第四章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（2025·湖南·二模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域及分式函數(shù)的定義域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可.【詳解】對于集合A：由題意，得，所以，對于集合B，，則，所以，因此.故選：A2．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若點都在同一個對數(shù)函數(shù)的圖象上，則t等于（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)點求得對數(shù)函數(shù)為，再代入點運算即可.【詳解】設對數(shù)函數(shù)為（且），代入點可得，則，解得，所以，代入點可得，則，可得，所以.故選：C.3．已知函數(shù)，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得，即可求得目標式的結果.【詳解】，則，；.故選：D.4．（24-25高一上·湖南岳陽·期末）若如圖是函數(shù)（且，）的大致圖象，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象確定的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象知，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象是由函數(shù)向上平大于零小于個單位，所以函數(shù)的大致圖象是C選項.故選：C.5．（2025·江西新余·模擬預測）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出在區(qū)間上的值域，要使的值域為R，只需在區(qū)間上的值需取遍區(qū)間內(nèi)所有值，列出關于的不等式組可得答案.【詳解】由題知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上的值域為，時，，其對稱軸為，要使的值域為R，則在區(qū)間上的值需取遍區(qū)間內(nèi)所有值，，解得.故選：C．6．設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的轉化得，進一步得，同理得，即可比較大小，，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性得，進而得，即，得，即，即可求解.【詳解】由有，因為，所以，即，由有，所以，令，所以，由，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以.7．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的定義域為B．的值域是C．是偶函數(shù)D．的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可判斷C；根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，要使函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)定義域為，故A錯誤；對于B，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)的值域是，故B錯誤；對于C，因為函數(shù)定義域不關于原點對稱，故函數(shù)不具有奇偶性，故C錯誤；對于D，令，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D8．（24-25高一下·湖南婁底·階段練習）設，命題的定義域是R，命題的值域是R，設命題中至少有一個是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別分析命題和命題成立時的取值范圍，再根據(jù)命題，中至少有一個是真命題，求出的取值范圍.【詳解】命題：，的定義域是，即對于任意，恒成立.當時，不恒成立.當時，二次函數(shù)要恒大于，則需滿足.解不等式，可得.所以當命題為真時，.命題：，的值域是，這意味著能取遍所有大于的值.當時，能取遍所有大于的值.當時，二次函數(shù)的圖象開口向上，要使其能取遍所有大于的值，則需，解不等式可得，即.當時，二次函數(shù)的圖象開口向下，不能取遍所有大于的值，所以當命題為真時，.命題，中至少有一個是真命題的反面是，都為假命題.當為假命題時，；當為假命題時，或.所以，都為假命題時，.那么命題，中至少有一個是真命題時，，即.故選：D.二?選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)9．已知函數(shù)，則下列關于這三個函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C．當時，增長速度一直快于D．當時，增長速度有時快于【答案】BD【分析】由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)的圖象特點逐一分析即可．【詳解】對于，從負無窮開始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上，故隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于，A錯誤，BD正確；對于，由于的增長速度是不變的，當時，大于，當時，大于，再也追不上，其中增長速度有時快于，C錯誤．故選：BD．10．（24-25高一上·甘肅平?jīng)觥て谀┫铝羞x項正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為B．已知，，則C．若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是D．函數(shù)的值域是【答案】ABD【分析】由復合函數(shù)的定義域可得A正確；換元法令代入函數(shù)表達式可得B正確；由指數(shù)函數(shù)的值域結合一元二次不等式恒成立可得C錯誤；由對數(shù)函數(shù)的值域可得D正確.【詳解】對A，要使函數(shù)有意義，需使解得或．故的定義域為，故A正確；對B，令，則，則可化為，因為，所以，解得，故B正確；對C，由題意知恒成立．∴恒成立，∴，∴，故C錯誤；對D，因為，則，，即函數(shù)的值域是，故D正確；故選：ABD11．（24-25高一上·廣東汕頭·期末）已知正數(shù)、、滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】把指數(shù)式轉換成相應的對數(shù)式后，運用對數(shù)運算法則及換底公式及基本不等式即可.【詳解】令，可得，，，，故A正確；，故B正確；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正確；，故D正確；故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)不為偶函數(shù)，則實數(shù)的值是【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可求得，再結合題意分別驗證即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，所以可得，則，即，化簡整理得，所以得，即，當時，為常函數(shù)，此時既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故不符合題意，當時，，由對數(shù)函數(shù)的定義域得且，解得，關于原點對稱，經(jīng)檢驗符合題意.綜上所述：故實數(shù)的值為.故答案為：.13．（24-25高一下·貴州六盤水·期末）若函數(shù)在上的最大值是最小值的2倍，則.【答案】5【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求得，再結合對數(shù)運算即可求解.【詳解】因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，最大值為，因為最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍），因此，則.故答案為：5.14．（24-25高二下·江蘇無錫·階段練習）函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為，函數(shù)，若對恒成立，則m的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)列方程，解方程求得的值，并檢驗；根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性求得其最大值，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，求得在區(qū)間上的最小值，由此求得關于m的不等式，進而求得m的取值范圍.【詳解】因為是R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，此時，此時，為奇函數(shù)，符合題意；又奇函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，則在上的最大值為，又，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則的最小值為和中的較小的一個.因為，，所以.因為對恒成立，所以.解得.故的取值范圍為.三、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（24-25高二下·上海浦東新·期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求方程的解；(2)若，求不等式的解．【分析】（1）首先根據(jù)求，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解方程；（2）首先確定函數(shù)的單調(diào)性，得，再結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列式求解.【詳解】（1），因為，所以，因為，所以，所以，即，所以，所以方程的解為；（2）因為，即，因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，則不等式，即，所以，解得，所以不等式的解為．16．（24-25高一上·天津·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)若的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；(3)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）代入，由，利用對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性求值域；（2）將條件轉化為在上恒成立，利用計算即可；（3）根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性進行判斷計算.【詳解】（1）當時，，令，則,對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的值域為.（2）若的定義域為，則在上恒成立，所以.所以實數(shù)的取值范圍是.（3）二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則.所以實數(shù)的取值范圍是.17．（24-25高一上·山東濰坊·期末）設函數(shù).(1)當時，證明：為偶函數(shù)；(2)當時，解不等式；(3)若，且關于的方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函數(shù)定義推理得證.（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結合定義域列出不等式組即可求解.（3）分離常數(shù)后利用復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）當時，函數(shù)，則，函數(shù)定義域為，，所以函數(shù)是偶函數(shù).（2）當時，，不等式，則，由得或，由得，因此，所以原不等式的解集為.（3）當時，，方程，即，函數(shù)，在上都單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，；當時，，所以實數(shù)的取值范圍是．18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．(1)當時，求的最小值；(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．(3)設，若對于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范圍．【分析】（1）當時，分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得函數(shù)的最小值；（2）利用復合函數(shù)的單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，且，可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；（3）由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，參變量分離可得出，利用基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，對任意的，恒成立，此時，函數(shù)的定義域為，因為內(nèi)層函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，外層函數(shù)為增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故.（2）令，因為外層函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，且，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.（3）對于任意，存在，使得不等式成立，則對任意的恒成立，因為，當時，，故當時，即當時，函數(shù)取最小值，即，所以，對任意的恒成立，由可得，參變量分離得，因為，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時等號成立，則，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.19．已知函數(shù)的圖象過點．(1)求實數(shù)的值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為，若存在請求出的值；若不存在，請說明理由.【分析】（1）利用給定條件建立方程，求解參數(shù)即可.（2）利用分離參數(shù)法結合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍即可.（3）利用給定條件化簡原式，結合換元法轉化為二次函數(shù)最值問題，再分類討論求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以，解得，即實數(shù)的值為.（2）由上問得，因為不等式恒成立，所以恒成立，化簡得恒成立，且令，故即可，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞