廣東省小學(xué)五年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)第八單元測(cè)試卷-找次品的最優(yōu)策略一、填空題在一些零件里有1個(gè)是次品（次品重一些），用天平稱，至少稱（）次就一定能找出次品。有5瓶維生素，其中一瓶少了4片。如果用天平稱，每次稱1瓶，至少稱（）次才能保證找到少藥片的那瓶；如果每次稱2瓶，至少需要（）次才能保證找到。9個(gè)乒乓球中有一個(gè)是次品，次品比正品輕一些，用天平至少稱（）次能保證找到次品。有12袋糖果，其中11袋質(zhì)量相同，另有一袋少了幾顆糖，如果用天平稱，至少稱（）次能保證找出這袋糖果。27個(gè)零件中有一個(gè)是次品（次品重一些），用天平稱，至少稱（）次就一定能找出次品。8個(gè)形狀大小相同的球，其中一個(gè)比較輕，用天平稱，至少稱（）次才能保證找到這個(gè)較輕的球。有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊，如果用天平稱，至少稱（）次可以保證找出這盒餅干。有28瓶水，其中27瓶質(zhì)量相同，另有1瓶是鹽水，比其他的水略重一些。至少稱（）次能保證找出這瓶鹽水。10瓶飲料，其中一瓶略重些，用天平稱，至少稱（）次能保證找出略重的這瓶飲料。有3袋食鹽，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。用天平至少稱（）次能保證稱出這袋食鹽比500克重還是輕。二、判斷題用天平找次品時(shí)，所稱物品的數(shù)目與稱的次數(shù)成倍數(shù)關(guān)系。（）從3件物品中找1件次品，至少要用天平稱2次才能保證找出來。（）10瓶水，其中9瓶質(zhì)量相同，另有1瓶是鹽水，比其他的水略重一些，至少稱3次能保證找出這瓶鹽水。（）8個(gè)零件里有1個(gè)是次品（次品重一些），用天平稱，至少稱2次就一定能找出次品。（）有100個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品（次品重一些），用天平稱，至少稱5次就一定能找出次品。（）三、選擇題有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。用天平至少稱（）次能保證判斷出這袋白糖比500克重還是輕。A.1B.2C.3D.4一批零件共有81個(gè)，其中一個(gè)是廢品，它的重量比正品重一點(diǎn)，用天平至少稱（）次能保證把廢品找出來。A.2B.3C.4D.5有10盒巧克力，其中9盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊，如果用天平稱，至少稱（）次能保證找出這盒巧克力。A.2B.3C.4D.5有25個(gè)外觀完全相同的玻璃球，其中一個(gè)比其他略重一些，不用砝碼，用天平至少稱（）次就能保證把它找出來。A.2B.3C.4D.5用天平找次品時(shí)，已知次品比較輕。要保證至少稱3次能找出次品，待測(cè)物品可能是（）個(gè)。A.8B.15C.28D.9四、解決問題有7盒同種規(guī)格的螺絲，其中一盒少了2個(gè)。用天平找出這盒來，有哪些稱法？請(qǐng)觀察下表，然后回答問題。（1）如果選擇最優(yōu)化的方法，你會(huì)選擇哪種？最多需要稱幾次就能找到？（2）如果天平兩邊各放3盒，稱一次有可能稱出來嗎？有15袋花生，其中有一袋比其他的都要輕。（1）至少稱幾次能找出輕的那袋？（2）稱一次有可能找出輕的那袋嗎？為什么？一箱糖果里有10袋，其中9袋質(zhì)量相同，另有一袋質(zhì)量不足，輕一些，用天平至少稱幾次能保證找出這袋糖果？請(qǐng)寫出過程。有8個(gè)外形相同的乒乓球，其中只有一個(gè)重量不標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)用天平，最多稱三次，找出這個(gè)不標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球，并判斷它是重還是輕。師傅和徒弟一起做零件，師傅做了5個(gè)零件，徒弟做了10個(gè)零件，師徒兩人做的零件中各有一個(gè)是次品（次品重一些）。如果用天平稱，至少各稱幾次就一定能找出師傅和徒弟做的次品？有12個(gè)形狀、大小完全一樣的零件，其中有一個(gè)質(zhì)量較輕的不合格產(chǎn)品，你能用天平只稱3次就找出這個(gè)不合格產(chǎn)品嗎？請(qǐng)說明理由。有27個(gè)鐵球，其中有一個(gè)是空心的，質(zhì)量較輕，如果用天平稱，至少稱幾次就能保證找到這個(gè)空心鐵球？請(qǐng)用圖示法表示出稱的過程。有3袋藥品，其中2袋每袋20克，另1袋不是20克，但不知道比20克重還是輕，你能用天平找出來嗎？至少稱幾次？有14個(gè)大小一樣的球，其中13個(gè)質(zhì)量相同，余下的一個(gè)質(zhì)量較輕，是不合格產(chǎn)品，用天平至少稱幾次才能保證找出這個(gè)不合格產(chǎn)品？有24個(gè)同樣大小的蘋果，其中有一個(gè)質(zhì)量較輕，屬于不合格產(chǎn)品，用天平至少稱幾次能保證找出這個(gè)不合格的蘋果？五、拓展題某工廠生產(chǎn)了200個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品，次品比正品重一些，用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品？請(qǐng)寫出你的分析過程。有81個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品，次品比正品輕一些，用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品？如果是82個(gè)零件呢？有1000箱外形完全相同的產(chǎn)品，其中999箱質(zhì)量相同，有1箱次品質(zhì)量較輕?，F(xiàn)有一個(gè)天平，一次最多可稱量500箱。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，用最少的次數(shù)找出這箱次品。有12個(gè)乒乓球，其中有一個(gè)是次品，但不知道次品比正品重還是輕。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品并判斷出次品比正品重還是輕？有5袋鹽，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。你如何用天平稱出來？請(qǐng)寫出過程。六、應(yīng)用題食品廠生產(chǎn)了一批餅干，每箱裝10盒，每盒裝20塊。有一箱餅干中，每盒都少裝了1塊。你能用天平只稱一次，就找出這箱餅干嗎？某商店進(jìn)了10箱鋼珠，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，每顆鋼珠重10克。但后來發(fā)現(xiàn)其中一箱是次品，次品鋼珠每顆重9克?，F(xiàn)在有一臺(tái)天平，允許你稱一次，你能找出哪箱是次品嗎？有9袋方便面，其中8袋質(zhì)量相同，另一袋質(zhì)量不足，輕一些。用天平至少稱幾次能保證找出這袋方便面？如果是10袋呢？11袋呢？倉庫里有16箱同一規(guī)格的零件，李師傅只記得從其中一箱中用去3個(gè)，但現(xiàn)在無法憑眼睛看出哪一箱是用過的。若要數(shù)，由于零件較小，很難數(shù)清。李師傅只好找來一架天平來稱，卻無砝碼。聰明的小朋友，你能幫李師傅至少稱幾次就能保證找出用過的那一箱？有15盒巧克力，其中14盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊。如果能用天平稱，至少稱幾次可以保證找出這盒巧克力？如果是20盒呢？30盒呢？七、實(shí)踐操作題有3瓶鈣片，其中1瓶少了3片。你能用天平把它找出來嗎？請(qǐng)用圖示表示稱的過程。有5袋洗衣粉，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。請(qǐng)你用天平稱出來，并判斷它是重還是輕。有8個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品（次品重一些）。用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？請(qǐng)寫出你的稱法。有10個(gè)羽毛球，其中有一個(gè)是次品（次品輕一些）。用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？請(qǐng)用文字描述稱的過程。有12盒餅干，其中11盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這盒餅干？請(qǐng)用圖示法表示出稱的過程。八、思考題一架天平，只有5克和30克兩個(gè)砝碼，要把300克鹽分成三等份，最少稱幾次？寫出稱法。有100個(gè)零件，分裝成10袋，每袋裝10個(gè)。在其中的9袋里每個(gè)零件都是50克，有1袋里的每個(gè)零件都是49克。這10袋混在一起，你能用秤稱一次，就把裝49克的那袋找出來嗎？有甲、乙、丙三個(gè)盒子，甲盒里有2個(gè)紅球，乙盒里有2個(gè)白球，丙盒里有1個(gè)紅球和1個(gè)白球。每個(gè)盒子上都貼著一張標(biāo)簽，但標(biāo)簽都貼錯(cuò)了。你能從一個(gè)盒子里摸出一個(gè)球，就能說出三個(gè)盒子里各裝的是什么顏色的球嗎？有8個(gè)大小相同的球，其中7個(gè)質(zhì)量相同，另一個(gè)是次品，次品比正品輕。用天平至少稱幾次能保證找出次品？如果是15個(gè)球呢？31個(gè)球呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？有12個(gè)小球，其中只有一個(gè)質(zhì)量不同，用天平稱3次，如何稱才能保證找出這個(gè)質(zhì)量不同的小球，并判斷它是重還是輕？九、綜合題有7袋大米，其中有一袋是假的，假的比真的重一點(diǎn)。用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋假大米？請(qǐng)寫出你的稱法。有14瓶水，其中13瓶質(zhì)量相同，另有1瓶是糖水，比其他的水略重一些。至少稱幾次能保證找出這瓶糖水？有25個(gè)零件，其中一個(gè)是次品，次品比正品輕一些。用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？有81個(gè)玻璃球，其中一個(gè)比其他的輕一些，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這個(gè)玻璃球？有1000個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品（次品重一些），用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？十、創(chuàng)新題你能只用兩次天平，就把下面這個(gè)問題解決嗎？有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。你能用天平找出來，并判斷它是重還是輕嗎？有4個(gè)外觀一樣的乒乓球，其中只有一個(gè)重量異常（不知道是重還是輕），你能用天平稱兩次就把它找出來，并判斷出它是重還是輕嗎？有6個(gè)零件，其中5個(gè)零件質(zhì)量相等，另一個(gè)輕一些。至少稱幾次能保證找出這個(gè)輕一些的零件？如果零件數(shù)是7個(gè)呢？8個(gè)呢？9個(gè)呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？有12個(gè)形狀大小完全一樣的零件，其中有一個(gè)質(zhì)量較輕的不合格產(chǎn)品，你能用天平只稱3次就找出這個(gè)不合格產(chǎn)品嗎？如果能，請(qǐng)說明你的方法。有9顆珍珠，其中有一顆是假的，假珍珠比真珍珠輕一些。用天平至少稱幾次能保證找出這顆假珍珠？如果在天平兩邊各放4顆珍珠，稱一次有可能找出那顆假珍珠嗎？#廣東省小學(xué)五年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)第八單元測(cè)試卷-找次品的最優(yōu)策略一、填空題解析與最優(yōu)策略應(yīng)用在解決找次品問題時(shí)，最優(yōu)策略的核心在于將物品盡可能平均分成三份。當(dāng)物品數(shù)量不能被3整除時(shí)，應(yīng)使多的一份與少的一份相差1。這種分法能保證在每次稱量后，排除最多數(shù)量的正品，從而以最少的次數(shù)找到次品。例如，當(dāng)有10瓶飲料，其中一瓶略重時(shí)，我們可以將其分成3瓶、3瓶、4瓶三份。第一次稱量3瓶和3瓶，若天平平衡，則次品在剩余的4瓶中；若不平衡，則次品在較重的3瓶中。通過這種方式，每次都能將問題規(guī)?？s小到原來的三分之一左右，大大提高了效率。對(duì)于“有3袋食鹽，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕”這類問題，需要特別注意。由于不知道次品與正品的輕重關(guān)系，我們需要更多的步驟來判斷。首先，將兩袋食鹽分別放在天平兩端，如果平衡，則未稱量的那袋是次品，再通過與正品比較就能判斷輕重；如果不平衡，則需要用第三袋與其中一袋比較，才能確定次品及其輕重關(guān)系。這類問題往往需要比已知輕重關(guān)系的情況多一次稱量。二、判斷題的常見誤區(qū)“用天平找次品時(shí)，所稱物品的數(shù)目與稱的次數(shù)成倍數(shù)關(guān)系?！边@一說法是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，稱的次數(shù)與物品數(shù)目之間的關(guān)系是指數(shù)關(guān)系。例如，1次最多可以判斷3個(gè)物品，2次最多可以判斷9個(gè)物品，3次最多可以判斷27個(gè)物品，以此類推，n次最多可以判斷3?個(gè)物品。因此，物品數(shù)目每增加到原來的3倍，稱的次數(shù)才增加1次，并非簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系?！皬?件物品中找1件次品，至少要用天平稱2次才能保證找出來?！边@種說法也是錯(cuò)誤的。在3件物品中，只需將其中兩件放在天平兩端，如果平衡，則未稱量的那件是次品；如果不平衡，則輕（或重）的那件是次品。因此，只需1次就能保證找出次品。這是找次品問題中的一個(gè)基本模型，很多復(fù)雜問題都是在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來的。三、選擇題的解題技巧在解決“有25個(gè)外觀完全相同的玻璃球，其中一個(gè)比其他略重一些，不用砝碼，用天平至少稱幾次就能保證把它找出來”這類問題時(shí)，我們可以利用前面提到的規(guī)律：n次最多可以判斷3?個(gè)物品。因?yàn)?3=27，25<27，所以3次就能保證找出次品。具體步驟如下：第一次將25個(gè)球分成8、8、9三份，稱量8和8，如果平衡，則次品在9個(gè)中；如果不平衡，則次品在重的8個(gè)中。第二次將8個(gè)分成3、3、2或9個(gè)分成3、3、3，第三次就能確定次品。對(duì)于“用天平找次品時(shí)，已知次品比較輕。要保證至少稱3次能找出次品，待測(cè)物品可能是多少個(gè)”這類問題，我們需要反過來思考。3次最多可以判斷27個(gè)物品，2次最多可以判斷9個(gè)物品，因此待測(cè)物品的數(shù)量應(yīng)該在10到27之間。在給出的選項(xiàng)中，15和28符合這個(gè)范圍，但28超過了27，所以正確答案是15。四、解決問題的實(shí)際應(yīng)用以“有15袋花生，其中有一袋比其他的都要輕”為例，我們可以按照最優(yōu)策略進(jìn)行分組：15袋分成5、5、5三份。第一次稱量其中兩份5袋，如果平衡，則次品在第三份5袋中；如果不平衡，則次品在輕的5袋中。第二次將5袋分成2、2、1三份，稱量2和2，如果平衡，則剩下的1袋是次品；如果不平衡，則次品在輕的2袋中。第三次稱量這2袋，就能找出次品。因此，至少需要3次才能保證找出輕的那袋花生。而“有8個(gè)外形相同的乒乓球，其中只有一個(gè)重量不標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)用天平，最多稱三次，找出這個(gè)不標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球，并判斷它是重還是輕”這個(gè)問題則更為復(fù)雜。首先，我們將8個(gè)球分成3、3、2三份。第一次稱量3和3，如果平衡，則次品在2個(gè)中，第二次稱量其中1個(gè)與正品比較，就能找出次品并判斷輕重；如果不平衡，假設(shè)左邊重，則次品要么在左邊3個(gè)中且重，要么在右邊3個(gè)中且輕。第二次從左邊取2個(gè)和右邊取1個(gè)放在天平左邊，從正品中取3個(gè)放在天平右邊。通過這次稱量的結(jié)果，我們可以進(jìn)一步縮小范圍，第三次就能確定次品及其輕重關(guān)系。五、拓展題的深入分析“某工廠生產(chǎn)了200個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品，次品比正品重一些，用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品？”解決這類問題，我們可以利用前面提到的規(guī)律：3?=243，200<243，所以至少需要5次。具體步驟如下：第一次將200個(gè)零件分成67、67、66三份，稱量67和67，如果平衡，則次品在66個(gè)中；如果不平衡，則次品在重的67個(gè)中。接下來每次都按照最優(yōu)策略分組，經(jīng)過5次稱量就能保證找出次品。對(duì)于“有1000箱外形完全相同的產(chǎn)品，其中999箱質(zhì)量相同，有1箱次品質(zhì)量較輕。現(xiàn)有一個(gè)天平，一次最多可稱量500箱。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，用最少的次數(shù)找出這箱次品?！边@個(gè)問題，我們可以采用二分法。第一次稱量500箱，如果輕的在這500箱中；第二次稱量250箱，以此類推，每次都將范圍縮小一半。由于21?=1024，所以需要10次。但如果采用三分法，3?=729，3?=2187，所以7次就能保證找出次品。由此可見，最優(yōu)策略的選擇對(duì)結(jié)果影響很大。六、應(yīng)用題的實(shí)際意義“食品廠生產(chǎn)了一批餅干，每箱裝10盒，每盒裝20塊。有一箱餅干中，每盒都少裝了1塊。你能用天平只稱一次，就找出這箱餅干嗎？”這是一個(gè)非常經(jīng)典的問題，需要我們跳出常規(guī)思維。我們可以將10箱餅干分別編號(hào)1到10，然后從第1箱取1盒，第2箱取2盒，……，第10箱取10盒，一共取出55盒。如果每盒都是標(biāo)準(zhǔn)重量，總重量應(yīng)該是55×20=1100塊。但由于有一箱每盒都少1塊，所以實(shí)際重量會(huì)比1100塊少。少的塊數(shù)就是那箱餅干的編號(hào)。例如，如果少了3塊，就是第3箱有問題。這種方法充分利用了編號(hào)和數(shù)量的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了一次稱量就能找出次品?！皞}庫里有16箱同一規(guī)格的零件，李師傅只記得從其中一箱中用去3個(gè)，但現(xiàn)在無法憑眼睛看出哪一箱是用過的。若要數(shù)，由于零件較小，很難數(shù)清。李師傅只好找來一架天平來稱，卻無砝碼?！苯鉀Q這個(gè)問題，我們可以借鑒上面的方法：將16箱零件分別編號(hào)1到16，從第1箱取1個(gè)零件，第2箱取2個(gè)零件，……，第16箱取16個(gè)零件，一共取出136個(gè)零件。如果每個(gè)零件的重量相同，總重量應(yīng)該是136×標(biāo)準(zhǔn)重量。但由于有一箱少了3個(gè)零件，所以實(shí)際重量會(huì)比標(biāo)準(zhǔn)總重量少。少的重量除以3，得到的商就是那箱零件的編號(hào)。這種方法不僅巧妙，而且在實(shí)際生活中也有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。七、實(shí)踐操作題的步驟分解以“有8個(gè)零件，其中有一個(gè)是次品（次品重一些）。用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？”為例，我們可以按照以下步驟操作：第一次將8個(gè)零件分成3、3、2三份，稱量3和3。如果平衡，則次品在2個(gè)中，第二次稱量這2個(gè)就能找出次品；如果不平衡，則次品在重的3個(gè)中。第二次將這3個(gè)分成1、1、1三份，稱量其中兩個(gè)，如果平衡，則未稱量的那個(gè)是次品；如果不平衡，則重的那個(gè)是次品。因此，至少需要2次就能保證找出次品。對(duì)于“有5袋洗衣粉，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕”這個(gè)問題，步驟稍微復(fù)雜一些：第一次稱量2袋和2袋。如果平衡，則未稱量的那袋是次品，第二次將次品與正品比較就能判斷輕重；如果不平衡，則次品在這4袋中。第二次將其中2袋換成另外2袋，如果平衡，則次品在換下的2袋中，第三次稱量其中1袋與正品比較就能判斷；如果不平衡，則次品在未換下的2袋中，同樣第三次稱量就能判斷。因此，至少需要3次才能保證找出次品并判斷輕重。八、思考題的規(guī)律總結(jié)通過解決“有8個(gè)大小相同的球，其中7個(gè)質(zhì)量相同，另一個(gè)是次品，次品比正品輕。用天平至少稱幾次能保證找出次品？如果是15個(gè)球呢？31個(gè)球呢？”這類問題，我們可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：n次最多可以判斷3?個(gè)物品。因此，8個(gè)球需要2次（32=9），15個(gè)球需要3次（33=27），31個(gè)球需要4次（3?=81）。這個(gè)規(guī)律不僅適用于找次品問題，還可以推廣到其他類似的邏輯推理問題中?！坝?2個(gè)小球，其中只有一個(gè)質(zhì)量不同，用天平稱3次，如何稱才能保證找出這個(gè)質(zhì)量不同的小球，并判斷它是重還是輕？”這是一個(gè)經(jīng)典的問題，需要精心設(shè)計(jì)稱量步驟。首先將12個(gè)球分成3組，每組4個(gè)。第一次稱量?jī)山M，如果平衡，則次品在第三組中，接下來兩次可以確定次品及其輕重；如果不平衡，則次品在這兩組中。第二次將其中一組的3個(gè)球換成第三組的3個(gè)球，并將剩下的1個(gè)球與另一組的1個(gè)球交換位置。通過這次稱量的結(jié)果，可以確定次品所在的組以及輕重關(guān)系，第三次就能找出次品。這個(gè)問題充分體現(xiàn)了找次品問題的復(fù)雜性和趣味性。九、綜合題的方法應(yīng)用以“有25個(gè)零件，其中一個(gè)是次品，次品比正品輕一些。用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？”為例，我們可以應(yīng)用前面總結(jié)的規(guī)律：33=27，25<27，所以需要3次。具體步驟如下：