決勝高考經(jīng)典一百題全解析第六章直線與圓【百題6.1:阿波羅尼斯圓】已知F1?3,0,F23,0為雙曲線x2a2?解:設Px,y,由PF1=2PF2可得x+32+y2=4所以當雙曲線C的漸近線與圓x?52+y2=16相切時,b（1）(四川綿陽二診)在△ABC中,AB=4,CA=解:設A由CA=3CB點C在(2)(鹿城區(qū)校級月考)過點P2,1斜率為正的直線交橢圓x224+y25=1于A、解:由角平分線性質(zhì)定理得ACBC=ADBD=即△PCD的外接圓為阿圓,故問題轉(zhuǎn)化為求阿圓半徑的最小值,設圓半徑為r直線AB的參數(shù)方程為x=2+tcosαy=1+tsinαt設直線AB與阿圓的另一個交點為G,則APBP=?即AG=t1=7626sin入選理由:在試題中,很多線段比題目以阿波羅尼斯圓為背景進行考察.知識鏈接:阿波羅尼斯圓:在平面上給定兩點A,B,設P點在同一平面上且滿足PA當λ>0且λ≠1時,P點的軌跡是個圓,稱為阿波羅尼斯圓.當λ=1時,P點的軌跡是線段AB的中垂線.定理:已知Px,y,A?c,0,Bc,0x?λ2+1λ2?1【強化訓練】(高三?？?已知OA,OB是非零不共線的向量,設OC=1r+1?OA+rr+1?解:由OC=1r+1由KA?KCKA即有∠AKC=∠BKC,則KC為∠AKB的平分線,由角平分線的性質(zhì)定理可得KAKB=ACBC=r.因為KAKB=點,建立直角坐標系,設點Kx,y,A?a,0化簡得1?r由該方程可知K的軌跡為圓心在AB上的圓.由K1A=rK1B,可得可得K易知r?1r≥2?12由題意可得c≥43,故c的最小值為【知識縱橫】已知體積為72的長方體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,且BC=3BB1,點M是線段解:依題意,AB=BC=6,BB因為AD⊥平面DCC1D在Rt△NDA與Rt△NCM中,因為AD=6,則MC=3,故tan∠AND=則6ND=3NC,即ND=2NC;在平面DCC1D1中,以DC所在直線為x軸,DC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則D?3,0,C3,0,Nx,y,由ND=2NC得,x+32+y2=2x?32+y2,整理可得:x2+y2?10x+9=0,即x?52+【百題6.2:距離公式】若存在x使ex?a解:由已知得ex3?a32+x?a設曲線上的點到直線距離為d,故d=x?e故d≥1010,所以易知ex3?a【同源練習】x∈R且x≠0,θ∈R,求1+x?sinθ2解:設Px+f′x∴PQmin=22【變式訓練】(衡水四調(diào))求x?a2解:根號下為y=ex可以表示為x故最短距離可以看作是焦點1,0到y(tǒng)=ex入選理由:距離公式似乎看起來很簡單,然而卻可以出成很多經(jīng)典的壓軸題.知識鏈接:點點距離公式:設Ax1點線距離公式:設P平行線間距離:l【百題6.3:圓的位置關(guān)系】在平面直角坐標系中,已知點A?1,0,B5,0,若圓M:x?42+y?m2=4解:設點Px0,y0,則直線PA的方程為同理可得直線PB在y軸上的截距為?5y0x0y0x0+1??5為圓心,3為半徑的圓,其中A?1,0當點Px0,若A?1,0,B5,0不在圓M上,則22+若A或B在圓M上,易得m=±3綜上,m=±21知識鏈接:設圓O1,①d>r1+③r1?r⑤d<r【同源練習】(河南一模)直線l:y=kx?1與曲線C:x2+解:直線y=kx?1過定點A0,?1,直線y=0和圓x?22+圓x?22+y2過A0,?1作圓O的切線AE、AD,切點分別為由題意E2,?1,設∠OAE=α,則∠DAE=2αk直線l:y=kx?1與曲線C:x點,∴得k=13或k=1或k=4【百題6.4:弦長問題】在圓x2+y2?2x?6y=0內(nèi),過點E0,1的最長弦和最短弦分別是解:由題意可知,圓的圓心坐標是1,3、半徑是10,且點E0,1位于該圓內(nèi),故過點E最短弦長BD=2過點E0,1的最長弦長等于該圓的直徑,即AC=210,且的面積等于1知識鏈接:過圓內(nèi)任意一點的弦長,最長為直徑,最短為與直徑垂直的弦長;如果直線恒過定點且長度唯一，那么弦必為最長弦或最短弦?！就淳毩暋恳阎本€m+2n+3x+m?ny?3m+1=0與O:x2+y解:由圓的性質(zhì)可知:若要使直線與圓相交于不同兩點且長度唯一,則該直線只能過圓的圓心.即直線m+2n+3x+m?n先將0,0代入得到m=?1,但題中限制m<?1,①m+2n+3=0,∴m=?3?2n∴?3?2n<?1,即2n>?2,∴n>?1②m?n=0,∴m=n∴n<?1綜上所述,n的取值范圍為?∞,?1∪【百題6.5:最值問題】已知直線l1:mx?y?3m+1=0與直線l2:x+my?3m?1=0相交于點P,線段AB是圓C:x+12+解:l1恒過M3,1,l2恒過N1,3C為有圓心,D為AB中點,PD又CD=42知識鏈接:圓上一點到圓外一點距離最值的計算方法為:圓心到該點的距離加上半徑最長,減去半徑最短.【百題6.6:切點弦問題】（全國卷）已知⊙M:x2+y2?2x?2y?2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點,過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為解:圓的方程可化為x?12+y?12=4,點M到直線l的距離為d=2×1+1+22PM?AB當直線MP⊥l時,MPmin=5∴MP:y?1=12x?1即y=12所以以MP為直徑的圓的方程為x?1x+1+yy?1兩圓的方程相減可得:2x+y+1=0,即為直線AB的方程.知識鏈接:公共弦方程由兩圓方程相減即可得到.【百題6.7:隱圓問題】已知圓C:x?32+y?42=1和兩點A?m,0,Bm,0解:設點Px,y滿足PA?從而轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點得1+m2?1≤5≤1+m【同源練習】已知A,B,C,D四點共面,BC=2,AB2+AC2=20,CD=3CA,則BD設Ax,y,則B?1,0,C1,0所以OA=3.取E?2,0,故CE=3所以點D在以E為圓心,半徑為9的