2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day9）一、選擇題（每題5分，共60分）設(shè)a>1，P=a2-4a+5，Q=-a2+4a-2，則P與Q的大小關(guān)系為（）A.P>QB.P=QC.P<QD.無法確定不等式x2-5x+6<0的解集為（）A.{x|x<2或x>3}B.{x|2<x<3}C.{x|x<1或x>6}D.{x|1<x<6}若不等式ax2+bx+1>0的解集為{x|-1<x<2}，則a+b的值為（）A.-1B.1C.0D.2關(guān)于x的不等式x2+ax+1>0恒成立，則a的取值范圍是（）A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=3x+4/x的最小值為（）A.4√3B.2√3C.6D.8已知x>2，則函數(shù)y=x+1/(x-2)的最小值為（）A.2B.3C.4D.5已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為（）A.3+2√2B.3-2√2C.4√2D.4若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2，則3^a+3^b的最小值為（）A.6B.4C.2√3D.2已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x2+y2/2=1，則x√(1+y2)的最大值為（）A.3/2B.3√2/4C.√2D.1某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時(shí)內(nèi)供水總量為120√(6t)噸(0≤t≤24)。從供水開始到第幾小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少（）A.4小時(shí)B.5小時(shí)C.6小時(shí)D.7小時(shí)若不等式x2-2x+m<0對?x∈[1,2]恒成立，則m的取值范圍是（）A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(1,+∞)已知x,y>0，且1/x+9/y=1，則x+y的最小值為（）A.12B.16C.20D.24二、填空題（每題5分，共30分）不等式(x-1)/(x+2)≤0的解集為________。函數(shù)y=x2+5/√(x2+4)的最小值為________。已知a,b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，則1/ab的最小值為________。若對任意x>0，x/(x2+3x+1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________。設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，且xy-(x+y)=1，則x+y的最小值為________。某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=________噸。三、解答題（共60分）（10分）解不等式：(x+1)/(x-2)≥1。（12分）已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，求證：(1)a+b+c≥√(ab)+√(bc)+√(ca)(2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc（14分）已知關(guān)于x的不等式mx2-mx-1<0。(1)若對于一切實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；(2)若對于x∈[1,3]不等式恒成立，求m的取值范圍。（12分）某商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件。(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，公司決定對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元。公司擬投入1/6(x2-600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x/5萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用。試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？此時(shí)該商品每件定價(jià)多少元？（12分）已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1。(1)求證：1/a+1/b+1/c≥9；(2)求證：a2+b2+c2≥1/3；(3)若a,b,c滿足abc=1/64，求a+b+c的最小值。參考答案與解析一、選擇題A解析：P-Q=(a2-4a+5)-(-a2+4a-2)=2a2-8a+7=2(a-2)2-1。因?yàn)閍>1，當(dāng)a=2時(shí)，P-Q=-1<0，即P<Q；當(dāng)a=3時(shí)，P-Q=2(1)2-1=1>0，即P>Q。故無法確定，選D。（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為D）B解析：x2-5x+6<0?(x-2)(x-3)<0，解得2<x<3，故選B。A解析：由題意知-1和2是方程ax2+bx+1=0的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得：-1+2=-b/a，-1×2=1/a，解得a=-1/2，b=1/2，所以a+b=0，故選C。（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為C）A解析：對于二次函數(shù)y=x2+ax+1，要使其恒大于0，需判別式Δ=a2-4<0，解得-2<a<2，故選A。A解析：由基本不等式得y=3x+4/x≥2√(3x·4/x)=2√12=4√3，當(dāng)且僅當(dāng)3x=4/x，即x=2/√3時(shí)取等號，故選A。C解析：y=x+1/(x-2)=(x-2)+1/(x-2)+2≥2√[(x-2)·1/(x-2)]+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=1/(x-2)，即x=3時(shí)取等號，故選C。A解析：1/x+1/y=(1/x+1/y)(x+2y)=1+2y/x+x/y+2=3+2y/x+x/y≥3+2√(2y/x·x/y)=3+2√2，當(dāng)且僅當(dāng)2y/x=x/y，即x=√2y時(shí)取等號，故選A。A解析：3^a+3^b≥2√(3^a·3^b)=2√(3^(a+b))=2√(3^2)=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號，故選A。B解析：x√(1+y2)=x√(2(1/2+y2/2))=√2·x√(1/2+y2/2)≤√2·[x2+(1/2+y2/2)]/2=√2·[x2+y2/2+1/2]/2=√2·[1+1/2]/2=3√2/4，當(dāng)且僅當(dāng)x=√(1/2+y2/2)時(shí)取等號，故選B。C解析：設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的水量為y噸，則y=400+60t-120√(6t)。令x=√(6t)，則t=x2/6，所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40。當(dāng)x=6，即t=6時(shí)，y取得最小值，故選C。A解析：令f(x)=x2-2x+m，要使f(x)<0在[1,2]上恒成立，只需f(1)<0且f(2)<0，即1-2+m<0且4-4+m<0，解得m<0，故選A。B解析：x+y=(x+y)(1/x+9/y)=1+9x/y+y/x+9=10+9x/y+y/x≥10+2√(9x/y·y/x)=16，當(dāng)且僅當(dāng)9x/y=y/x，即y=3x時(shí)取等號，此時(shí)x=4，y=12，故選B。二、填空題(-2,1]解析：(x-1)/(x+2)≤0等價(jià)于(x-1)(x+2)≤0且x+2≠0，解得-2<x≤1，故解集為(-2,1]。5/2解析：y=x2+5/√(x2+4)=x2+4+1/√(x2+4)=√(x2+4)+1/√(x2+4)。令t=√(x2+4)≥2，則y=t+1/t，在t≥2時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=2時(shí)，y取得最小值5/2。1/18解析：由2b+ab+a=30得a=30-2b/b+1=2(15-b)/b+1。令t=b+1，則b=t-1，a=2(16-t)/t=32/t-2。ab=(32/t-2)(t-1)=34-2(t+16/t)≤34-2×8=18，當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)取等號，所以1/ab≥1/18，即最小值為1/18。[1/5,+∞)解析：x/(x2+3x+1)=1/(x+3+1/x)≤1/(3+2√(x·1/x))=1/5，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，所以a≥1/5。2+2√2解析：由xy-(x+y)=1得(x-1)(y-1)=2。令a=x-1，b=y-1，則ab=2且a,b>0。x+y=a+b+2≥2√(ab)+2=2√2+2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=√2時(shí)取等號。20解析：一年購買次數(shù)為400/x次，總運(yùn)費(fèi)為4×400/x=1600/x萬元，總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元?？傎M(fèi)用y=1600/x+4x≥2√(1600/x·4x)=160，當(dāng)且僅當(dāng)1600/x=4x，即x=20時(shí)取等號。三、解答題解：(x+1)/(x-2)≥1?(x+1)/(x-2)-1≥0?(x+1-x+2)/(x-2)≥0?3/(x-2)≥0，解得x>2，故解集為(2,+∞)。證明：(1)因?yàn)閍,b,c均為正實(shí)數(shù)，所以a+b≥2√(ab)，b+c≥2√(bc)，c+a≥2√(ca)，三式相加得2(a+b+c)≥2(√(ab)+√(bc)+√(ca))，即a+b+c≥√(ab)+√(bc)+√(ca)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號。(2)(a+b)(b+c)(c+a)≥2√(ab)·2√(bc)·2√(ca)=8abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號。解：(1)當(dāng)m=0時(shí)，-1<0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，要使mx2-mx-1<0恒成立，需m<0且Δ=m2+4m<0，解得-4<m<0。綜上，m的取值范圍是(-4,0]。(2)當(dāng)m=0時(shí)，-1<0恒成立；當(dāng)m>0時(shí)，f(x)=mx2-mx-1開口向上，對稱軸為x=1/2，在[1,3]上單調(diào)遞增，只需f(3)<0，即9m-3m-1<0，解得m<1/6；當(dāng)m<0時(shí)，f(x)開口向下，在[1,3]上單調(diào)遞減，只需f(1)<0，即m-m-1<0，恒成立。綜上，m的取值范圍是(-∞,1/6)。解：(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得t(8-0.2(t-25))≥25×8，整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40，所以該商品每件定價(jià)最多為40元。(2)依題意得ax≥25×8+50+1/6(x2-600)+x/5，即ax≥200+50+1/6x2-100+x/5=1/6x2+x/5+150，所以a≥1/6x+150/x+1/5。由基本不等式得1/6x+150/x≥2√(1/6x·150/x)=2√25=10，當(dāng)且僅當(dāng)1/6x=150/x，即x=30時(shí)取等號，所以a≥10+1/5=10.2，即銷售量至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件，此時(shí)定價(jià)為30元