再與女生進行全排列即可②，所以共有A3A5720種排法．

變式1：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，

以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩

階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A．10種B．12種C．16種D．24種

解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班

會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活

2

動有1種方法，則此時共有A2(211)8種方法；

2

如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有A22種方法.

綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A

變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）

1115

A．B．C．D．

54312

5

解：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有A5120種方法，

甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2

222

個空插入，則共有A2A2A3223224種方法，

241

所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A

1205

變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（）

A．12種B．24種C．72種D．120種

23

解：先排列2名男生共有A2種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有A3種排法，

23

所以舞臺站位時男女間隔的不同排法共有A2A312種排法，故選：A.

1．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（）

35

A．若女生必須站在一起，那么一共有A3A5種排法

34

B．若女生互不相鄰，那么一共有A3A4種排法

16

C．若甲不站最中間，那么一共有C6A6種排法

76

D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有A72A6種排法

【答案】AC

【分析】分別利用捆綁法、插空法、優(yōu)先安排特殊元素法、間接法依次求解.

3

【詳解】選項A,利用捆綁法，將3名女生看成一個整體，其排列方式有A3種，加上4名男生一共有5個個

535

體，則有A5種排列方式，則由乘法原理可知一共有A3A5種排法，故A正確；

43

選項B,利用插空法，4名男生排成一排形成5個空，其排列方式有A4種，再將3名女生插入空中，有A5種

43

排列方式，則由乘法原理可知一共有A4A5種排法，故B不正確；

1

選項C,利用優(yōu)先安排特殊元素法，甲不站最中間,甲先從除中間之外的6個位置選一個，其選擇方式有C6種，

616

再將剩余的6人全排列，有A6種排列方式，則由乘法原理可知一共有C6A6種排法，故C正確；

766

選項D,利用間接法，3人站成一排共有A7種排法，若甲站最左邊有A6種排法，乙站最右邊有A6種排法，

5765

甲站最左邊且乙站最右邊有A5種排法，所以甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有A72A6A5種排

法，故D不正確；

故選：AC.

2．某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確

的是（）

A．若以歌唱類節(jié)目開場，則有360種不同的出場順序

B．若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場順序

C．若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場順序

D．從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法

【答案】AD

【分析】根據(jù)全排列、捆綁法、插空法，結(jié)合分步與分類計數(shù)原理依次分析選項，即可判斷.

1

【詳解】A：從3個歌唱節(jié)目選1個作為開場，有C3=3種方法，后面的5個節(jié)目全排列，

5

所以符合題意的方法共有3A5360種，故A正確；

2

B：將2個舞蹈節(jié)目捆綁在一起，有A22種方法，再與其余4個節(jié)目全排列，

5

所以符合題意的方法共有2A5240，故B錯誤；

4

C：除了2個舞蹈節(jié)目以外的4個節(jié)目全排列，有A424種，再由4個節(jié)目組成的5個空插入2個舞蹈節(jié)

目，

2

所以符合題意的方法有24A5480種，故C錯誤；

D：符合題意的情況可能是1個歌唱1個舞蹈、1個歌唱1個語言、1個舞蹈1個語言，

111111

所以不同的選法共C3C2C3C1C2C111種，故D正確.

故選：AD.

3．現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是（）

A．4個空位全都相鄰的坐法有120種

B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有240種

C．4個空位均不相鄰的坐法有120種

D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有900種

【答案】AC

【分析】對于A，用捆綁法即可；對于B，先用捆綁法再用插空法即可；對于C，用插空法即可；對于D，

用插空法的同時注意分類即可.

5

【詳解】對于A，將四個空位當成一個整體，全部的坐法：A5120種，故A對；

4

對于B，先排4個學(xué)生A4，然后將三個相鄰的空位當成一個整體，

2

和另一個空位插入5個學(xué)生中有A5種方法，

42

所以一共有A4A5480種，故B錯；

4

對于C，先排4個學(xué)生A4，4個空位是一樣的，

4

然后將4個空位插入4個學(xué)生形成的5個空位中有C5種，

44

所以一共有A4C5120，故C對；

對于D，至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，

42

空位兩個兩個相鄰的有：A4C5240，

412

空位只有兩個相鄰的有A4C5C4720，

所以一共有1202407201080種，故D錯；

故選：AC.

4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（）．

A．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B．若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C．若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種

D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分

配方案有36種

【答案】BCD

【分析】根據(jù)相關(guān)的計數(shù)原理逐項分析.

22

【詳解】對于A，將甲乙捆綁有A2種方法，若戊在丙丁之間有A2排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲

1

乙，有A4種方法；

21212

若丙丁相鄰，戊在左右兩邊有A2A2種排法，但甲乙必須插在丙丁之間，一共有A2A2A2種排法，

221212

所以總的排法有A2A2A4A2A2A224，故A錯誤；

41

對于B，若甲在最左端，有A424種排法，若乙在最左端，先排甲有A33種排法，

3

再排剩下的3人有A36，所以總共有243642種排法，正確；

1111

對于C，先將甲乙丙按照從左至右排好，采用插空法，先插丁有A4種，再插戊有A5種，總共有A4A520

種，正確；

23

對于D，先分組，將甲乙丙丁分成3組有C4種分法，再將分好的3組安排在3個社區(qū)有A3種方法，共有

23

C4A336種方法，正確；

故選：BCD.

5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是（）

A．4個空位全都相鄰的坐法有720種

B．4個空位中只有