第52頁（共52頁）2026年中考數(shù)學(xué)解密之軌跡一．選擇題（共10小題）1．（2025?東?？h校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，BC邊上有一動點(diǎn)D，作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B'，在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)B′的運(yùn)動路徑長為（）A．π3 B．2π3 C．4π3 2．（2025?江都區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝8，點(diǎn)C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)O，P為BC上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥OC于點(diǎn)E，M是△OPE的內(nèi)心，連接OM、PM，當(dāng)點(diǎn)P在弧BC上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長（）A．2 B．22 C．π D．2π3．（2025?匯川區(qū)四模）如圖，擺鐘是一種技術(shù)與藝術(shù)相結(jié)合的機(jī)械時鐘，如圖是其鐘擺擺動示意圖，OA＝24cm，當(dāng)鐘擺從OA擺動到OB時，若擺動角度∠AOB＝15°，則端點(diǎn)A移動的路徑長為（）A．3cm B．πcm C．2πcm D．3πcm4．（2025?荷塘區(qū)三模）一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，然后落入四個角落中的其中一個，如圖所示虛線是其中一種可能的路徑，則小球可能運(yùn)動路徑的最大長度是（）A．25 B．210 C．9 D5．（2025?武進(jìn)區(qū)校級模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，直角邊AB＝AC＝1，D為BC的中點(diǎn)，E為AB邊上的動點(diǎn)，DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，M為EF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長為（）A．22π B．22 C．π26．（2025?高碑店市三模）如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動（含端點(diǎn)），作四邊形AECD關(guān)于直線AE對稱的四邊形AEC'D'，點(diǎn)D，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D'，C'，連接DD′交AE于點(diǎn)甲：點(diǎn)E不可能落在DD′上；乙：點(diǎn)D'，C′運(yùn)動路徑的長度比始終為32下列說法正確的是（）A．甲對，乙錯 B．甲錯，乙對 C．甲、乙都錯 D．甲、乙都對7．（2025?廣西一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB上一個動點(diǎn)，在AB延長線上找一點(diǎn)N，使點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B對稱，連接CM，DN相交于點(diǎn)E．當(dāng)動點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長為（）A．233 B．253 C．28．（2025?南明區(qū)二模）開窗通風(fēng)是日常生活中保持室內(nèi)空氣流通的一種方法，圖①是平開窗的打開實(shí)物圖，圖②是平開窗打開的效果圖，此時，窗戶打開了84°，窗戶底邊OA長是60，則這扇窗戶底邊端點(diǎn)A掃過區(qū)域的軌跡長（弧長）是（）A．845π B．293π C．28π 9．（2025?鼓樓區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圓，D為AC上一動點(diǎn)，過A作直線OD的垂線，垂足為E．在D從A沿AC運(yùn)動到C的過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為（）A．23π3 B．43π3 C10．（2025?福田區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，邊AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到EB的位置，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊的中點(diǎn)，若CE＝2，則點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的路徑長為（）A．23π B．43π C．8二．填空題（共10小題）11．（2025?深圳模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是AB（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是MN上一動點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是．12．（2025?道里區(qū)校級模擬）如圖，若一個半徑為1的圓形紙片在邊長為6的等邊三角形內(nèi)任意運(yùn)動，則在該等邊三角形內(nèi)，這個圓形紙片能接觸到的最大面積為．13．（2025?華龍區(qū)校級一模）如圖，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，使得BC′⊥AB，延長AC交A′B于D，點(diǎn)A的運(yùn)動路徑為AA'，則圖中陰影部分的面積為．14．（2025?二道區(qū)校級模擬）如圖，AB是半徑為2的⊙O的一條弦，∠AOB＝90°．將△OAB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O'第一次落在⊙O上時，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是．（結(jié)果保留π）15．（2025?內(nèi)蒙古模擬）如圖，將Rt△ABC以點(diǎn)A為中心順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC上且恰為BC邊的中點(diǎn)．若AB＝3，則點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡CE的長為．16．（2025?淮安區(qū)校級二模）如圖，有一塊長AB＝4cm、寬BC＝3cm的矩形木板在桌面上按順時針方向無滑動地翻滾，木板上頂點(diǎn)A的位置變化為A→A1→A2．其中，第二次翻滾時被桌面上一個小木塊擋住，使木板邊沿A2E與桌面成30°角，則點(diǎn)A翻滾到點(diǎn)A2的位置經(jīng)過的路徑長為．17．（2025?揚(yáng)州三模）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)M是線段CB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥AM交AB于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)N經(jīng)過的路徑長是．18．（2025?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，連接EF，∠F＝60°．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→B→F運(yùn)動到點(diǎn)F，在邊EF上找一點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，使得∠APQ＝∠B，則在點(diǎn)P的運(yùn)動的過程中，點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為．19．（2025?博羅縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC＝120°，把菱形ABCD繞著頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡為弧CC'，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π20．（2025?廣州二模）如圖，拋物線l：y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)P為l上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線BC的平行線，與x軸交于點(diǎn)M，若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著拋物線l運(yùn)動到點(diǎn)B，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為．三．解答題（共5小題）21．（2025?惠州一模）在《車輪為什么是圓的》課題學(xué)習(xí)中，小青將車輪設(shè)計成半徑為2的正n多邊形，在水平地面上模擬行駛．以n＝3為例，如圖1，車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），車輪中心的軌跡是BD，點(diǎn)C為中心軌跡最高點(diǎn)（即BD的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），如圖2，d為點(diǎn)C到BD的距離（即CE的長）．當(dāng)n取4，5，6時，車輪中心的軌跡分別如圖3、圖4、圖5．以此類推，當(dāng)n取不同的值時，分別計算出d的值（結(jié)果精確到0.001）．具體數(shù)據(jù)如下表：n34567891011?d1.0000.3820.2680.1980.1520.1210.0980.081?請你協(xié)助小青完成以下任務(wù)．（1）求當(dāng)n＝4時，d為何值？（參考數(shù)據(jù)：2（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，d隨n的變化情況為；當(dāng)車輪設(shè)計成圓形時，d＝，這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計成圓形．（3）若路面如圖6形狀，可看成由半徑為2的一些等弧首尾連結(jié)而成，若EF長為π922．（2025?蓬江區(qū)校級一模）如圖1，是一電動門，當(dāng)它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此時它與出入口OM等寬，與地面的距離AO＝0.2m；當(dāng)它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅蜛B′C′D，如圖3所示，此時，AB′與水平方向的夾角為60°．（1）求圖3中點(diǎn)B′到地面的距離；（2）在電動門抬起的過程中，求點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長；（3）圖4中，一輛寬1.6m，高1.6m的汽車從該入口進(jìn)入時，汽車需要與BC保持0.4m的安全距離，此時，汽車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，π≈3.14，所有結(jié)果精確到0.123．（2025?石家莊模擬）如圖1筒車是我國古代利用水利驅(qū)動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．如圖2，筒車⊙O按逆時針方向轉(zhuǎn)動，與水面分別交于A、B，且AB=43m，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2（1）求筒車⊙O的半徑；（2）盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點(diǎn)時，求它走過的路徑長．24．（2025?雙臺子區(qū)校級二模）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書架與桌面的夾角∠AOB＝150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為11cm，此時舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A′OB＝108°時（點(diǎn)A′是A的對應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想．（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣A點(diǎn)到A′走過的路徑長．（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處．當(dāng)她看書上距離桌面高度為20cm的點(diǎn)F時，她向下看的俯角為18°，眼睛到桌面高度EB＝25cm，求此時眼睛到F點(diǎn)的距離，即EF的長度．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）25．（2024?魯山縣三模）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1，是我國古代農(nóng)用工具，桔槔始見于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械．如圖2所示的是桔槔示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時，∠AOM＝127°；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)A1．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長；（2）求此時水桶B上升的高度．

2026年中考數(shù)學(xué)解密之軌跡參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDCDBDBCBB一．選擇題（共10小題）1．（2025?東?？h校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，BC邊上有一動點(diǎn)D，作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B'，在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)B′的運(yùn)動路徑長為（）A．π3 B．2π3 C．4π3 【考點(diǎn)】軌跡；軸對稱的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】延長BC到點(diǎn)E，使EC＝BC，連接AE、AB′，由AC垂直平分BE，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，得AE＝AB＝2BC＝4，則∠EAC＝∠BAC＝30°，所以∠BAE＝60°，由點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱，得AB′＝AB＝4，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，則點(diǎn)B′與點(diǎn)E重合，所以點(diǎn)B′的運(yùn)動路徑為以點(diǎn)A為圓心，半徑為4的圓上的一段弧，即BE，根據(jù)弧長公式求得lBE【解答】解：延長BC到點(diǎn)E，使EC＝BC，連接AE、AB′，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC垂直平分BE，∴AE＝AB＝2BC＝4，∴∠EAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAE＝2∠BAC＝60°，∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱，∴直線AD垂直平分BB′，∴AB′＝AB＝4，∴點(diǎn)B′在以點(diǎn)A為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動，∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，則點(diǎn)B′與點(diǎn)E重合，∴點(diǎn)B′的運(yùn)動路徑為以點(diǎn)A為圓心，半徑為4的圓上的一段弧，即BE，∵lBE∴點(diǎn)B′的運(yùn)動路徑長為4π3故選：C．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、軸對稱的性質(zhì)、弧長公式、軌跡問題的求解等知識與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2025?江都區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝8，點(diǎn)C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)O，P為BC上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥OC于點(diǎn)E，M是△OPE的內(nèi)心，連接OM、PM，當(dāng)點(diǎn)P在弧BC上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長（）A．2 B．22 C．π D．2π【考點(diǎn)】軌跡；圓周角定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】D【分析】首先證明∠CMO＝∠PMO＝135°，推出當(dāng)點(diǎn)P在弧BC上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)M在以O(shè)C為弦，并且所對的圓周角為135°的劣弧上（OMC），利用弧長公式計算即可解決問題；【解答】解：∵△OPE的內(nèi)心為M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°-12（∠EOP+∠∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°-12（∠EOP+∠OPE）＝180°-12（180°﹣∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，所以當(dāng)點(diǎn)P在弧BC上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)M在以O(shè)C為弦，并且所對的圓周角為135°的劣弧上（OMC），點(diǎn)M在扇形BOC內(nèi)時，過C、M、O三點(diǎn)作⊙O′，連O′C，O′O，在優(yōu)弧CO取點(diǎn)D，連DA，DO，∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O=22OC=22×∴弧OMC的長=90π?22180=故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了弧長的計算公式：l=nπR180，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)．同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)3．（2025?匯川區(qū)四模）如圖，擺鐘是一種技術(shù)與藝術(shù)相結(jié)合的機(jī)械時鐘，如圖是其鐘擺擺動示意圖，OA＝24cm，當(dāng)鐘擺從OA擺動到OB時，若擺動角度∠AOB＝15°，則端點(diǎn)A移動的路徑長為（）A．3cm B．πcm C．2πcm D．3πcm【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用．【專題】幾何圖形；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)弧長計算公式，計算即可．【解答】解：根據(jù)弧長計算公式，端點(diǎn)A移動的路徑長=15π×24故選：C．【點(diǎn)評】本題考查弧長的計算，熟練掌握弧長計算公式是解題的關(guān)鍵．4．（2025?荷塘區(qū)三模）一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，然后落入四個角落中的其中一個，如圖所示虛線是其中一種可能的路徑，則小球可能運(yùn)動路徑的最大長度是（）A．25 B．210 C．9 D【考點(diǎn)】軌跡；生活中的軸對稱現(xiàn)象；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】先解讀題意，再進(jìn)行分類討論，并且作圖，結(jié)合矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理列式計算，再比較大小，即可作答．【解答】解：第一種情況：分別過R，U，Y作RW⊥AB，UT⊥AB，YG⊥AB，如圖1：∵臺球桌是矩形，∴∠D＝∠DAW＝90°，∵RW⊥AB，YG⊥AB，∴四邊形AWRD，AGYD都是矩形，同理得四邊形WRYG都是矩形，∵一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，故AW＝TW＝TG＝GB＝2×14=12，RW＝Y(jié)G＝AD在Rt△ARW中，AR=A則4×5∴小球運(yùn)動路徑為25第二種情況：分別過R，T，Y作RW⊥AD，UT⊥AD，YG⊥AD，如圖2：∵臺球桌是矩形，∴∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，∵RW⊥AD，YG⊥AD，∴四邊形AWRB，AGYB都是矩形，同理得四邊形WRYG是矩形，∴WR＝GY＝2，∵一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，故DW＝WT＝GT＝GA＝1×14=14，DC＝RW＝GY＝BA＝則4×65∵25∴小球可能運(yùn)動路徑的最大長度是65，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡，生活中的軸對稱現(xiàn)象，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．5．（2025?武進(jìn)區(qū)校級模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，直角邊AB＝AC＝1，D為BC的中點(diǎn)，E為AB邊上的動點(diǎn)，DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，M為EF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長為（）A．22π B．22 C．π2【考點(diǎn)】軌跡；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DG⊥AC，DH⊥BC，如圖，證明四邊形DGCH為正方形，再證明△EDG≌△FDH（SAS）．推出DE＝DF．△EDF為等腰直角三角形，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB，DH⊥AC，∵DG⊥AB，AC⊥BA，∴DG∥AC．∵D是邊CB中點(diǎn)，∴DG=12同理：DH=12∵AC＝BA，∴DG＝DH．∴四邊形DGCH為正方形，∴∠GDH＝90°．∴∠GDF+∠FDH＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠GDF+∠EDG＝90°．∴∠EDG＝∠FDH．在△EDG和△FDH中，∠EGD=∠FHDGD=HD∴△EDG≌△FDH（SAS）．∴DE＝DF．∴△EDF為等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，EF的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑為AB，AC中點(diǎn)的連線，即M所經(jīng)過的路徑為12CB∵AB＝AC＝1，∠C＝90°，∴CB=2∴EF的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為22故選：B．【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2025?高碑店市三模）如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，點(diǎn)E在BC邊上從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動（含端點(diǎn)），作四邊形AECD關(guān)于直線AE對稱的四邊形AEC'D'，點(diǎn)D，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D'，C'，連接DD′交AE于點(diǎn)甲：點(diǎn)E不可能落在DD′上；乙：點(diǎn)D'，C′運(yùn)動路徑的長度比始終為32下列說法正確的是（）A．甲對，乙錯 B．甲錯，乙對 C．甲、乙都錯 D．甲、乙都對【考點(diǎn)】軌跡；軸對稱的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】由∠AOD＝90°，那么點(diǎn)O在以AD為直徑的半圓上，該半圓與BC沒有交點(diǎn)，而點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)O與點(diǎn)E不會重合，即點(diǎn)E不可能落在DD′上；從點(diǎn)E在點(diǎn)C位置開始，點(diǎn)D′，C′運(yùn)動路徑的長度為以點(diǎn)A為圓心，分別以AD′，AC′為半徑的弧長，且AC′與AD′轉(zhuǎn)過的角度相等，那么點(diǎn)D′，C′運(yùn)動路徑的長度比始終保持與AD'AC'【解答】解：如圖，連接AC，AC′，由題意可得：DD′⊥AE，AC＝AC′，AD＝AD′，∴∠AOD＝90°，∴點(diǎn)O在以AD為直徑的半圓上，該半圓與BC沒有交點(diǎn)，而點(diǎn)E在BC上，∴點(diǎn)O與點(diǎn)E不會重合，即點(diǎn)E不可能落在DD′上，故甲對；由題意可得：AB＝CD，∠ADC＝90°，∵AD=3∴AD=3∴AC=A∴ADAC從點(diǎn)E在點(diǎn)C位置開始，點(diǎn)D′，C′運(yùn)動路徑的長度為以點(diǎn)A為圓心，分別以AD′，AC′為半徑的弧長，且AC′與AD′轉(zhuǎn)過的角度相等，∵AD'AC'∴點(diǎn)D′，C′運(yùn)動路徑的長度比始終為32故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、90°的圓周角所對的弦是直徑、弧長計算，核心素養(yǎng)表現(xiàn)為幾何直觀和推理能力．7．（2025?廣西一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB上一個動點(diǎn)，在AB延長線上找一點(diǎn)N，使點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B對稱，連接CM，DN相交于點(diǎn)E．當(dāng)動點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長為（）A．233 B．253 C．2【考點(diǎn)】軌跡；中心對稱；正方形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)N，連接DN和AC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)P，連接BE，則EB為點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡，先根據(jù)正方形性質(zhì)可知PQ＝AD＝2，設(shè)BQ＝x，則AQ＝2﹣x，進(jìn)而得到PE＝x，AN＝4，通過平行可知△CED∽△AEN，再通過相似三角形性質(zhì)解出x，再通過勾股定理即可求解．【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)N，連接DN和AC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)P，連接BE，則EB為點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∠CAB＝45°，AD＝AB＝CD＝2．∵PQ⊥AB，∴PQ⊥CD，∴PQ＝AD＝2，設(shè)BQ＝x，則AQ＝2﹣x，∵∠CAB＝45°，PQ⊥AB，∴EQ＝AQ＝2﹣x，∴PE＝PQ﹣EQ＝2﹣（2﹣x）＝x，又∵點(diǎn)M，N關(guān)于點(diǎn)B對稱，∴BM＝BN，當(dāng)點(diǎn)M在起點(diǎn)A處時，BM＝BN＝2，∴AN＝4，又∵CD∥AB，∴△CED∽△AEN，∴CDAN∴24=x∴EQ=2-x=4EB=E故選：B．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，相似三角形等知識點(diǎn)，能夠正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．（2025?南明區(qū)二模）開窗通風(fēng)是日常生活中保持室內(nèi)空氣流通的一種方法，圖①是平開窗的打開實(shí)物圖，圖②是平開窗打開的效果圖，此時，窗戶打開了84°，窗戶底邊OA長是60，則這扇窗戶底邊端點(diǎn)A掃過區(qū)域的軌跡長（弧長）是（）A．845π B．293π C．28π 【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用；弧長的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】利用弧長公式解答即可．【解答】解：這扇窗戶底邊端點(diǎn)A掃過區(qū)域的軌跡長（弧長）是：84360×2π×60＝28故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了弧長的計算，解決本題的關(guān)鍵是掌弧長的計算公式．9．（2025?鼓樓區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圓，D為AC上一動點(diǎn)，過A作直線OD的垂線，垂足為E．在D從A沿AC運(yùn)動到C的過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為（）A．23π3 B．43π3 C【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；弧長的計算．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】如圖：連接OA，OC，由圓周角定理可得∠AOC＝2∠B＝120°，則從A到C其旋轉(zhuǎn)角為120°；取AC的中點(diǎn)F，連接OF，由垂徑定理可得OF⊥AC，AF=12AC=3，∠AOF=12∠AOC=60°，再解直角三角形可得AO=23【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圓，如圖，連接OA，OC，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∴點(diǎn)D從A沿AC運(yùn)動到C的過程中，從A到C其旋轉(zhuǎn)角為120°，取AC的中點(diǎn)F，連接OF，∴OF⊥AC，AF=1在Rt△AOF中，AFAO=sin60°∴AO=3取AO的中點(diǎn)G，連接EG，∵AE⊥DO，∴∠AEO＝90°，∴點(diǎn)E的軌跡為以G為圓心，3為半徑畫圓弧，由于點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)120°，則點(diǎn)E也旋轉(zhuǎn)240°，∴點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為=240°360°?π?3?2故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了軌跡，垂徑定理，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，弧長的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．10．（2025?福田區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，邊AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到EB的位置，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊的中點(diǎn)，若CE＝2，則點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的路徑長為（）A．23π B．43π C．8【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】由題意很容易得出CE=12CD=12AB=12BE，繼而可得∠CBE【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝BE，∴BE＝CD，∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，且CE＝2，∴CD＝AB＝BE＝4，CE=1在Rt△BCE中，sin∠CBE=CE∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，∴l(xiāng)AE=故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了軌跡、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弧長公式等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）11．（2025?深圳模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是AB（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是MN上一動點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是2．【考點(diǎn)】軌跡；圓周角定理．【專題】推理填空題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2．【分析】連接EB，設(shè)OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是GF，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是MN，由題意∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計算即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EB，設(shè)OA＝r，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E．∴E是△ACB的內(nèi)心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是GF，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是MN，由題意∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α，∴弧MN的長度：弧GF的長度=2α×π×r故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)．12．（2025?道里區(qū)校級模擬）如圖，若一個半徑為1的圓形紙片在邊長為6的等邊三角形內(nèi)任意運(yùn)動，則在該等邊三角形內(nèi)，這個圓形紙片能接觸到的最大面積為63+π【考點(diǎn)】軌跡；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】推理填空題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)直角三角形的面積和扇形面積公式先求出圓形紙片不能接觸到的面積，再用等邊三角形的面積去減即可得能接觸到的最大面積．【解答】解：如圖，當(dāng)圓形紙片運(yùn)動到與∠A的兩邊相切的位置時，過圓形紙片的圓心O作兩邊的垂線，垂足分別為D，E，連接AO，則Rt△ADO中，∠OAD＝30°，OD＝1，AD=3∴S△ADO=12OD?AD∴S四邊形ADOE＝2S△ADO=3∵∠DOE＝120°，∴S扇形DOE=π∴紙片不能接觸到的部分面積為：3（3-π3）＝∵S△ABC=12×6×3∴紙片能接觸到的最大面積為：93-33+π＝63故答案為63+π【點(diǎn)評】本題考查了軌跡、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解圓的運(yùn)動軌跡．13．（2025?華龍區(qū)校級一模）如圖，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，使得BC′⊥AB，延長AC交A′B于D，點(diǎn)A的運(yùn)動路徑為AA'，則圖中陰影部分的面積為8π-63【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】8π-63【分析】利用扇形ABA′的面積減去Rt△ABD的面積計算即可．【解答】解：∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，∴∠BAC＝∠ABC＝30°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠ABC'＝∠ABC＝30°，∵BC′⊥AB，即∠ABC′＝90°，∴∠ABA′＝∠ABC′﹣∠ABC′＝60°∴∠ADB＝180°﹣∠ABA′﹣∠BAC＝90°，∠CBD＝∠ABA′﹣∠ABC＝30°，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝4．∴CD＝2，BD=23．AD＝AC+CD＝6∴AB=A∴S陰影故答案為：8π-63【點(diǎn)評】本題考查不規(guī)則圖形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，勾股定理等知識，掌握割補(bǔ)法求面積是解題的關(guān)鍵．14．（2025?二道區(qū)校級模擬）如圖，AB是半徑為2的⊙O的一條弦，∠AOB＝90°．將△OAB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O'第一次落在⊙O上時，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是22π3【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】22【分析】當(dāng)點(diǎn)O′第一次落在⊙O上時，△OAO'為等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角θ＝60°（即π3弧度）．點(diǎn)B繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的路徑是圓弧，其半徑為AB的長度，弧長公式為r?θ【解答】解：旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)O′在⊙O上，故O′O＝2．旋轉(zhuǎn)前OA＝2，旋轉(zhuǎn)后O'A＝OA＝2，∴△OAO′為等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角θ=60°=π在△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，由勾股定理得：AB=O點(diǎn)B繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)π3弧度，路徑為圓弧，半徑AB＝22，弧長為：弧長＝AB?θ＝22.π故答案為：22【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長計算以及幾何圖形的變換，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．15．（2025?內(nèi)蒙古模擬）如圖，將Rt△ABC以點(diǎn)A為中心順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC上且恰為BC邊的中點(diǎn)．若AB＝3，則點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡CE的長為3π．【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計算．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】3π．【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和中點(diǎn)條件求出BC的長度，再用勾股定理求出AC的長度，通過三角函數(shù)求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式計算CE的長．【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AD＝AB＝3．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2AD＝6．在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC=BC2∵tan∠ABC=AC∴∠ABC＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠CAE＝∠BAD＝60°，∴CE的長=60故答案為：3π．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)以及弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．16．（2025?淮安區(qū)校級二模）如圖，有一塊長AB＝4cm、寬BC＝3cm的矩形木板在桌面上按順時針方向無滑動地翻滾，木板上頂點(diǎn)A的位置變化為A→A1→A2．其中，第二次翻滾時被桌面上一個小木塊擋住，使木板邊沿A2E與桌面成30°角，則點(diǎn)A翻滾到點(diǎn)A2的位置經(jīng)過的路徑長為3.5πcm．【考點(diǎn)】軌跡；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】3.5πcm．【分析】第一次是點(diǎn)A以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1，長方形的對角線AB長為32+42=5cm，此次A點(diǎn)走過的路徑為AA1弧，第二次是點(diǎn)A1以E為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2，此次A點(diǎn)走過的路徑為【解答】解：第一次是點(diǎn)A以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1，長方形的對角線AB長為32此次A點(diǎn)走過的路徑為AA1弧，AA1=2π×5×第二次是點(diǎn)A1以E為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2，∵EA1的長為3cm，A2與E桌面成30°角，∴∠A1EA2＝60°，∴此次A點(diǎn)走過的路徑為A1A2弧，A1A2＝2π×3×60°∴A點(diǎn)走過的路徑為5π2故答案為：3.5πcm．【點(diǎn)評】本題考查的是軌跡，弧長的計算及矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)所旋轉(zhuǎn)的弧的圓心和半徑及圓心角的度數(shù)．17．（2025?揚(yáng)州三模）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)M是線段CB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥AM交AB于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)N經(jīng)過的路徑長是209【考點(diǎn)】軌跡；勾股定理．【專題】計算題．【答案】209【分析】過點(diǎn)N作NJ⊥BC于J，設(shè)BN＝y(tǒng)，CM＝x，構(gòu)建一元二次方程利用判別式求出y的最大值，可得結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)N作NJ⊥BC于J，如圖所示：設(shè)BN＝y(tǒng)，CM＝x，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A∵NJ∥AC，∴△BNJ∽△BAC，∴BNAB∴y10∴BJ=3∴MJ＝BC﹣CM﹣BJ＝6﹣x-35∵∠C＝∠AMN＝∠NJM＝90°，∴∠AMC+∠NMJ＝90°，∠NMJ+∠MNJ＝90°，∴∠AMC＝∠MNJ，∴△ACM∽△MJN，∴ACMJ∴86-x-∴x2∵△≥0，∴(3∴9y2﹣820y+900≥0，∴（9y﹣10）（y﹣90）≥0，∴y≤109或y≥90（90＞10＝∴y≤10∴BN的最大值為109當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)N經(jīng)過的路徑長是2倍的BN的最大值，∴點(diǎn)N經(jīng)過的路徑長是209故答案為：209【點(diǎn)評】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的判別式等知識．18．（2025?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，連接EF，∠F＝60°．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→B→F運(yùn)動到點(diǎn)F，在邊EF上找一點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，使得∠APQ＝∠B，則在點(diǎn)P的運(yùn)動的過程中，點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為254【考點(diǎn)】軌跡；含30度角的直角三角形；三角形中位線定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】254【分析】解Rt△ABC求出BC，AC的長，連接DE，中點(diǎn)結(jié)合中位線定理得到CE=12AC=23，∠ADE＝∠B＝60°，解Rt△ECF求出CF，EF的長，分點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動和點(diǎn)P在BF上移動兩種情況，進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動得到點(diǎn)Q從點(diǎn)E移動到點(diǎn)F，路徑長為EF＝4，當(dāng)點(diǎn)P在BF上移動，設(shè)BP＝x，證明△ABP∽△PFQ，得到FQ=BP?PFAB=x(6-x)8=-1【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，∴BC＝AB?cos60°＝4，AC=AB?sin60°=43連接DE，∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊上的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=12BC=2∴∠ADE＝∠B＝60°，在Rt△ECF中，CE=23，∠F＝60°∴CF＝CE÷tan60°＝2，EF＝CE÷sin60°＝4；①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動時，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)Q從點(diǎn)E移動到點(diǎn)F，路徑長為EF＝4；②當(dāng)點(diǎn)P在BF上移動時，如圖，∵BC＝4，CF＝2，∴BF＝6，設(shè)BP＝x，則PF＝6﹣x，∵∠APQ＝∠B＝60°，∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠QPF，∴∠QPF＝∠PAB，又∵∠B＝∠F，∴△ABP∽△PFQ，∴FQBP∴FQ=BP?PF∴當(dāng)x=-342×(-18∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B移動到點(diǎn)F時，點(diǎn)Q先從點(diǎn)F移動到FQ=98的位置，再返回到點(diǎn)∴點(diǎn)Q的總的路徑長為：4+2×9故答案為：254【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，二次函數(shù)求最值，中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡．19．（2025?博羅縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC＝120°，把菱形ABCD繞著頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡為弧CC'，則圖中陰影部分的面積為3π-33．（結(jié)果保留【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計算．【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接BD，交AC于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)求出BO，AC，以及S△ABC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出S△ABC=S△ABC'=33，再根據(jù)S陰影＝S扇形CAC′﹣S【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝23，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，連接BD，交AC于點(diǎn)O，則BD⊥AC，∴BO=1由勾股定理得，AO=A∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S△由旋轉(zhuǎn)得，△AB′C′?△ABC，∴AC'=AC=6∴S陰影＝S扇形CAC′﹣S△AB′C′=30π×故答案為：3π-33【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．20．（2025?廣州二模）如圖，拋物線l：y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（2）點(diǎn)P為l上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線BC的平行線，與x軸交于點(diǎn)M，若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著拋物線l運(yùn)動到點(diǎn)B，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為．．【考點(diǎn)】軌跡；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【答案】（1）（3，0）；（2）92【分析】（1）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得x1＝﹣1，x2＝3從而即可得解；（2）根據(jù)題意，可以先求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而可以得到直線BC的解析式，再根據(jù)PM∥BC，點(diǎn)P在拋物線上，可以寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和對應(yīng)的直線PM的解析式，再根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)M橫坐標(biāo)的最大值，從而可以得到點(diǎn)M經(jīng)過的路程．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），∴當(dāng)y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），故答案為：（3，0）；（2）當(dāng)x＝0時，y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，b=33k+b=0解得k=-1b=3，即直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3∵PM∥BC，點(diǎn)P在拋物線上且在第一象限，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），設(shè)直線PM的解析式為y＝﹣x+c，﹣m2+2m+3＝﹣m+c，解得c＝﹣m2+3m+3，∴直線PM的解析式為y＝﹣x﹣m2+3m+3，令﹣x﹣m2+3m+3＝﹣x2+2x+3且Δ＝0，解得m=3此時直線PM的解析式為y=-x+21當(dāng)y=0時，∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)最大值是214∴點(diǎn)M經(jīng)過的路程為：(21故答案為：92【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、求一次函數(shù)自變量值，二次函數(shù)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．三．解答題（共5小題）21．（2025?惠州一模）在《車輪為什么是圓的》課題學(xué)習(xí)中，小青將車輪設(shè)計成半徑為2的正n多邊形，在水平地面上模擬行駛．以n＝3為例，如圖1，車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），車輪中心的軌跡是BD，點(diǎn)C為中心軌跡最高點(diǎn)（即BD的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），如圖2，d為點(diǎn)C到BD的距離（即CE的長）．當(dāng)n取4，5，6時，車輪中心的軌跡分別如圖3、圖4、圖5．以此類推，當(dāng)n取不同的值時，分別計算出d的值（結(jié)果精確到0.001）．具體數(shù)據(jù)如下表：n34567891011?d1.0000.3820.2680.1980.1520.1210.0980.081?請你協(xié)助小青完成以下任務(wù)．（1）求當(dāng)n＝4時，d為何值？（參考數(shù)據(jù)：2（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，d隨n的變化情況為d隨n的增大而減小；當(dāng)車輪設(shè)計成圓形時，d＝0，這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計成圓形．（3）若路面如圖6形狀，可看成由半徑為2的一些等弧首尾連結(jié)而成，若EF長為π9【考點(diǎn)】軌跡；生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；解直角三角形的應(yīng)用；垂徑定理的應(yīng)用；正多邊形和圓；弧長的計算．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】（1）當(dāng)n＝4時，d≈0.586；（2）d隨n的增大而減小；0；（3）該車輪應(yīng)設(shè)計成邊數(shù)為36的正多邊形．【分析】（1）根據(jù)題意證明△ABE為等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題；（2）觀察表格數(shù)據(jù)即可解決問題；（3）根據(jù)弧長公式即可進(jìn)行計算．【解答】解：（1）當(dāng)n＝4時，∠BAD＝90°，∵點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵AB＝AD＝AC＝2，∴AC⊥BD，BE＝DE，∴△ABE為等腰直角三角形，在Rt△ABE中，AE＝BE，∴BE2+AE2＝AB2，∴AE=2∴d＝AC﹣AE＝2-2≈∴當(dāng)n＝4時，d≈0.586；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，d隨n的變化情況為d隨n的增大而減??；當(dāng)車輪設(shè)計成圓形時，d＝0，這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計成圓形．故答案為：d隨n的增大而減小；0；（3）設(shè)EF對應(yīng)的圓心角為α°，∵EF長為π9∴2πα180∴a＝10，∴360α∴該車輪應(yīng)設(shè)計成邊數(shù)為36的正多邊形．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡，等腰直角三角形，垂徑定理，弧長的計算，解決本題的關(guān)鍵是理解題意．22．（2025?蓬江區(qū)校級一模）如圖1，是一電動門，當(dāng)它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此時它與出入口OM等寬，與地面的距離AO＝0.2m；當(dāng)它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅蜛B′C′D，如圖3所示，此時，AB′與水平方向的夾角為60°．（1）求圖3中點(diǎn)B′到地面的距離；（2）在電動門抬起的過程中，求點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長；（3）圖4中，一輛寬1.6m，高1.6m的汽車從該入口進(jìn)入時，汽車需要與BC保持0.4m的安全距離，此時，汽車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，π≈3.14，所有結(jié)果精確到0.1【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；矩形的判定．【專題】矩形菱形正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）點(diǎn)B′到地面的距離約為2.8m；（2）點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑約為3.1m；（3）汽車能安全通過，理由見解析．【分析】（1）過點(diǎn)B′作B'N⊥OM于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)E，根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答即可．（2）根據(jù)弧長公式解答即可；（3）根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)B′作B′N⊥OM于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)E，依題意得：∠B′AE＝60°，AB′＝AB＝3m，∠BAB′＝60°，在Rt△AEB′中，sin∠BAB'=B'E∴B'E=AB'?sin∠BAB'=3×sin60°=3×32=332≈2.598mB′E＝AB′?sin∠BAB′＝3×sin60°∴B′N＝B′E+EN＝2.598+0.2≈2.8m，答：點(diǎn)B′到地面的距離約為2.8m；（2）∵點(diǎn)C′是點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)60°得到的，∴點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長為60π?3180=π≈3.1（答：點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑約為3.1m．（3）汽車能安全通過．在OM上取MK＝0.4m，KF＝1.6m，作FG⊥OM于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)H，交AB′于點(diǎn)G，即汽車與BC保持安全距離MK＝0.4m，汽車的寬KF＝1.6m，∴OF＝3﹣1.6﹣0.4＝1m，依題意得：∠AHG＝90°，∠GAH＝60°，四邊形AOFH是矩形，∴AH＝OF＝1m，HF＝OA＝0.2m，在Rt△AGH中，tan∠GAH=GH∴GH＝AH?tan∠GAH＝1×tan60°=3≈1.732（∴GF＝GH+HF≈1.732+0.2＝1.932（m），∵汽車高度為1.6m，1.932＞1.6，∴汽車能安全通過，【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題．23．（2025?石家莊模擬）如圖1筒車是我國古代利用水利驅(qū)動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．如圖2，筒車⊙O按逆時針方向轉(zhuǎn)動，與水面分別交于A、B，且AB=43m，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2（1）求筒車⊙O的半徑；（2）盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點(diǎn)時，求它走過的路徑長．【考點(diǎn)】軌跡；垂徑定理的應(yīng)用．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OA，根據(jù)勾股定理即可解決問題；（2）利用銳角三角函數(shù)求出∠COA＝60°，再根據(jù)弧長公式即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接OA，∵AB=43∴AC=23在Rt△ACO中，OC＝2，AO2＝OC2+AC2，∴AO=2答：筒車⊙O的半徑為4m；（2）由（1）可得tan∠COA=AC∴∠COA＝60°，∴盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點(diǎn)時，它走過的路徑長為180-60180【點(diǎn)評】本題考查軌跡，垂徑定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．24．（2025?雙臺子區(qū)校級二模）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)書架與桌面的夾角∠AOB＝150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為11cm，此時舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A′OB＝108°時（點(diǎn)A′是A的對應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想．（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣A點(diǎn)到A′走過的路徑長．（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處．當(dāng)她看書上距離桌面高度為20cm的點(diǎn)F時，她向下看的俯角為18°，眼睛到桌面高度EB＝25cm，求此時眼睛到F點(diǎn)的距離，即EF的長度．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；應(yīng)用意識．【答案】（1）77π15（2）EF的長度約為16cm．．【分析】（1）利用平角定義先求出∠AOC＝30°，然后在Rt△ACO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AO的長，從而求出A′O的長，進(jìn)而利用弧長公式求解即可；（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥BE于點(diǎn)M、N，則四邊形MBNF是矩形，∠FNE＝90°，在Rt△FEN中，解直角三角形即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，在Rt△ACO中，AC＝11cm，∴AO＝2AC＝22cm，由題意得：AO＝A′O＝22cm，∵∠A′OB＝108°，∴∠AOA′＝150°﹣∠A′OB＝42°，∴邊緣A點(diǎn)到A′走過的路徑長42×π×22180（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥BE于點(diǎn)M、N，則四邊形MBNF是矩形，∠FNE＝90°，∴BN＝FM＝20cm，∴EN＝BE﹣BN＝5cm，∵向下看的俯角為18°，∴∠EFN＝18°，∴EF=ENsin18°=5答：EF的長度約為16cm．．【點(diǎn)評】本題主要考查了軌跡，解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角，熟練掌握解直角三角形、30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2024?魯山縣三模）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1，是我國古代農(nóng)用工具，桔槔始見于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械．如圖2所示的是桔槔示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時，∠AOM＝127°；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)A1．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長；（2）求此時水桶B上升的高度．【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，代入計算即可；（2）過O作EF⊥OM，過B作BC⊥EF于C，過B1作B1D⊥EF于D，在Rt△OBC中和在Rt△OB1D中，分別利用三角函數(shù)求出BC和B1D的長即可．【解答】解：（1）∵AB＝5.4米，OA：OB＝2：1，∴OB＝1.8米，∴水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，∴l(xiāng)=54.5×π×1.8180（2）過O作EF⊥OM，過B作BC⊥EF于C，過B1作B1D⊥EF于D，∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°，∴∠AOE＝37°，∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°，∵OB1＝OB＝1.8（米），在Rt△OBC中，BC＝sin∠OCB×OB＝sin37°×OB≈0.6×1.8＝1.08（米），在Rt△OB1D中，B1D＝sin17.5°×OB1≈0.3×1.8＝0.54（米），∴BC+B1D＝1.08+0.54≈1.6（米），∴此時水桶B上升的高度為1.6米．【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，弧長公式等知識，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a，4ac-b24a），對稱軸直線x=-b2a，二次函數(shù)y＝ax2+①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-b2a時，y隨x的增大而減?。粁＞-b2a時，y隨x的增大而增大；x②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-b2a時，y隨x的增大而增大；x＞-b2a時，y隨x的增大而減??；x③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|-b2a|個單位，再向上或向下平移|4ac-2．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a，①拋物線是關(guān)于對稱軸x=-b②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析式中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x3．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．6．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．7．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．8．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．9．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．10．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：211．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE=1212．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、13．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．14．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．15．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．16．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?7．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．18．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．19．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．20．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)