第二單元平面向量基本定理及坐標表示【一周一測能力提升專項訓練】單項選擇題1.已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),D為BC邊的中點,則AD=()A.(-3,2) B.(-1,3)C.(-3,5) D.(-2,4)2.設a=(1,0),b=(0,1)為平面向量的一個基底,則不能作為基底的是()A.a+b和a B.4a+2b和aC.2a-b和a-2b D.a-2b和4b-2a3.已知在平面直角坐標系中,點A(0,0),B(4,0),C(3,2).若(AC+λAB)⊥AC,則λ=()A.-1 B.-512 C.-1312 4.已知平面向量a,b的夾角為π6,且|a|=2,b=(-1,3),則a在b方向上的投影向量為(A.(32,12) B.(-32,12) C.(32,-32) 5.在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E為CD上一點,若DE=12AB,BF=13FE,AF=λAB+μA.98 B.54 C.58 6.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m為實數(shù),當兩向量夾角在(0,π12)變動時,m的取值范圍是(A.(0,1) B.(33,3) C.(1,3) D.(33,1)∪(1,7.在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰AD上的動點,則|2PB-PC|的最小值為()A.2 B.332 C.352 8.如圖,在△ABC中,已知AB=4,AC=3,∠BAC=π3,點M是邊AB的中點,且AC=3AN,直線CM與BN相交于點P,則AP·BC=()A.-2 B.-3 C.-175 D.-多項選擇題9.已知向量m,n滿足:m+n=(1,1),m-n=(3,3),則()A.(m-n)⊥n B.(m-n)∥nC.|m|=2|n| D.<m,n>=180°10.已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ),則下列說法正確的是()A.若a⊥b,則tanθ=-2B.若θ=π2,則向量a+b與a-2b的夾角為C.(63,33)是與D.存在θ,使得|a+b|=|a|+|b|11.【探索新定義】設A1,A2,A3,A4是平面直角坐標系中相異的四點,若A1A3=λA1A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,則稱A3,A4調(diào)和分割A1,A2.已知平面上的點C,A.A,B,C,D四點共線B.D可能是線段AB的中點C.C,D可能同時在線段AB上D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上填空題12.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-4)的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍為.

13.【開放創(chuàng)新】在平面直角坐標系中,已知A(-1-a,0),B(-1+a,0),C(-1,2a-3),D(-1,3-2a),a∈R,若點A,B,C,D構成一個正方形,則a的值可以為.(寫出符合條件的一個值即可)

14.【傳統(tǒng)文化】《易經(jīng)》是一部積累筮占之辭的辯證法哲學書,被譽為“諸經(jīng)之首,大道之源”,如圖所示是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為22,P是GF的中點,則AP·AB=;點Q是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點,則(GQ-GA)·AB的最大值為.(本題第一空2分,第二空3分)

解答題15.(13分)已知點O為坐標原點,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB.(1)求使點M在第二象限或第三象限的條件;(2)求證:當t1=1時,不論t2為何實數(shù),A,B,M三點共線.16.(15分)【模塊綜合】已知向量a=(12,sinθ),b=(-12,cosθ(1)若0<θ<π,則非零向量a+b與a-b可能垂直嗎?請說明理由;(2)若2a+b與2a-b共線,求3?cos2θsin17.(15分)如圖,在Rt△ABC中,角A為直角,點M是AC邊的中點,點P滿足AP=23AB,點Q是BC邊上的動點(1)若點Q是BC邊上靠近C的三等分點,設PQ=λAB+μAC,求λ+μ的值;(2)若AB=3,AC=2,求MQ·PQ的最小值.18.(17分)【探索創(chuàng)新】如圖,扇形BAC的半徑為3,弧長為2π.(1)求扇形BAC的面積;(2)若(1-m)BD=mDC(0<m<1),且AD=13AC+nAB,求m,(3)在弧BC上是否存在點P(不與B,C重合),使得AP=(1-λ)AB+2λAC,若存在,求λ的值;若不存在,請說出理由.19.(17分)我們把由平面內(nèi)夾角成π3的兩條數(shù)軸Ox,Oy構成的坐標系稱為“廣義坐標系”.如圖1,e1,e2分別為Ox,Oy正方向上的單位向量.若向量OP=xe1+ye2,則把實數(shù)對(x,y)叫做向量OP的“廣義坐標”,記OP=(x,y).已知向量a,b的“廣義坐標”分別為(1,2),(-2,λ)(1)若a∥b,求實數(shù)λ的值;(2)若λ=4,在“廣義坐標系”中求a與b的夾角的余弦值;(3)以O為原點,建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy',若向量p在平面直角坐標系中的坐標為(-3,3),求向量p的“廣義坐標”.參考答案1.B∵D為BC邊的中點,A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),∴D(-2,4),AD=(-1,3).2.D選項A:因為a+b=(1,1),a=(1,0),所以a+b和a不共線,可作為基底,排除A;選項B:因為4a+2b=(4,2),a=(1,0),所以4a+2b和a不共線,可作為基底,排除B;選項C:因為2a-b=(2,-1),a-2b=(1,-2),21≠?1?2,所以2a-b和a-3.C由題設知AC=(3,2),AB=(4,0),AC+λAB=(3+4λ,2),因為(AC+λAB)⊥AC,所以(AC+λAB)·AC=0,得3(3+4λ)+2×2=0,解得λ=-13124.D因為b=(-1,3),所以|b|=(?1)2+(3)2=2,又向量a,b的夾角為π6,且|a|=2,所以a·b=|a|·|b|cosπ6=2×2×32=23,所以a在b方向上的投影向量為a·b|b5.C如圖,由題意知,AF=AB+BF=AB+14BE,又BE=BA+AD+DE=-AB+AD+12AB=AD-12AB,則AF=AB+14(AD-12AB)=78AB+6.D因為<a,b>的范圍為(0,π12),所以2+64<cos<a,b><1(cosπ12=cos(π3?π4)=cosπ3cosπ4+sinπ37.B平面向量線性運算的坐標表示+向量模的坐標表示思路導引以A為原點,射線AB為x軸正半軸建立平面直角坐標系,利用坐標運算表示2PB-PC,進而得|2PB-PC|,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結果.

如圖,過點D作DE⊥AB于點E,過點C作CF⊥AB于點F,∵AB=2,BC=CD=1,∴AE=12,∴cos∠EAD=AEAD=12,故∠EAD=60°.以A為原點,射線AB為x軸正半軸建立平面直角坐標系,則B(2,0),C(32,32),設P(a,3a),其中0≤a≤12,則PB=(2-a,-3a),PC=(32-a,32-3a),∴2PB-PC=(52-a,-32-3a),∴|2PB-PC|=4a2?2a+7=4(8.C因為B,P,N三點共線,且AC=3AN,點M是邊AB的中點,所以存在實數(shù)x滿足AP=xAB+(1-x)AN=xAB+1?x3AC=2xAM+1?x3AC,又因為M,P,C三點共線,所以2x+1?x3=1?x=25,所以AP=25AB+15AC.而BC=AC-AB,且AB·AC=|AB||AC|cosπ3=4×3×12=6,所以AP·BC=(25AB+15AC)·(AC-AB)=25AB·AC-25|AB|29.BCD因為m+n=(1,1),m-n=(3,3),所以m=(2,2),n=(-1,-1).A(?)因為(m-n)·n=3×(-1)+3×(-1)=-6≠0,所以m-n與n不垂直.B(√)因為m-n=(3,3),n=(-1,-1),所以m-n=-3n,所以(m-n)∥n.C(√)因為m=(2,2),n=(-1,-1),所以|m|=22+22=22,|n|=(?1D(√)因為m=(2,2),n=(-1,-1),所以m=-2n,所以<m,n>=180°.10.AD11.AD平面向量線性運算的坐標表示+向量新定義思路導引根據(jù)題設條件可判斷出A1,A2,A3,A4四點共線,從而判斷出選項A.由題意可設A(0,0),B(1,0),C(c,0),D(d,0),結合題設條件可得1c+1d=A(√)∵A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),∴A1A3∥A1A2,A1A4∥A1A2,∴A1,A2,A3,B(?)由題意可設A(0,0),B(1,0),C(c,0),D(d,0),則(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),∴λ=c,μ=d,又∵1λ+1μ=2,∴1c+1d=2.若D是線段AB的中點,則d=12,代入到1c+C(?)若C,D同時在線段AB上,則0≤c≤1,0≤d≤1,由1c+1d=2,可得c=d=1,此時C,DD(√)若C,D同時在線段AB的延長線上,則c>1,d>1,∴1c+1d<2,與1c+1d=2矛盾,故C,D12.(-8,2)∪(2,+∞)由題可得a·b<0且a,b不共線(注意排除共線的情況),則?x?8<0,2x≠4,13.1(或3,答案不唯一)由A(-1-a,0),B(-1+a,0),C(-1,2a-3),D(-1,3-2a),得AB=(2a,0),DC=(0,4a-6),AD=(a,3-2a),BC=(-a,2a-3),則①AB·DC=0,所以AB⊥DC,即AB⊥CD;②AD=-BC,所以AD∥BC,即AD∥BC.因為點A,B,C,D構成一個正方形,正方形的對角線只能是AB,CD,則|AB|=|CD|,即|2a|=|6-4a|,解得a=1或3.當a=1時,A(-2,0),B(0,0),C(-1,-1),D(-1,1),此時線段AB,CD互相垂直且平分,AB=CD,所以四邊形ACBD是正方形;當a=3時,A(-4,0),B(2,0),C(-1,3),D(-1,-3),此時線段AB,CD互相垂直且平分,AB=CD,所以四邊形ACBD是正方形.所以a=1或3.第一空:AB=22,以點A為坐標原點,分別以AB,AF所在直線為x,y軸,建立平面直角坐標系,如圖1所示.正八邊形的內(nèi)角和為(8-2)×180°=1080°,則∠HAB=18×1080°=135°,AH=22,所以H(-2,2)(由-22×cos

45°=?2,22sin45°=2可得),A(0,0),B(22,0),G(-2,2+22),F(0,4+22),P(-1,3+22),所以AP=(-1,3+22),AB=(22,0),所以AP·AB=-1×22+0×(3+22)=-第二空:延長AB,與DC的延長線交于點M,如圖2.根據(jù)正八邊形的特征知,AM⊥DM,AM=22+2,設AQ與AB的夾角為θ,則0°≤θ≤135°,所以(GQ-GA)·AB=AQ·AB=|AQ||AB|cosθ=22|AQ|·cosθ,由圖可知|AQ|cosθ的最大值為AM=22+2,所以(GQ-GA)·AB的最大值為22×(22+2)=8+42.15.【解析】(1)OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).(2分)當點M在第二象限或第三象限時,有4∴所求的條件為t2<0且t1+2t2≠0.(6分)(2)方法一當t1=1時,由(1),知OM=(4t2,4t2+2).(8分)∵AB=(4,4),AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB,(11分)∴不論t2為何實數(shù),AM與AB共線,即A,B,M三點共線.(13分)方法二當t1=1時,OM=OA+t2AB,∴OM-OA=t2AB,∴AM=t2AB,(11分)∴不論t2為何實數(shù),AM與AB共線,即A,B,M三點共線.(13分)16.【解析】(1)向量a+b與a-b可能垂直.(1分)理由如下:向量a=(12,sinθ),b=(-12,cos若向量a+b與a-b垂直,則(a+b)·(a-b)=0,(3分)即a2=b2,(4分)則sin2θ+14=cos2θ+1所以tan2θ=1,所以tanθ=±1.(5分)又因為0<θ<π,且a+b為非零向量,兩向量是非零向量,注意到a+b=(0,sinθ+cosθ),所以θ≠3所以θ=π4所以當θ=π4時,向量a+b與a-b垂直.(2)依題意,得2a+b=(12,2sinθ+cosθ),2a-b=(32,2sinθ-cosθ)因為2a+b與2a-b共線,所以12(2sinθ-cosθ)=32(2sinθ+cosθ向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行,也可以利用向量共線求參數(shù).當兩個向量的橫、縱坐標均為非零值時,可以利用坐標對應成比例來求解,否則,化為整式進行求解,可避開分類討論整理得tanθ=-1.(12分)所以3?cos2θsin2θ+3sin2θ=3?cos2θsin2θ+6sinθcosθsin217.【解析】(1)因為AP=23AB,所以BP=若點Q是BC邊上靠近C的三等分點,則CQ=13CB,即BQ=所以PQ=BQ-BP=23BC-13BA=23(AC-AB)+1又PQ=λAB+μAC,AB,AC不共線,所以λ=?13,μ=2(2)如圖,以A點為坐標原點建立平面直角坐標系,則B(3,0),C(0,2),P(2,0),M(0,1),CB=(3,-2),MC=(0,1),PC=(-2,2),(9分)因為Q在CB上,所以設CQ=kCB=(3k,-2k)(k∈[0,1]),所以MQ=MC+CQ=(0,1)+(3k,-2k)=(3k,-2k+1),PQ=PC+CQ=(-2,2)+(3k,-2k)=(3k-2,2-2k),(11分)所以MQ·PQ=3k(3k-2)+(-2k+1)(2-2k)=13k2-12k+2=13(k-613)2-1013因為k∈[0,1],所以當k=613時,(MQ·PQ)18.扇形面積+平面向量基本定理思路導引(1)利用扇形的面積公式,即可得扇形BAC的面積.(2)若(1-m)BD=mDC(0<m<1),化簡得BD=mBC,觀察已知向量等式AD=13AC+nAB,故需把向量等式BD=mBC轉化為以點A為起點的向量等式,比較兩向量等式,即可得m,n的方程組,解方程組,得m,n(3)假設在弧BC上存在點P(不與B,C重合),使得AP=(1-λ)AB+2λAC.通過建立平面直角坐標系,求出點與向量的坐標,即可得λ的方程,解方程得λ的值,注意λ的解是否符合題意,即可下結論.【解析】(1)由題意可得,扇形BAC的面積S=12×3×2π=3π.(2)因為(1-m)BD=mDC(0<m<1),所以BD=mBC,(4分)所以AD-AB=m(AC-AB),所以AD=mAC+(1-m)AB,(6分)因為AD=13AC+nAB,所以解得m=13,n=23(3)因為扇形BAC的半徑為3,弧長為2π,所以∠BAC=2π3假設在弧BC上存在點P(不與B,C重合),使得AP=(1-λ)·AB+2λAC.如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸,和AB垂直,且垂足為A的直線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(3,0),C(-32,3則AP=(1-λ)AB+2λAC=(1-λ)(3,0)+2λ(-32,332)=(3-6λ,33λ),故P(3-6λ,33設P(3cosθ,3sinθ),θ∈(0,2π3),所以(3cosθ,3sinθ)=(3-6λ,33所以3cosθ=3?所以cos2θ+sin2θ=(1