2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)審美素養(yǎng)教育試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，尤其推崇整數(shù)的和諧美。在下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.正三角形B.正五邊形C.正方形D.扇形分形幾何是20世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大發(fā)現(xiàn)，其自相似性展現(xiàn)出無窮嵌套的美感?？坪昭┗ㄇ€是典型的分形圖形，它是由等邊三角形通過無限次迭代生成的。若初始等邊三角形邊長為1，則第3次迭代后圖形的周長為（）A.3×(4/3)3B.3×(3/4)3C.3×(1/3)3D.3×(2/3)3黃金分割比φ=(√5-1)/2≈0.618，被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域。已知線段AB=10，點C為AB的黃金分割點（AC<CB），則AC的長度為（）A.5(√5-1)B.5(3-√5)C.10(√5-1)D.10(3-√5)函數(shù)圖像的對稱性是數(shù)學(xué)美的重要體現(xiàn)。下列函數(shù)中，圖像關(guān)于直線x=1對稱的是（）A.f(x)=x2-2x+3B.f(x)=|x-1|+|x+1|C.f(x)=2?+2??D.f(x)=log?(x+1)太極圖是中國傳統(tǒng)文化中體現(xiàn)陰陽平衡的經(jīng)典圖形，其形狀可近似看作兩個相切的半圓。若太極圖的直徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A.π/4B.π/2C.πD.2π數(shù)學(xué)公式的簡潔美在三角函數(shù)中尤為突出。已知sinα+cosα=1/5，α∈(0,π)，則sin2α的值為（）A.12/25B.-12/25C.24/25D.-24/25阿波羅尼斯圓是平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)（不為1）的點的軌跡，具有完美的對稱性。已知平面內(nèi)兩點A(-1,0)，B(2,0)，動點P滿足PA/PB=1/2，則點P的軌跡方程為（）A.x2+y2+4x=0B.x2+y2-4x=0C.x2+y2+2x=0D.x2+y2-2x=0楊輝三角（帕斯卡三角）展現(xiàn)了二項式系數(shù)的對稱性和規(guī)律性。根據(jù)楊輝三角的規(guī)律，(a+b)?展開式中系數(shù)最大的項是（）A.第4項B.第5項C.第6項D.第4項和第5項晶體結(jié)構(gòu)中原子的排列具有嚴(yán)格的周期性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。某晶體的基本結(jié)構(gòu)單元為正八面體（八個等邊三角形構(gòu)成的多面體），則該正八面體的頂點數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12斐波那契數(shù)列（1,1,2,3,5,8,...）因蘊(yùn)含自然生長規(guī)律而被譽(yù)為“上帝的指紋”。若數(shù)列{a?}為斐波那契數(shù)列，即a?=1,a?=1,a???=a???+a?，則a??的值為（）A.34B.55C.89D.144二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“弦圖”（如圖1），由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形。若直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，則弦圖中大正方形的面積為________。函數(shù)f(x)=x+4/x(x>0)的圖像在x=處取得最低點，此時函數(shù)值為。（本小題第一空2分，第二空3分）謝爾賓斯基三角形是一種經(jīng)典的分形圖形，將一個等邊三角形挖去中心的小等邊三角形得到第一個圖形，再對剩余的小三角形重復(fù)上述操作。若初始三角形面積為1，則第n次操作后圖形的面積為________。在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體的四個頂點坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1,0,0)，(1/2,√3/2,0)，(1/2,√3/6,h)，則該正四面體的高h(yuǎn)=，體積為。（本小題第一空2分，第二空3分）數(shù)學(xué)中的對稱多項式具有輪換不變的美感。已知x+y+z=0，則x3+y3+z3=________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分14分）黃金矩形是指寬與長的比值為黃金分割比φ=(√5-1)/2的矩形，具有獨特的視覺美感。（1）證明：將黃金矩形截去一個以寬為邊長的正方形后，剩余部分仍是黃金矩形；（2）若某黃金矩形的面積為20，求其長和寬。（本小題滿分15分）函數(shù)的周期性是自然界循環(huán)規(guī)律的數(shù)學(xué)抽象，如潮汐漲落、晝夜交替等都可近似用周期函數(shù)描述。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=-f(x)。（1）證明：函數(shù)f(x)的周期為4；（2）若當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x2，求f(2025)的值及x∈[1,3]時的函數(shù)解析式。（本小題滿分15分）在立體幾何中，正多面體因其完美的對稱性而備受關(guān)注。已知正四面體ABCD的棱長為a。（1）求正四面體的高；（2）求其外接球的表面積；（3）若在正四面體的每個頂點放置一個點電荷，電荷量均為q，根據(jù)庫侖定律，頂點A所受的靜電力大小與各電荷間距離的平方成反比。試寫出頂點A所受靜電力大小的表達(dá)式（比例系數(shù)為k，只需列出式子，無需計算結(jié)果）。（本小題滿分16分）分形藝術(shù)是數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合的典范，科赫曲線的生成過程如下：第0階段：一條長度為L的線段；第1階段：將線段三等分，以中間一段為底邊向外作等邊三角形，然后去掉底邊；第2階段：對每條線段重復(fù)第1階段的操作；……如此無限迭代下去，最終形成科赫曲線。（1）計算第n階段圖形的總長度L?；（2）證明：當(dāng)n→∞時，圖形的面積趨近于一個常數(shù)（提示：第1階段增加的面積為√3L2/36）；（3）簡述分形圖形的兩個主要特征。（本小題滿分15分）數(shù)學(xué)在音樂理論中有著廣泛應(yīng)用，音高由聲波的頻率決定，頻率之比為簡單整數(shù)比的音程聽起來更和諧。例如：八度音程：頻率比2:1純五度：頻率比3:2純四度：頻率比4:3已知某音階中C音的頻率為261.63Hz（記為f?），其上方第n個半音的頻率為f?=f?×2?/12。（1）求C音上方純五度（7個半音）的G音頻率（精確到0.01Hz）；（2）證明：八度音程的頻率比為2:1；（3）某和弦由C、E、G三個音組成，其頻率比約為4:5:6，這三個音的頻率分別對應(yīng)上方0、4、7個半音。驗證該頻率比是否接近實際頻率比，并分析這種簡單整數(shù)比為何能產(chǎn)生和諧的聽覺效果。四、探究題（本大題共1小題，共15分）雪花曲線、海岸線長度、股票價格波動等現(xiàn)象都表現(xiàn)出分形特征。（1）收集生活中的三個分形實例，并簡述其自相似性；（2）用坐標(biāo)紙繪制一個簡單的分形圖形（要求至少完成3次迭代），并描述其生成規(guī)則；（3）結(jié)合數(shù)學(xué)史，說明分形幾何的創(chuàng)立對傳統(tǒng)幾何學(xué)的突破。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實際考試中應(yīng)附詳細(xì)解析）說明：本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其