7.3平行線的證明第七章證明北師大版（2024）素養(yǎng)目標1.掌握平行線的性質(zhì)定理，熟練完成“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的證明過程，逐步提升演繹推理能力；重點難點2.深入理解平行線性質(zhì)定理與判定定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，深度感受互逆思維在幾何證明中的應用，培養(yǎng)靈活轉(zhuǎn)換思維的能力.新知導入平行線的判定同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補兩直線平行反過來，如果兩條直線平行，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系呢?同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補兩直線平行我們已經(jīng)探索過平行線的性質(zhì)，下面證明它們.探究新知定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡述為：兩直線平行，同位角相等.條件是：______________________________，

結(jié)論是:______________.兩條平行直線被第三條直線所截同位角相等你能作出相關(guān)的圖形，并根據(jù)所作的圖形寫出已知、求證嗎?探究新知已知：如圖，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB，CD被直線FF截出的同位角.求證：∠1=∠2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.文字語言符號語言ABCDEFMN12探究新知證明：假設(shè)∠1≠∠2，那么我們可以過點M作直線GH，使∠EMH=∠2，如圖所示.根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH∥CD.又因為AB∥CD，這樣經(jīng)過點M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說明∠1≠∠2的假設(shè)不成立，所以∠1=∠2這種證明方法叫作反證法.GHABCDEFMN12如果∠1≠∠2，AB與

CD不平行.歸納總結(jié)平行線的性質(zhì)定理1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡述為：兩直線平行，同位角相等.應用格式：∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).b12ac探究新知定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡述為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.條件是：

，

結(jié)論是:

.兩條平行直線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等利用上面的定理，我們可以證明：探究新知已知：如圖，直線l1∥l2，∠1和∠2是直線l1，l2被直線l截出的內(nèi)錯角.求證：∠1=∠2.兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.文字語言符號語言l212l1l3分析：由條件l1∥l2可以得到哪些角的等量關(guān)系，這些等量關(guān)系中的角與∠1，∠2有什么聯(lián)系?證明：∵

l1∥l2(已知)，∴∠1=∠3(兩直線平行，同位角相等).又∵∠2=∠3(對頂角相等)，∴∠1=∠2(等量代換).歸納總結(jié)平行線的性質(zhì)定理2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡述為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.應用格式：∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).b12ac探究新知定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡述為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.條件是：

，結(jié)論是:

.兩條平行直線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補類似地，還可以證明：探究新知已知：直線a∥b，∠1和∠2是直線a，b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.文字語言符號語言證明：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩條直線平行，同位角相等).∵∠1+∠3=180°(平角的定義)，∴∠1+∠2=180°(等量代換).b32ac1歸納總結(jié)平行線的性質(zhì)定理3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡述為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.應用格式：∵a∥b(已知)，∴∠1+∠2=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補).b12ac歸納總結(jié)兩直線平行同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補平行線的判定平行線的性質(zhì)直線的位置關(guān)系角的數(shù)量關(guān)系性質(zhì)角的數(shù)量關(guān)系直線的位置關(guān)系判定例題練習已知：如圖，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直線a，b，c被直線d截出的同位角.求證：b∥c.【分析】由條件b∥a，c∥a可以得到哪些等量關(guān)系?為了證明b∥c需要怎樣的等量關(guān)系?12）abdc））3例題練習證明：∵b∥a，(已知)，∴∠2=∠1(兩直線平行，同位角相等).∵c∥a(已知)，∴∠3=∠1(兩直線平行，同位角相等).∴∠2=∠3(等量代換).∴b∥∠c(同位角相等，兩直線平行).平行線的性質(zhì)平行線的判定平行線的性質(zhì)12）abdc））3歸納總結(jié)一般地，我們有如下的定理：定理：平行于同一條直線的兩條直線平行.應用格式：∵b∥a，c∥a(已知)，∴b∥c(平行于同一條直線的兩條直線平行).abdc探究新知【思考】完成一個命題的證明，需要哪些主要環(huán)節(jié)？命題證明的步驟：(1)根據(jù)題意，畫出圖形；(2)根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，然后用數(shù)學符號和數(shù)學