空間角的求法課前必備知識課標(biāo)要求1.能運(yùn)用幾何法和空間向量法求空間角.2.體會向量法在研究立體幾何中的工具性作用．知識梳理1．兩條異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的__銳角或直角__叫做a與b所成的角．(2)范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍為__(0，eq\f(π,2)]__．(3)向量求法：設(shè)直線a，b所成的角為θ，a，b的方向向量為a，b，則有cosθ＝__eq\f(|a·b|,|a||b|)__．2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的__射影__所成的角．(2)范圍：直線與平面所成角θ的取值范圍是__[0，eq\f(π,2)]__．①直線垂直于平面，則它們所成的角為__90°__；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角為__0°__；③直線與平面斜交，它們所成的角為__銳角__．(3)向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為φ，a與u的夾角為θ，則有sinφ＝|cos〈a，u〉|＝__eq\f(|a·u|,|a||u|)__．3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角：由二面角的棱上一點，分別在二面角的兩個面內(nèi)作棱的垂線所構(gòu)成的角；二面角的取值范圍為[0，π]．(3)二面角的向量求法：①若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角(如圖1)．②設(shè)n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖2、圖3)．設(shè)二面角的大小為φ，〈n1，n2〉＝θ，則|cosφ|＝|cos〈n1，n2〉|＝__eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)__．再結(jié)合圖形，確定φ是銳角還是鈍角，從而確定cosφ的符號．4．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).課前訓(xùn)練1．設(shè)l是平面α的斜線，且l與平面α所成的角為θ，若l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則下列結(jié)論正確的是()A．cosθ＝eq\f(a·n,|a||n|)B．cosθ＝eq\f(|a·n|,|a||n|)C．sinθ＝eq\f(a·n,|a||n|)D．sinθ＝eq\f(|a·n|,|a||n|)2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)C．(－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)) D．(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3))3．直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，側(cè)棱長為2，D為B1B上的點，若直線A1C與直線DC1所成角的余弦值為eq\f(\r(2),6)，則BD＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(3,2)4．(2025·湖北高三校聯(lián)考)已知圓臺上、下底面的半徑之比為1∶2，母線與底面所成的角的正弦值為eq\f(3,5)，圓臺體積為14π，則該圓臺的側(cè)面面積為()A．30π B．18πC．15π D．9π5．如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α.B∈l，AB與l所成的角為30°，則直線AB與平面β所成角的正弦值是__________．

課堂核心考點考點1異面直線所成角的求法【例1】(1)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)在棱AD上，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ＝______________.(2)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D為棱B1C1的中點，點E在棱BC上，且BC＝4BE，則異面直線AC與DE所成角的余弦值是__________.(1)構(gòu)建法求異面直線所成角，關(guān)鍵是將異面直線中的一條或兩條“平行移動”，構(gòu)建異面直線所成的角，然后通過解三角形求解．(2)用向量法求異面直線所成角的一般步驟：①選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；②確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；③利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；④兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值，同時一定要注意兩異面直線所成角的范圍是(0，eq\f(π,2)].變式探究1．在空間四邊形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq\r(3)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF＝eq\r(7)，則異面直線AD與BC所成角的大小為________．2．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，則直線BD1與AC所成角的余弦值為__________．考點2直線與平面所成角的求法【例2】(2025·黑龍江哈爾濱校考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中點．(1)求證：EC∥平面BDM.(2)若DE⊥平面ABCD，AB＝4，BM⊥CF，點P為線段CE上一點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CE,\s\up6(→))，求直線PM與平面AEF所成角的正弦值．(1)利用定義法求線面角的一般步驟①找出斜線在平面內(nèi)的投影，或根據(jù)題目條件通過作輔助線找到投影，找到所求角．②根據(jù)幾何條件計算所求角所在三角形的各邊長．③根據(jù)解三角形的方法計算所求角的三角函數(shù)值．(2)利用向量法求線面角的方法①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.變式探究3．如圖，三棱臺ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中點，E是棱BC上的動點．(1)試確定點E的位置，使AB1∥平面DEC1；(2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC，設(shè)直線BC1與平面DEC1所成的角為θ，試在(1)的條件下，求cosθ的最小值．考點3求二面角【例3】在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，點E為PC的中點．(1)求證：BE∥平面PAD.(2)已知PC＝PD＝2eq\r(3)，平面PCD⊥平面ABCD，求二面角B-CP-D的余弦值．(1)構(gòu)建法求作二面角的平面角①“找”：由二面角平面角的定義確定二面角的平面角．②“線”：由二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接兩個垂足即得二面角的平面角或其補(bǔ)角．③“面”(垂面法)：過棱上一點作(證)棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面的交線所成的角即是二面角的平面角．(2)應(yīng)用向量法計算二面角大小的常用方法①找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。谡遗c棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的