2025~2026學(xué)年上海市徐匯中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題(★★)1.已知集合，或，則______．(★★)2.若復(fù)數(shù)滿足，則_____．(★)3.展開式中常數(shù)項(xiàng)為______.（用數(shù)字作答）(★★★)4.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.(★★)5.雙曲線的虛軸長為______．(★★★)6.已知，，則_____．(★★)7.設(shè)向量，且，則______.(★★★)8.徐匯中學(xué)家長會期間，在匯學(xué)博物館，匯學(xué)長廊，創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室的三個地點(diǎn)需要志愿者服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每個地點(diǎn)僅需1名志愿者，每人至多在一個地點(diǎn)服務(wù)，若甲不能到第一個地點(diǎn)服務(wù)，則不同的安排方法共有______．(★★★)9.已知正四面體，設(shè)沿，，方向的力分別為1N，2N，3N，則這三個力的合力的大小為______．(★★★★)10.已知函數(shù)，，若存在，使得，則的最大值為_____．(★★★)11.已知函數(shù)，其中且．給出下列四個結(jié)論：①若，則函數(shù)的零點(diǎn)是；②若函數(shù)無最小值，則的取值范圍為；③若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為，且的取值范圍為．其中，所有正確結(jié)論的序號是_____．(★★★)12.若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．二、單選題(★★★)13.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上為減函數(shù)的是（）

A．B．C．D．(★★★)14.已知實(shí)數(shù)滿足，則“成立”是“成立”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件(★★★)15.某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)事件：該家庭中有男孩、又有女孩，事件：該家庭中最多有一個女孩．有以下兩個命題：①若該家庭中有兩個小孩，則與互斥；②若該家庭中有三個小孩，則與相互獨(dú)立．則：（）

A．①②均為真命題B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題D．①②均為假命題(★★★★)16.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，我們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，則點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域的面積是（）

A．4B．2C．6D．1三、解答題(★★★)17.在三角形中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為、、，已知．(1)求角A的大??；(2)若且，三角形的面積為，求三角形的周長．(★★★)18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求直線GC與平面PCD所成角的正弦值.(★★★)19.人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數(shù)學(xué)知識并非都是遙不可及的高深理論．為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫A，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：

“一”與其后面一個字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況頻數(shù)“一個”6“一些”4“一群”2“一條”2其他假設(shè)用頻率估計(jì)概率．(1)求的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現(xiàn)的次數(shù)僅為1次，求它的概率；(3)另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫B進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個”和“一格”誰在前面更合適?（結(jié)論不要求證明）(★★★)20.已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，，求直線的方程．(3)若過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，利用上述結(jié)論，設(shè)是從橢圓中心到橢圓在點(diǎn)處切線的距離，當(dāng)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，判斷是否為定值．若是求出