專題13統(tǒng)計

易錯點一：統(tǒng)計用表中概念不清、識圖不準(zhǔn)致誤（頻率分布直方圖、總體

取值規(guī)律）

頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

①求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

②決定組距與組數(shù)

將數(shù)據(jù)分組時，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚

地呈現(xiàn)出來.

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表

小組頻數(shù)

各小組的頻率＝.

樣本容量

⑤畫頻率分布直方圖

頻率頻率頻率

縱軸表示，實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積＝組距×＝頻率.

組距組距組距

頻率分布直方圖的性質(zhì)

頻率

①因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖

組距

就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.

②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

頻數(shù)

③＝樣本容量.

相應(yīng)的頻率

④頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率，

可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性.

易錯提醒：頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個完全不同的概念，考生應(yīng)注意兩者之間的區(qū)別.雖然它

們的橫軸表示的內(nèi)容是相同的，但是頻率分布條形圖的縱軸表示頻率；頻率分布直方圖的縱軸表示頻率與

組距的比值，其各小組的頻率等于該小組上的矩形的面積.

例：如圖所示是某公司（共有員工300人）2021年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年

薪在1.4萬元~1.6萬元之間的共有______人.

易錯分析：解本題容易出現(xiàn)的錯誤是審題不細(xì)，對所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在1.4萬元~1.6萬

元之間的頻率為10.020.080.1020.60，從而得到員工中年薪在1.4萬元~1.6萬元之間的共有

3000.60180（人）的錯誤結(jié)論.

正解：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元~1.6萬元之間的頻率為

10.020.080.080.100.1020.24，所以員工中年薪在1.4萬元~1.6萬元之間的共有3000.2472

（人）.故72.

易錯警示：考生誤認(rèn)為頻率分布直方圖中縱軸表示的是頻率，這是錯誤的，而是“頻率/組距”，所以頻率對

應(yīng)的是各矩形的面積.

變式1：某大學(xué)有男生2000名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校100名男生的體重，并將

這100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：54,58、58,62、62,66、66,70、70,74、74,78，

繪制成如下的頻率分布直方圖：

該校體重（單位：kg）在區(qū)間70,78上的男生大約有人．

【詳解】由頻率分布直方圖可知，該校體重（單位：kg）在區(qū)間70,78上的男生的人數(shù)為

20000.020.014240.

故答案為：240.

變式2：現(xiàn)對某類文物進行某種物性指標(biāo)檢測，從1000件中隨機抽取了200件，測量物性指標(biāo)值，得到如下

頻率分布直方圖，據(jù)此估計這1000件文物中物性指標(biāo)值不小于95的件數(shù)為.

【詳解】抽取的200件文物中，物性指標(biāo)值不小于95的頻率為0.0330.0240.0080.002100.67，

由此估計出1000件文物中，物性指標(biāo)值不小于95的頻率約為0.67，

∴估計這1000件文物中物性指標(biāo)值不小于95的有10000.67670件.

故答案為：670.

變式3：如圖是根據(jù)我國部分城市某年6月份的平均氣溫數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的

范圍是[20，26]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已

知樣本中平均氣溫低于22°C的城市個數(shù)為11，樣本中平均氣溫不低于25°C的城市個數(shù)是.

【詳解】由題意可得：平均氣溫低于22°C的頻率為0.1010.1210.22，平均氣溫不低于25°C的頻率為

0.1810.18，

11

∴樣本中平均氣溫低于22°C的城市個數(shù)為11，則樣本容量為50，

0.22

故樣本中平均氣溫不低于25°C的城市的個數(shù)為0.18509.

故答案為：9.

1．已知某班全體學(xué)生在某次數(shù)學(xué)考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a所代表

的數(shù)值是.

【答案】0.015

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合頻率和為1運算求解.

【詳解】由頻率分布直方圖可知每組頻率依次為：0.1,10a,0.35,0.3.0.1，

則0.110a0.350.30.11，解得a0.015.

故答案為：0.015.

2．某校共有400名學(xué)生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學(xué)生的競賽成績均不低于90分．將

這400名學(xué)生的競賽成績分組如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]，得到的頻率

分布直方圖如圖所示，則這400名學(xué)生中競賽成績不低于120分的人數(shù)為．

【答案】220

【分析】由頻率分布直方圖的面積和為1求出a，再計算出結(jié)果即可.

【詳解】由頻率分布直方圖可知0.0100.0100.025a0.0150.005101，解得a0.035，

這400名學(xué)生中競賽成績不低于120分的人數(shù)為400′(0.035+0.015+0.005)′10=220，

故答案為：220

3．從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如

圖），其中樣本數(shù)據(jù)分組[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)，則a=．

【答案】0.020

【分析】根據(jù)頻率和為1，結(jié)合圖表中數(shù)據(jù)，列式計算即可.

【詳解】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可得：100.0050.0350.030a0.0101，

即a0.0800.1，a0.020.

故答案為：0.020.

4．某工廠抽取100件產(chǎn)品測其重量（單位：kg）．其中每件產(chǎn)品的重量范圍是[40,42]．?dāng)?shù)據(jù)的分組依次為

[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42]，據(jù)此繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則重量在[40,41)內(nèi)的產(chǎn)品

件數(shù)為．

【答案】40

【分析】根據(jù)直方圖確定各組的頻率，進而求出[40,41)的頻率，最后估算出對應(yīng)的產(chǎn)品件數(shù).

【詳解】由題設(shè)[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42]對應(yīng)頻率依次為0.05,0.35,0.4,0.2，

所以[40,41)的頻率為0.4，故重量在[40,41)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為0.410040.

故答案為：40

5．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得

到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判

定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．設(shè)函數(shù)

f(c)p(c)q(c)，則函數(shù)f(c)在區(qū)間[95,105]取得最小值時c．

【答案】100

【分析】根據(jù)題意結(jié)合頻率分布直方圖求出函數(shù)fc的解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求出最小值時的自變

量c的值即可.

【詳解】當(dāng)c[95,100]時，f(c)p(c)q(c)

c950.002100c0.0150.0020.008c0.82，

有函數(shù)fc在c[95,100]單調(diào)遞減，

所以f100fcf950.02fc0.06，

當(dāng)c100,105時，f(c)p(c)q(c)

50.002c1000.012105c0.0020.01c0.98，

有函數(shù)fc在c100,105單調(diào)遞增，

所以f100fcf1050.02fc0.07，

0.008c0.82,95c100

所以fc，

0.01c0.98,100c105

所以fc在95,105上有最小值0.02，

當(dāng)c100時取到最小值.

故答案為：100.

6．某大學(xué)有男生10000名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校100名男生的體重，并將這

100名男生的體重（單位：kg）分成以下六組：54,58、58,62、62,66、66,70、70,74、74,78，

繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，該校體重（單位：kg）在區(qū)間70,78上的男生大約有人．

【答案】1200

【分析】由頻率分布直方圖求得體重在區(qū)間70,78上男生的頻率，由此求得正確答案.

【詳解】體重在區(qū)間70,78上男生的頻率為40.020.010.12，

所以在區(qū)間70,78上的男生大約有100000.121200人.

故答案為：1200

7．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：

秒），將數(shù)據(jù)按照11.5,12，12,12.5，…，15.5,16分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.由直方

圖估計本校高三男生100米體能測試成績大于13.25秒的頻率是.

63

【答案】0.63/

100

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，可求得a的值，再結(jié)合頻率分布直方圖即可求得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，

可得0.5(0.0820.160.302a0.520.120.04)1，

解得a0.40，

1

故體能測試成績大于13.25秒的頻率是0.5(0.400.520.300.120.080.04)0.63，

2

故答案為：0.63

8．某工廠對一批產(chǎn)品的長度（單位：mm）進行檢驗，將抽查的產(chǎn)品所得數(shù)據(jù)分為五組，整理后得到的頻

率分布直方圖如圖所示，若長度在20mm以下的產(chǎn)品有30個，則長度在區(qū)間20,30內(nèi)的產(chǎn)品個數(shù)為.

【答案】55

【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖求出長度在區(qū)間20,30內(nèi)的頻率，根據(jù)頻率分布直方圖求出長度在20mm以

下的頻率，后用比例相等即可得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，長度在區(qū)間20,30內(nèi)的頻率為

5′(0.08+0.03)=0.55，

長度在20mm以下的頻率為5′(0.02+0.04)=0.3

30

則長度在區(qū)間20,30內(nèi)的產(chǎn)品個數(shù)為0.5555，

0.3

故答案為：55.

9．某中學(xué)為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，在全體學(xué)生中隨機抽取200名，統(tǒng)計這200名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試的

成績，將所得的數(shù)據(jù)分為7組：30,40，40,50，…，80,90，90,100，并整理得到如下頻率分布直方

圖，則在被抽取的學(xué)生中，該次數(shù)學(xué)考試成績不低于80分的人數(shù)為．

【答案】56

【分析】由頻率分布直方圖求出在被抽取的學(xué)生中，該次數(shù)學(xué)考試成績不低于80分的頻率，再由頻率與頻

數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)考試成績不低于80分的人數(shù).

【詳解】由頻率分布直方圖可得在被抽取的學(xué)生中，該次數(shù)學(xué)考試成績不低于80分的頻率為

0.0200.008100.28，

所以在被抽取的學(xué)生中，該次數(shù)學(xué)考試成績不低于80分的人數(shù)為0.2820056，

故答案為：56.

10．某區(qū)為了解全區(qū)12000名高二學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機抽取了1000名學(xué)生進行體能

測試，并將這1000名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，這1000名學(xué)生

平均成績的估計值為．

【答案】80.5

【分析】根據(jù)所有矩形面積之和為1求出a的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，相加可得

這1000名學(xué)生平均成績.

【詳解】由于頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1，

可得0.005a0.0220.04101，解得a0.015，

由頻率分布直方圖可知，這1000名學(xué)生平均成績的估計值為

550.05650.15750.2850.4950.280.5分.

故答案為：80.5.

11．將一個容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按照從小到大的順序分為8個組，如下表：

組號12345678

頻數(shù)10161815119

若第6組的頻率是第3組頻率的2倍，則第6組的頻率是．

7

【答案】0.14/

50

【分析】求出第6組的頻數(shù)即得解.

【詳解】由題得第3組和第6組的頻數(shù)和為1001016181511921，

2

所以第6組的頻數(shù)為2114.

3

14

所以第6組的頻率是14%0.14.

100

故答案為：0.14

12．節(jié)約用水是中華民族的傳統(tǒng)美德，某市政府希望在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理

的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過x的部分按平價收費，超過x的部分按議價收費．為此希望已

經(jīng)學(xué)習(xí)過統(tǒng)計的小明，來給出建議．為了了解全市居民用水量的分布情況，小明通過隨機走訪，獲得了100

位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9組，制成了如圖所示的

頻率分布直方圖．若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），如果你是小明，你覺得x

的估計值為（精確到小數(shù)點后1位）

【答案】2.9

【分析】由頻率分布直方圖解得a值，估計85%的居民每月的用水量所在區(qū)間后可計算x的.

【詳解】由頻率分布直方圖知，0.16a0.400.52a0.120.080.040.51，

解得a0.34；

計算月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占的百分比為0.50.160.340.400.520.71，

即71%的居民月均用水量小于2.5噸；

計算月均用水量小于3噸的居民人數(shù)所占的百分比為0.50.160.340.400.520.340.88，

即88%的居民月均用水量小于3噸；

故2.5x3，

0.850.730.5

假設(shè)月均用水量平均分布，則x2.50.52.9（噸），

0.3

即85%的居民每月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸．

故答案為:2.9．

易錯點二：統(tǒng)計中的數(shù)字特征的實際意義理解不清楚致誤（頻率分布直方

圖特征數(shù)考查）

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

②中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))叫

做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

11n

③平均數(shù)：如果個數(shù)，，，，那么叫做這個數(shù)的平均數(shù)

nx1x2…xnxx1x2xnxin.

nni1

總體集中趨勢的估計

①平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

②一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對

分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).

頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法

①樣本平均數(shù)：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和近似代替.

②在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.

③將最高小矩形所在的區(qū)間中點作為眾數(shù)的估計值.

易錯提醒：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應(yīng)注意區(qū)分這三者．在頻率分布直

方圖中：

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中

點的橫坐標(biāo)之和.

例．某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班本次測

試眾數(shù)為．

解：由題意，因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)，

110130

∴眾數(shù)為120.

2

故答案為：120.

變式1：為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行，小李上班可以選擇自行車，他記錄了100次騎車所用時間（單位：

分鐘），得到頻率分布直方圖，則騎車時間的眾數(shù)的估計值是分鐘

2022

【詳解】由頻率分布直方圖可知，騎車時間的眾數(shù)的估計值是21分鐘.

2

故答案為：21.

變式2：數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計

結(jié)果如下：

甲同學(xué)：中位數(shù)為3，方差為2.8；乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4，方差為1.04；

丙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3；丁同學(xué)：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.

根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是同學(xué).

【詳解】對于甲同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，

1122222

平均數(shù)為：x12336＝3，方差為S2＝1323333363＝2.8，可以

55

出現(xiàn)點數(shù)6；

1

對于乙同學(xué)，若平均數(shù)為3.4，且出現(xiàn)點數(shù)6，則方差S2(63.4)21.3521.04，

5

所以當(dāng)平均數(shù)為3.4，方差為1.04時，一定不會出現(xiàn)點數(shù)6；

對于丙同學(xué)，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，可以出現(xiàn)點數(shù)6；

對于丁同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2,2,2,3,6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6.

綜上，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是乙同學(xué).

故答案為：乙

變式3：以下5個命題中真命題的序號有.

①樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征中，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息；

②若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為S，則數(shù)據(jù)ax1b，ax2b，ax3b，…，axnb的標(biāo)準(zhǔn)差為aS；

③將二進制數(shù)11001000(2)轉(zhuǎn)化成十進制數(shù)是200；

3

④x是區(qū)間[0,5]內(nèi)任意一個整數(shù)，則滿足“x3”的概率是.

5

【詳解】對于命題①，平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，

這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)，故與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)

全體的信息，命題①是真命題；

1n1n

xx22

對于命題②，數(shù)據(jù)1，2，x3，…，xn的平均數(shù)xxi，S(xix)，

ni1ni1

1nan

'

而數(shù)據(jù)ax1b，ax2b，ax3b，…，axnb的平均數(shù)為xaxibxibaxb，

ni1ni1

nn2n

112a2

方差為2'22，

SaxibxaxibaxbxixaS

ni1ni1ni1

所以SaS，命題②是真命題；

763

對于命題③，11001000(2)121212200，命題③是真命題；

對于命題④，x是區(qū)間[0,5]內(nèi)任意一個整數(shù)，則x可取0、1、2、3、4、5共6種結(jié)果，滿足“x3”的有0、

31

1、2共3種結(jié)果，故概率為，命題④不是真命題.

62

故答案為：①②③.

1．2022年11月卡塔爾世界杯如期舉行，這是世界足球的一場盛宴．為了了解全民對足球的熱愛程度，組

委會在某場比賽結(jié)束后，隨機抽取了1000名觀眾進行對足球“喜愛度”的調(diào)查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：

70,75，75,80，80,85，85,90，90,95，95,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中部分?jǐn)?shù)

據(jù)丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數(shù)估計值為87.5，則m=.

1

【答案】0.02/

50

【分析】根據(jù)中位數(shù)之前的矩形面積之和對于0.5列方程求解即可.

【詳解】由題可知，5m0.0250.0387.5850.050.5，解得m0.02.

故答案為：0.02

2．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所

m

示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為e，眾數(shù)為mo，平均數(shù)為x，則me,mo,x的大小關(guān)系是．

【答案】momex

【分析】根據(jù)題意求中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，進而可對結(jié)果.

【詳解】由條形統(tǒng)計圖可知，30名學(xué)生的得分為

得分345678910

頻數(shù)231063222

56

因為中位數(shù)為第15，16個數(shù)(分別為5，6)的平均數(shù)，所以m5.5，

e2

且5出現(xiàn)次數(shù)最多，故mo5，

233410566372829210179

平均數(shù)x5.97，

3030

因為55.55.97，即momex.

故答案為：momex.

3．《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%．為了解某地中

學(xué)生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量

數(shù)據(jù)，按40,45，45,50，50,55，55,60，60,65，65,70分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖

所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的中位數(shù)是．

【答案】53.75

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖估計中位數(shù)的方法直接計算即可.

【詳解】0.010.0350.20.5，0.20.0850.60.5，

該地中學(xué)生體重的中位數(shù)位于50,55內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為m，則0.2m500.080.5，解得：m53.75.

故答案為：53.75.

4．為了解某校高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績，得到頻率分

布直方圖如圖所示.請根據(jù)以上信息，估計該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為.（結(jié)果保留到小數(shù)點后

兩位）

【答案】71.67

【分析】依據(jù)頻率分布直方圖，計算p0.5時對應(yīng)的數(shù)值，即為中位數(shù).

【詳解】解：0.0050.04100.450.5，0.0050.040.03100.750.5，所以中位數(shù)在70,80

之間，

m70

設(shè)中位數(shù)為m，則有0.03100.50.45，

10

5

所以m7071.67

3

故答案為：71.67.

5．2021年某省高考體育百米測試中，成績?nèi)拷橛?2秒與18秒之間，抽取其中100個樣本，將測試結(jié)果

按如下方式分成六組：第一組12,13，第二組13,14，…，第六組17,18，得到如下頻率分布直方圖．則

該100名考生的成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）是．

【答案】15.3

【分析】由頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)時，可知中位數(shù)出現(xiàn)在概率為0.5的地方,即可求解.

【詳解】因為前三組頻率直方圖面積和為0.100.150.150.4，前四組頻率直方圖面積和為

0.100.150.150.30.7，所以中位數(shù)位于第四組內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為a，則a150.300.1，解得a15.3，

故答案為：15.3.

6．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計值分別

為.

【答案】65，62.5.

【分析】根據(jù)矩形的高確定眾數(shù)，先計算面積確定中位數(shù)所在的區(qū)間，再利用公式求出中位數(shù).

【詳解】解：∵最高的矩形為第三個矩形，

6070

∴時速的眾數(shù)的估計值為65.

2

前兩個矩形的面積為(0.01＋0.03)×10＝0.4<0.5，

前三個矩形的面積為(0.01＋0.03+0.04)×10＝0.8＞0.5,

所以中位數(shù)在區(qū)間(60,70)，設(shè)中位數(shù)為x，

由題得0.4(x60)0.040.5，解之得x62.5.

∴中位數(shù)的估計值為62.5.

故答案為：65，62.5.

7．某快遞驛站統(tǒng)計了近期每天代收快件的數(shù)量，并制成如下圖所示的頻率分布直方圖．

則該快遞驛站每天代收包裹數(shù)量的中位數(shù)為．

【答案】260

【分析】先確定中位數(shù)在區(qū)間(200,300)內(nèi)，設(shè)其為x，解方程0.10.1(x200)0.0050.5即得解.

【詳解】解：左邊第一個矩形的面積為1000.0010.1，

左邊第二個矩形的面積為1000.0010.1，

左邊第三個矩形的面積為1000.0050.5，

因為0.10.10.5,0.10.10.50.5，

所以中位數(shù)在區(qū)間(200,300)內(nèi)，設(shè)其為x，

所以0.10.1(x200)0.0050.5，

所以x260.

故答案為：260

8．某質(zhì)檢部門對某新產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)隨機抽取100件檢測，由檢測結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖．

2

由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N,，其中近似為樣本平均數(shù)

x,2近似為樣本方差s2.設(shè)X表示從該種產(chǎn)品中隨機抽取10件，其質(zhì)量指標(biāo)值位于11.6,35.4的件數(shù)，則X

的數(shù)學(xué)期望＝．（精確到0.01）

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，計算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s11.9；②若Z~N,2，則

P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.

【答案】6.83

【分析】先求出的近似值即樣本平均數(shù)x，然后結(jié)合條件以及注釋即可求解.

【詳解】計算得x50.15150.25250.3350.2450.123.5，

由條件Z~N23.5,11.92，從而P(11.6Z35.4)0.6826.

故從該種產(chǎn)品中隨機抽取1件，其質(zhì)量指標(biāo)值位于11.6,35.4的概率是0.6826，

所以抽取10件的期望值為EX100.68266.8266.83.

故答案為：6.83

9．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟損失，現(xiàn)將A地

區(qū)200家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟損失的平均數(shù)為m，中位數(shù)為n，則

mn.

【答案】360

【解析】先計算第一塊小矩形的面積S10.3，第二塊小矩形的面積S20.4，，面積和超過0.5，所以中位數(shù)

在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.

【詳解】第一塊小矩形的面積S10.3，第二塊小矩形的面積S20.4，

0.50.3

故n20003000；

0.0002

而m10000.330000.450000.18(70009000)0.063360，

故mn360.

故答案為：360.

【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

10．某大學(xué)天文臺隨機調(diào)查了該校100位天文愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖，則估計

該校100名天文愛好者的平均歲數(shù)為.

【答案】21.4

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，準(zhǔn)確計算，即求解.

【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得估計該校100名天文愛好者的平均歲數(shù)為：

50.16150.36250.28350.1450.08550.0221.4.

故答案為：21.4.

11．眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖的分布

形態(tài)中，m?n?p分別表示眾數(shù)?平均數(shù)?中位數(shù)，則m?n?p中最小值為.

【答案】n

【分析】將所給的直方圖近似看作為一個梯形，再根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解.

【詳解】將所給的直方圖近似看作為一個梯形，則眾數(shù)m出現(xiàn)在最大的矩形（即從左邊數(shù)第6個矩形）內(nèi)，

平均數(shù)n出現(xiàn)在從左邊數(shù)第4個矩形內(nèi)，中位數(shù)p必須保證中位數(shù)p兩邊矩形面積相等，所以出現(xiàn)在從左

邊數(shù)第5個矩形內(nèi)，

所以n最??；

故答案為：n.

12．如圖為某工廠工人生產(chǎn)能力頻率分布直方圖，則估計此工廠工人生產(chǎn)能力的平均值為.

669

【答案】133.8/

5

【分析】先根據(jù)面積之和為1求x，然后根據(jù)直方圖估計平均值的計算方法求解即可.

【詳解】由10(0.0080.020.048x)1解得x0.024，

所以x1150.008101250.02101350.048101450.02410133.8.

故答案為：133.8

易錯點三：運用數(shù)字特征作評價時考慮不周（方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求算）

方差、標(biāo)準(zhǔn)差

11n

①假設(shè)一組數(shù)據(jù)為，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

x1,x2,x3,xnxx1x2xnxi

nni1

n2n2

1222112

方差為2，

sx1xx2xxnxxixxinx

nni1ni

n2

標(biāo)準(zhǔn)差1

sxix

ni1

②若假設(shè)一組數(shù)據(jù)為，它的平均數(shù)為，方差為2，

x1,x2,x3,xnxs

則一組數(shù)據(jù)為，的平均數(shù)為，方差為22。

ax1b,ax2b,ax3b,axnbaxbas

③標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離

散程度越小.

易錯提醒：方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大，說明數(shù)據(jù)的離散性越大；方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小，說明數(shù)據(jù)的離散性越小，數(shù)據(jù)

越集中、穩(wěn)定．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映

總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，這些偏差是由樣本的隨機性引起的．雖然樣本的數(shù)字特征并

不是總體真正的數(shù)字特征，而是總體的一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本容量很大時，樣本

的數(shù)字特征穩(wěn)定于總體的數(shù)字特征．

例、若甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，從產(chǎn)品中隨機抽取6件進行

測量，測得數(shù)據(jù)如下：(單位：mm)：甲：99，100，98，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.通

過計算，請你說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.

【錯解】x甲＝＝100，

x乙＝＝100，

因為兩個機床所加工零件的平均數(shù)相等，平均數(shù)描繪了數(shù)據(jù)的平均水平，

所以兩臺機床加工的零件都符合要求．

【錯因】平均數(shù)x對數(shù)據(jù)有“取齊”作用，它描述了一組數(shù)據(jù)的平均水平，定量地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢，因

此平均數(shù)是與樣本數(shù)據(jù)最接近、最理想的近似值，但由于樣本選取的隨機性，有時用平均數(shù)衡量總體的特

征會失之偏頗，因此應(yīng)進一步計算方差或標(biāo)準(zhǔn)差來比較它們的波動大?。?/p>

【正解】x甲＝＝100，

x乙＝＝100，

s＝×[(99－100)2＋3×(100－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝×[2×(99－100)2＋3×(100－100)2＋(102－100)2]＝1.

s>s，說明甲機床加工的零件波動比較大．

故乙機床加工的零件更符合要求．

變式1：泉州，作為古代海上絲綢之路的起點，具有深厚的歷史文化底蘊，是全國同時擁有聯(lián)合國三大類非

遺項目的唯一城市.為高效統(tǒng)籌整合優(yōu)質(zhì)文旅資源，文旅局在“五一”假期精心策劃文旅活動，使得來泉旅游

人數(shù)突破了305.85萬人次.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解來泉游客的旅游體驗滿意度，用問卷的方式隨機調(diào)查了500

名來泉旅游的游客，被抽到的游客根據(jù)旅游體驗給出滿意度分值T（滿分100分），該興趣小組將收集到的

數(shù)據(jù)分成五段：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]，處理后繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中a的值并估計500名游客滿意度分值T的中位數(shù)（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；

(2)已知T在[45,65)的平均數(shù)為57，方差為104，T在[65,95]的平均數(shù)為77，方差為564，試求被調(diào)查的500

名游客的滿意度分值T的平均數(shù)及方差.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：(0.0050.02520.01a)101，解得

a0.035

由頻率分布直方圖，(0.0050.025)100.30.5

(0.0050.0250.035)100.650.5

因此，中位數(shù)落在區(qū)間[65,75)內(nèi)，

0.50.3495

6510

0.357

495

可以估計500名游客滿意度分值T的中位數(shù)為

7

22

（2）把T在[45,65)的平均數(shù)記為x，方差記為sx；T在[65,95]的平均數(shù)記為y，方差記為sy；T在[45,95]的

平均數(shù)記為z，方差記為s2

22

由題得，x57，sx104，y77，sy564，

T在[45,65)的頻率為(0.0050.025)100.3，

T在[65,95]的頻率為(0.0350.0250.1)100.7

則z0.3x0.7y0.3570.77771

22222

由s0.3[sx(xz)]0.7[sy(yz)]

可得s20.3[104(5771)2]0.7[564(7771)2]510

即被調(diào)查的500名游客的滿意度分值T的方差為510

變式2：拔尖創(chuàng)新人才是21世紀(jì)社會經(jīng)濟發(fā)展的巨大動力，培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才也成為世界各國教育的主要

任務(wù)．某市為了解市民對拔尖人才培養(yǎng)理念的關(guān)注程度，舉辦了“拔尖人才素養(yǎng)必備”知識普及競賽，從所有

答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：

40,50,50,60,,90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該市這次競賽成績的眾數(shù)；

22

(2)已知落在50,60的平均成績z156，方差s19，落在70,80的平均成績z276，方差s25，求這兩

組成績的總平均數(shù)z和總方差s2．

10.050.10.20.250.1

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，a0.03，

10

該市這次競賽成績的眾數(shù)為75分.

（2）落在50,60與70,80的人數(shù)比為0.01:0.031:3．

z3z56376

所以z1271，

44

22

22

22

s1z1z3s2z2z

29(5671)35(7671)

s81.

44

變式3：為了研究網(wǎng)民的上網(wǎng)習(xí)慣，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在10歲到60歲的網(wǎng)民進行問卷調(diào)查，按年齡分

為5組，即10,20，20,30，30,40，40,50，50,60，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)若按分層抽樣的方法，從上述網(wǎng)民中抽取n人做采訪，其中年齡在30,40中被抽取的人數(shù)為7，求n；

(2)若各區(qū)間的值以該區(qū)間的中點值作代表，求上述網(wǎng)民年齡的方差的估計值.

【詳解】（1）由題意得，100.0200.025a0.0150.0051，

解得a0.035，年齡在30,40中人數(shù)所占比例為0.035100.35

7

則n20.

0.35

（2）10,20，20,30，30,40，40,50，50,60五組的頻率分別為0.2,0.25,0.35,0.15,0.05，

若各區(qū)間的值以該區(qū)間的中點值作代表，則上述網(wǎng)民年齡的平均值的估計值為

150.2250.25350.35450.15550.0531（歲）

方差的估計值為

22222

0.215310.2525310.3535310.1545310.055531214

1．已知甲、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示：

22

令x甲，x乙分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；s甲，s乙分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（）

2222

A．x甲x乙，s甲s乙B．x甲x乙，s甲s乙

2222

C．x甲x乙，s甲s乙D．x甲x乙，s甲s乙

【答案】D

22

【分析】根據(jù)頻率分布圖分別計算x甲,x乙，s甲,s乙，比較大小可得.

【詳解】由圖可知，x甲70.380.490.38,x乙70.480.290.48,

2222，

s甲780.3880.4980.30.6

2222，

s乙780.4880.2980.40.8

22

所以x甲x乙，s甲s乙.

故選：D.

2．某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，某班成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為

60,70,70,80,80,90,90,100.若不低于80分的人數(shù)是35人，且同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，

則下列說法中正確的是（）

A．該班的學(xué)生人數(shù)是50

B．成績在80,90的學(xué)生人數(shù)是12

C．估計該班成績的眾數(shù)是95分

D．估計該班成績的方差為100

【答案】ACD

【分析】根據(jù)頻率與總數(shù)關(guān)系、頻率和為1、頻率分布直方圖估計眾數(shù)、平均數(shù)和方差的方法依次判斷各個

選項即可.

【詳解】對于A，不低于80分對應(yīng)的頻率為10.010.02100.7，

35

該班的學(xué)生人數(shù)為50，A正確；

0.7

對于B，0.010.02a0.04101，a0.03，

成績在80,90的學(xué)生人數(shù)為50a1015，B錯誤；

對于C，成績在90,100對應(yīng)的矩形面積最大，估計該班成績的眾數(shù)為95分，C正確；

對于D，估計該班成績的平均數(shù)為650.0110750.0210850.0310950.041085，

2222

方差為0.011065850.021075850.031085850.04109585100，D正確.

故選：ACD.

3．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得頻率分布直方

圖，則這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s2是（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

【答案】110

【分析】由頻率分布直方圖可得數(shù)據(jù)的平均值，再由方差的公式運算即可得解.

【詳解】由頻率分布直方圖得抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值為：

1000.0101100.0201200.0351300.0301400.00510120，

∴樣本方差2222

s1001200.0101101200.0201201200.035

22．

1301200.0301401200.00510110

故答案為：110.

【點睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的方差，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4．在一次區(qū)域統(tǒng)考中，為了了解各學(xué)科的成績情況，從所有考生成績中隨機抽出20位考生的成績進行統(tǒng)

計分析，其中數(shù)學(xué)學(xué)科的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)此估計，在本次考試中數(shù)學(xué)成績的方差為.（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

【答案】110

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，直接利用平均數(shù)與方差的公式，即可得到本題答案.

【詳解】由題，得

x550.01010650.02010750.03510

850.03010950.0051075，

方差s2(7555)20.1(7565)20.2(7575)20.35

(7585)20.3(7595)20.05110.

故答案為：110

【點睛】本題主要考查利用頻率分布圖求數(shù)據(jù)平均數(shù)與方差的問題.

5．為了解本市居民的生活成本,甲?乙?丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的

調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),記甲?乙?丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為

s1,s2,s3,則它們的大小關(guān)系為.

【答案】s1s3s2

【解析】第二組數(shù)據(jù)是單峰的每一個小長方形的差別比較小，數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)較分散，各個段內(nèi)分布均勻，第一

組數(shù)據(jù)的兩端數(shù)字較多，絕大部分?jǐn)?shù)字都處在兩端最分散，而第三組數(shù)據(jù)絕大部分?jǐn)?shù)字都在平均數(shù)左右，

是集中，由此得到結(jié)果．

【詳解】解：根據(jù)三個頻率分步直方圖知，

第一組數(shù)據(jù)的兩端數(shù)字較多，絕大部分?jǐn)?shù)字都處在兩端數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)遠(yuǎn)，最分散，其方差最大；

第二