第25頁(yè)（共25頁(yè)）2026年中考數(shù)學(xué)解密之因式分解一．選擇題（共10小題）1．（2025?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．528024 B．522824 C．248052 D．5224802．（2025?云南模擬）若a+b＝4，則3a2+6ab+3b2﹣47的值為（）A．16 B．4 C．2 D．13．（2025?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）下列因式分解結(jié)果正確的是（）A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a(chǎn)2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2+3x+2＝x（x+3）+24．（2025?曲靖模擬）已知a+b＝6，a﹣b＝2，則3a2﹣3b2＝（）A．36 B．24 C．18 D．125．（2025?花山區(qū)校級(jí)一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一個(gè)因式，則2a﹣b的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．（2025?英山縣校級(jí)模擬）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值為（）A．0 B．1 C．4 D．97．（2025?路北區(qū)二模）把多項(xiàng)式a2﹣4a分解因式，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a(chǎn)（a+2）（a﹣2）8．（2025?仁壽縣一模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，則（）A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac9．（2025?路北區(qū)二模）下列結(jié)果不正確的是（）A．（﹣33）2＝35 B．32+32+32＝33 C．34÷3﹣2＝36 D．32025﹣32024能被2整除10．（2025?綿竹市模擬）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a|a+c|﹣bc﹣ab＝0，則△ABC的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形二．填空題（共10小題）11．（2025?廣東校級(jí)模擬）已知x﹣2y＝﹣4，xy＝2，則2xy2﹣x2y＝．12．（2025?南崗區(qū)校級(jí)模擬）將多項(xiàng)式x2y﹣2xy2+y3分解因式的結(jié)果是．13．（2025?東昌府區(qū)二模）因式分解：3ab2+6a2b+3a3＝．14．（2025?利川市模擬）若分解因式：m2+5m＝m（m+k），則k的值為．15．（2025?山亭區(qū)一模）整式的學(xué)習(xí)中我們常常使用拼圖的方法得出相應(yīng)的等式，利用如圖所示的拼圖分解因式：a2+3ab+2b2＝．16．（2025?祁陽(yáng)市校級(jí)一模）在將x2+mx+n因式分解時(shí)，小剛看錯(cuò)了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看錯(cuò)了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正確分解為．17．（2025?單縣三模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，則代數(shù)式m2n﹣mn2的值是．18．（2025?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．19．（2025?海淀區(qū)校級(jí)模擬）因式分解m3﹣4m2n+4mn2結(jié)果是．20．（2025?韶關(guān)模擬）已知a、b、c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b+c＝．三．解答題（共5小題）21．（2025?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式．（1）求整式M，P；（2）將整式P因式分解．22．（2025?湖北模擬）教材內(nèi)容一七年級(jí)下《不等式與不等式組》中的“閱讀與思考”——用求差法比較大?。畠蓚€(gè)數(shù)量的大小可以通過(guò)它們的差來(lái)判斷，如果兩個(gè)數(shù)a，b比較大小，那么當(dāng)a＞b時(shí)，一定有a﹣b＞0；當(dāng)a＝b時(shí)，一定有a﹣b＝0；當(dāng)a＜b時(shí)，一定有a﹣b＜0；反過(guò)來(lái)也對(duì)，即當(dāng)a﹣b＞0時(shí)，一定有a＞b；當(dāng)a﹣b＝0時(shí)，一定有a＝b；當(dāng)a﹣b＜0時(shí)，一定有a＜b．教材內(nèi)容二八年級(jí)上《整式的乘法與因式分解》中的“完全平方式”節(jié)選你能根據(jù)圖2和圖3中圖形的面積說(shuō)明完全平方公式嗎？閱讀以上材料完成下列任務(wù)：?jiǎn)栴}探究對(duì)于圖2我們進(jìn)一步的探討．（1）S1+S2＝；S3+S4＝；（2）比較S1+S2與S3+S4的大小，并說(shuō)明理由；拓展運(yùn)用（3）應(yīng)用以上結(jié)果，求x+123．（2025?豐南區(qū)校級(jí)三模）“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行因式分解如下．甲：a2﹣2ab﹣4+b2＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成兩組）＝（a﹣b）2﹣22（直接運(yùn)用公式）＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．乙：a2﹣ab﹣a+b＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成兩組）＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）＝（a﹣b）（a﹣1）．請(qǐng)?jiān)谒麄兘夥ǖ膯l(fā)下解答下列各題．（1）已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，且滿足ab﹣ac+b2﹣bc＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．（2）已知a+b=10+2，a-b=2-2，求多項(xiàng)式a2﹣b2﹣8a+12b24．（2025?亭湖區(qū)校級(jí)三模）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)m、n，它們的乘積q（q＝mn）與較大數(shù)的和一定為較大數(shù)的平方．（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)m＝4，n＝5，則q+n＝4×5+5＝25＝52（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)m＜n，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．∴q+n一定是正數(shù)n的平方數(shù)．【類(lèi)比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方．請(qǐng)你舉例驗(yàn)證及推理證明；【深入思考】若p=q+2n+q-2m（m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0＜m＜n，q＝mn25．（2025?赤峰模擬）中國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化．我們學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的乘法可以利用圖形的面積進(jìn)行解釋?zhuān)鐖D1，現(xiàn)在有三種類(lèi)型的紙片，1號(hào)紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，2號(hào)紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，3號(hào)紙片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片．（1）由邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形拼成如圖2所示的大正方形，可知大正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），即可求得大正方形的面積．由此可得到一個(gè)乘法公式：；（2）如圖3，根據(jù)所拼圖形的面積，可以把多項(xiàng)式a2+4ab+3b2分解因式，其結(jié)果是；（3）用一張1號(hào)紙片，一張2號(hào)紙片，一張3號(hào)紙片可以拼接成如圖4所示的圖形．若陰影部分的面積為32，3號(hào)紙片的面積為24，求a，b的值．

2026年中考數(shù)學(xué)解密之因式分解參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案BDAABDADAC一．選擇題（共10小題）1．（2025?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；因式分解的意義．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】先提公因式x，然后根據(jù)平方差公式因式分解，進(jìn)而代入字母的值即可求解．【解答】解：∵x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），∵x＝52，y＝28，則各個(gè)因式的值為x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，∴產(chǎn)生的密碼不可能是522824，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．2．（2025?云南模擬）若a+b＝4，則3a2+6ab+3b2﹣47的值為（）A．16 B．4 C．2 D．1【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】先用完全平方公式分解因式，把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：原式＝3（a2+2ab+b2）﹣47＝3（a+b）2﹣47，∵a+b＝4，∴原式＝3×42﹣47＝1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確分解因式是解題關(guān)鍵．3．（2025?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）下列因式分解結(jié)果正確的是（）A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a(chǎn)2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2+3x+2＝x（x+3）+2【考點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的方法進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【解答】解：A．因?yàn)閤2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故符合題意；B．因?yàn)?x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故不符合題意；C．因?yàn)閍2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故不符合題意；D．因?yàn)閤2+3x+2＝（x+1）（x+2），故不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣十字相乘法、公式法，解決本題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．4．（2025?曲靖模擬）已知a+b＝6，a﹣b＝2，則3a2﹣3b2＝（）A．36 B．24 C．18 D．12【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先整理3a2﹣3b2＝3（a+b）（a﹣b），然后把a(bǔ)+b＝6，a﹣b＝2代入計(jì)算，即可作答．【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝2，∴3a2﹣3b2＝3（a2﹣b2）＝3（a+b）（a﹣b）＝36，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式以及已知式子的值求代數(shù)式的值，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．（2025?花山區(qū)校級(jí)一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一個(gè)因式，則2a﹣b的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考點(diǎn)】因式分解的意義．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一個(gè)根，然后代入解題即可．【解答】解：由條件可知當(dāng)x＝2時(shí)，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0，解得：2a﹣b＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．6．（2025?英山縣校級(jí)模擬）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值為（）A．0 B．1 C．4 D．9【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可．【解答】解：由條件可知：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝1×32＝9．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．7．（2025?路北區(qū)二模）把多項(xiàng)式a2﹣4a分解因式，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a(chǎn)（a+2）（a﹣2）【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專(zhuān)題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝a（a﹣4），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．8．（2025?仁壽縣一模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，則（）A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】先推出a+c＝2b，進(jìn)而得到a2+2ac+c2＝4b2，再由a2﹣c2＜0得到2b（a﹣c）＜0，由此即可判斷A，B，求出4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0即可判斷C，D．【解答】解：由條件可知a+c＝2b，∴a2+2ac+c2＝4b2，∵a2﹣c2＜0，∴（a+c）（a﹣c）＜0，∴2b（a﹣c）＜0，∴b＞0a-c＜0或b故A，B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵4b2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＞0，∴b2＞ac，故C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，D結(jié)論正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確推出2b（a﹣c）＜0，4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0是解題的關(guān)鍵．9．（2025?路北區(qū)二模）下列結(jié)果不正確的是（）A．（﹣33）2＝35 B．32+32+32＝33 C．34÷3﹣2＝36 D．32025﹣32024能被2整除【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)這些知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷．【解答】解：A、根據(jù)冪的乘方可知（﹣33）2＝36，計(jì)算結(jié)果不正確，故符合題意；B、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可知32+32+32＝3×32＝33，計(jì)算結(jié)果正確，故不符合題意；C、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可知34÷3﹣2＝34﹣（﹣2）＝36，計(jì)算結(jié)果正確，故不符合題意；D、∵32025﹣32024＝3×32024﹣32024＝32024×（3﹣1）＝2×32024，而2×32024是2的倍數(shù)，∴32025﹣32024能被2整除；故計(jì)算結(jié)果正確，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法的正用與逆用等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．10．（2025?綿竹市模擬）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a|a+c|﹣bc﹣ab＝0，則△ABC的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；等腰三角形的判定．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先根據(jù)已知條件判斷a+c＞0，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把a(bǔ)|a+c|﹣bc﹣ab＝0化簡(jiǎn)并分解因式，然后求出a＝b，從而進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a+c＞0，∵a|a+c|﹣bc﹣ab＝0，∴a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，a2+ac﹣bc﹣ab＝0，（a2﹣ab）+（ac﹣bc）＝0，a（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，（a+c）（a﹣b）＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分解因式及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)和幾種常見(jiàn)的分解因式的方法．二．填空題（共10小題）11．（2025?廣東校級(jí)模擬）已知x﹣2y＝﹣4，xy＝2，則2xy2﹣x2y＝8．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；代數(shù)式求值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先將原式變形為﹣xy（x﹣2y），再將x﹣2y＝﹣4，xy＝2代入計(jì)算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝﹣4，xy＝2，∴原式＝2xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣2y）＝﹣2×（﹣4）＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2025?南崗區(qū)校級(jí)模擬）將多項(xiàng)式x2y﹣2xy2+y3分解因式的結(jié)果是y（x﹣y）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；因式分解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y(tǒng)（x2﹣2xy+y2）＝y(tǒng)（x﹣y）2，故答案為：y（x﹣y）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．13．（2025?東昌府區(qū)二模）因式分解：3ab2+6a2b+3a3＝3a（b+a）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】3a（b+a）2．【分析】先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分解即可．【解答】解：原式＝3a（b2+2ab+a2）＝3a（b+a）2．故答案為：3a（b+a）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．14．（2025?利川市模擬）若分解因式：m2+5m＝m（m+k），則k的值為5．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】5．【分析】把原式提公因式法因式分解，對(duì)比即可得到答案．【解答】解：由條件可得m2+5m＝m（m+k），∴k的值為5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法因式分解．熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．15．（2025?山亭區(qū)一模）整式的學(xué)習(xí)中我們常常使用拼圖的方法得出相應(yīng)的等式，利用如圖所示的拼圖分解因式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法等．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整式；運(yùn)算能力．【答案】（a+2b）（a+b）．【分析】根據(jù)圖形面積的兩種表示方法求解即可．【解答】解：∵矩形的長(zhǎng)為a+2b，寬為a+b，∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．故答案為：（a+2b）（a+b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的知識(shí)，熟練掌握?qǐng)D形的面積的求法和利用拼圖分解因式是解題關(guān)鍵．16．（2025?祁陽(yáng)市校級(jí)一模）在將x2+mx+n因式分解時(shí)，小剛看錯(cuò)了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看錯(cuò)了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正確分解為（x﹣3）（x+2）．【考點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法等．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整式；運(yùn)算能力．【答案】（x﹣3）（x+2）．【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則先算乘法，根據(jù)因式分解與乘法的關(guān)系及小剛、小明沒(méi)有看錯(cuò)的值確定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，∵小剛看錯(cuò)了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，∵小芳看錯(cuò)了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案為：（x﹣3）（x+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根據(jù)乘法與因式分解的關(guān)系確定m、n的值是解決本題的關(guān)鍵．17．（2025?單縣三模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，則代數(shù)式m2n﹣mn2的值是﹣2．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．【解答】解：∵mn＝2，m﹣n＝﹣1，∴m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）＝2×（﹣1）＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值．熟練掌握因式分解的方法是關(guān)鍵．18．（2025?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用提公因式法分解即可．【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解﹣提公因式法是解題的關(guān)鍵．19．（2025?海淀區(qū)校級(jí)模擬）因式分解m3﹣4m2n+4mn2結(jié)果是m（m﹣2n）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；因式分解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝m（m2﹣4mn+4n2）＝m（m﹣2n）2，故答案為：m（m﹣2n）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．20．（2025?韶關(guān)模擬）已知a、b、c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b+c＝3．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】直接利用已知結(jié)合完全平方公式將原式變形求出答案．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝7﹣1﹣17，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2﹣11＝﹣11，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b+c＝3+1﹣1＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用以及偶次方的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式．（1）求整式M，P；（2）將整式P因式分解．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法；整式的加減．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）M＝5x﹣20，P＝4x2﹣16；（2）4（x+2）（x﹣2）．【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x＝5x﹣20；P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4＝4x2﹣16；（2）P＝4x2﹣16＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則及因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．22．（2025?湖北模擬）教材內(nèi)容一七年級(jí)下《不等式與不等式組》中的“閱讀與思考”——用求差法比較大?。畠蓚€(gè)數(shù)量的大小可以通過(guò)它們的差來(lái)判斷，如果兩個(gè)數(shù)a，b比較大小，那么當(dāng)a＞b時(shí)，一定有a﹣b＞0；當(dāng)a＝b時(shí)，一定有a﹣b＝0；當(dāng)a＜b時(shí)，一定有a﹣b＜0；反過(guò)來(lái)也對(duì)，即當(dāng)a﹣b＞0時(shí)，一定有a＞b；當(dāng)a﹣b＝0時(shí)，一定有a＝b；當(dāng)a﹣b＜0時(shí)，一定有a＜b．教材內(nèi)容二八年級(jí)上《整式的乘法與因式分解》中的“完全平方式”節(jié)選你能根據(jù)圖2和圖3中圖形的面積說(shuō)明完全平方公式嗎？閱讀以上材料完成下列任務(wù)：?jiǎn)栴}探究對(duì)于圖2我們進(jìn)一步的探討．（1）S1+S2＝a2+b2；S3+S4＝2ab；（2）比較S1+S2與S3+S4的大小，并說(shuō)明理由；拓展運(yùn)用（3）應(yīng)用以上結(jié)果，求x+1【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；完全平方公式的幾何背景；完全平方式．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）能，a2+b2，2ab（2）S1+S2≥S3+S4（3）2．【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積加上2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，得到完全平方公式，直接利用面積公式求出S1+S2，S3+S4即可；（2）作差法比較S1+S2與S3+S4的大小即可；（3）利用（2）的結(jié)論，利用x+1【解答】解：（1）能，圖2：大正方形的面積＝（a+b）2＝a2+b2+2ab；圖3：a2＝（a﹣b）2+b2+2（a﹣b）b，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；由圖可知：S1故答案為：a2+b2；2ab；（2）由（1）知：S1∴S1∴S1+S2≥S3+S4；（3）由條件可知x+1∴x+1x(x【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式與幾何圖形的面積，分式的求值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．23．（2025?豐南區(qū)校級(jí)三模）“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行因式分解如下．甲：a2﹣2ab﹣4+b2＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成兩組）＝（a﹣b）2﹣22（直接運(yùn)用公式）＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．乙：a2﹣ab﹣a+b＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成兩組）＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）＝（a﹣b）（a﹣1）．請(qǐng)?jiān)谒麄兘夥ǖ膯l(fā)下解答下列各題．（1）已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，且滿足ab﹣ac+b2﹣bc＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．（2）已知a+b=10+2，a-b=2-2，求多項(xiàng)式a2﹣b2﹣8a+12b【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；二次根式的化簡(jiǎn)求值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）對(duì)ab﹣ac+b2﹣bc＝0因式分解得（b﹣c）（a+b）＝0，由此得到b＝c，則△ABC是等腰三角形；（2）先利用完全平方公式和平方差公式對(duì)多項(xiàng)式a2﹣b2﹣8a+12b﹣20進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值即可．【解答】解：（1）∵ab﹣ac+b2﹣bc＝0，∴（b﹣c）（a+b）＝0，∵a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，∴a+b＞0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形；（2）a2﹣b2﹣8a+12b﹣20＝a2﹣8a+16﹣（b2﹣12b+36）＝（a﹣4）2﹣（b﹣6）2＝（a﹣4+b﹣6）（a﹣4﹣b+6）＝（a+b﹣10）（a﹣b+2）∵已知a+b=10+2，a-b=∴原式＝（a+b﹣10）（a﹣b+2）=2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解的應(yīng)用和二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24．（2025?亭湖區(qū)校級(jí)三模）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)m、n，它們的乘積q（q＝mn）與較大數(shù)的和一定為較大數(shù)的平方．（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)m＝4，n＝5，則q+n＝4×5+5＝25＝52（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)m＜n，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．∴q+n一定是正數(shù)n的平方數(shù)．【類(lèi)比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方．請(qǐng)你舉例驗(yàn)證及推理證明；【深入思考】若p=q+2n+q-2m（m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0＜m＜n，q＝mn【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；不等式的性質(zhì)；實(shí)數(shù)大小比較．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】類(lèi)比猜想：參考發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的舉例和推理過(guò)程計(jì)算即可；深入思考：由m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0＜m＜n，可得n＝m+2，q＝mn＝m2+2m，然后代入計(jì)算即可．【解答】解：類(lèi)比猜想：（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)m＝4，n＝5，則q﹣m＝4×5﹣4＝16＝42．（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)m＜n，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q﹣m＝mn﹣m＝m（n﹣1）＝m2．∴q﹣m一定是正數(shù)m的平方數(shù)．深入思考：∵m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0＜m＜n，∴n＝m+2，∴q＝mn＝m2+2m，∴p=m∴p一定是偶數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式化簡(jiǎn)，理解題意、依照順序逐次解答是解題的關(guān)鍵．25．（2025?赤峰模擬）中國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化．我們學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的乘法可以利用圖形的面積進(jìn)行解釋?zhuān)鐖D1，現(xiàn)在有三種類(lèi)型的紙片，1號(hào)紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，2號(hào)紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，3號(hào)紙片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片．（1）由邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形拼成如圖2所示的大正方形，可知大正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），即可求得大正方形的面積．由此可得到一個(gè)乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如圖3，根據(jù)所拼圖形的面積，可以把多項(xiàng)式a2+4ab+3b2分解因式，其結(jié)果是（a+b）（a+3b）；（3）用一張1號(hào)紙片，一張2號(hào)紙片，一張3號(hào)紙片可以拼接成如圖4所示的圖形．若陰影部分的面積為32，3號(hào)紙片的面積為24，求a，b的值．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；完全平方公式的幾何背景．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）（a+b）（a+3b）；（3）a＝8；b＝3．【分析】（1）根據(jù)面積相等的兩次計(jì)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)多項(xiàng)式a2+4ab+3b2的幾何背景是邊長(zhǎng)為（a+b），（a+3b）的長(zhǎng)方形的面積解答；（3）根據(jù)陰影面積＝總面積﹣兩個(gè)三角形的面積求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)圖形可知（a+b）2＝a2+2ab+b2；故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）根據(jù)所拼圖形的面積把多項(xiàng)式a2+4ab+3b2分解因式，其結(jié)果是（a+b）（a+3b），故答案為：（a+b）（a+3b）；（3）圖形的總面積為：a2+ab+b2，三角形面積分別為：12∴S陰影=a∴a＝8（負(fù)數(shù)舍去），∵ab＝24，∴b＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查此題考查了完全平方公式的幾何背景，弄清題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．2．實(shí)數(shù)大小比較實(shí)數(shù)大小比較（1）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小．正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小．3．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡(jiǎn)，要先化簡(jiǎn)再求值．題型簡(jiǎn)單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡(jiǎn)，所給代數(shù)式化簡(jiǎn)；②已知條件化簡(jiǎn)，所給代數(shù)式不化簡(jiǎn)；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡(jiǎn)．4．整式的加減（1）幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)．（2）整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類(lèi)項(xiàng)．（3）整式加減的應(yīng)用：①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問(wèn)題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問(wèn)題1．整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)．一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)．2．去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“﹣”時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．5．完全平方公式的幾何背景（1）運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋?zhuān)?）常見(jiàn)驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)寬分別是a，b的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）6．完全平方式完全平方式的定義：對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紸，如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B，使A＝B2，則稱(chēng)A是完全平方式．a(chǎn)2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個(gè)整式的和括號(hào)外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個(gè)整式的差括號(hào)外的平方．算時(shí)有一個(gè)口訣“首末兩項(xiàng)算平方，首末項(xiàng)乘積的2倍中間放，符號(hào)隨中央．（就是把兩項(xiàng)的乘方分別算出來(lái)，再算出兩項(xiàng)的乘積，再乘以2，然后把這個(gè)數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個(gè)數(shù)以前一個(gè)數(shù)間的符號(hào)隨原式中間的符號(hào)，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號(hào)都用+）”7．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式．例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)．8．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“﹣”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同．9．因式分解-運(yùn)用公式法1、如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b