27/28第一章預(yù)備知識全章復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1.通過復(fù)習(xí)理順本章重點(diǎn)知識，如集合運(yùn)算、充分性與必要性的判斷斷、含有一個(gè)量詞命題的否定、基本不等式、解一元二次不等式等知識.2.能綜合應(yīng)用本章知識解決綜合性強(qiáng)的問題.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1)集合的運(yùn)算及集合中的含參問題；(2)常用邏輯用語中的含參問題；(3)利用基本不等式求最值及不等式中的含參問題2.難點(diǎn)(1)集合、常用邏輯用語中的含參問題；(2)解含參的一元二次不等式.一、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)回顧重點(diǎn)知識知識點(diǎn)01集合的相關(guān)概念1.集合的基本概念（1）集合:一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個(gè)集合,通常用大寫拉丁字母來表示集合.（2）元素:集合中的每一個(gè)對象稱為該集合的元素,簡稱元.通常用小寫拉丁字母表示.（3）集合相等:如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同,那么稱這兩個(gè)集合相等.（4）集合中元素的特性:確定性、互異性和無序性.特性含義確定性集合的元素必須是確定的.因此,不能確定的對象不能組成集合,即給定一個(gè)集合,任何對象是不是這個(gè)集合的元素,應(yīng)該可以明確地判斷出來互異性對于一個(gè)給定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意兩個(gè)元素必須都是不同的對象,相同的對象歸入同一個(gè)集合時(shí)只能算作集合中的一個(gè)元素?zé)o序性集合中的元素可以任意排列常見的數(shù)集及符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR元素與集合的關(guān)系(1)屬于:如果a是集合A的元素,那么就記作a∈A,讀作“a屬于A”.(2)不屬于:如果a不是集合A的元素,那么就記作a?A或a?A,讀作“a不屬于A”.4.集合的表示方法(1)列舉法：將集合的元素一一列舉出來,并置于花括號“{}”內(nèi),用這種方法表示集合,元素之間要用逗號分隔,但列舉時(shí)與元素的次序無關(guān).(2)描述法:將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來,寫成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中x為集合的代表元素p(x)指元素x具有的性質(zhì).(3)Venn圖為了直觀地表示集合,常畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合,稱為Venn圖.5.集合的分類按照集合中元素的個(gè)數(shù)分類(1)有限集:含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集;(2)無限集:含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集;(3)空集:把不含任何元素的集合稱為空集,記作?.知識點(diǎn)02集合的基本關(guān)系和基本運(yùn)算1.集合的基本關(guān)系子集真子集概念如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素(若a∈A,則a∈B),那么集合A稱為集合B的子集,記作A?B或B?A,讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”如果A?B,并且A≠B,那么集合A稱為集合B的真子集,記為A?B或B?A,讀作“A真包含于B”或“B真包含A”圖示結(jié)論(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集,即A?A;(2)對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C;(3)規(guī)定??A,即空集是任何集合的子集(1)若A?B且B?C,則A?C;(2)若A?B且A≠B,則A?B;(3)空集是任何非空集合的真子集2.集合的基本運(yùn)算（1）.全集①概念:如果一個(gè)集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集;②記法:通常記作U.（2）補(bǔ)集文字語言設(shè)A?S,由S中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集,記作?SA(讀作“A在S中的補(bǔ)集”)符號語言?SA＝{x｜x∈S,且x?A}圖形語言（3）交集文字語言由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”)符號語言A∩B＝{x｜x∈A,且x∈B}圖形語言運(yùn)算性質(zhì)A∩B＝B∩A,A∩A＝A,A∩?＝?∩A＝?,A∩?UA＝?,A∩B?A,A∩B?B,A?B?A∩B＝A（4）并集文字語言由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”)符號語言A∪B＝{x｜x∈A,或x∈B}圖形語言運(yùn)算性質(zhì)A∪B＝B∪A,A∪A＝A,A∪?＝?∪A＝A,A∪?UA＝U,A?A∪B,B?A∪B,A?B?A∪B＝B知識點(diǎn)03充分條件與必要條件1．定義如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件.2．從邏輯關(guān)系上看①若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；②若p?q，且qeq\o(?,/)p，則p是q的充分不必要條件；③若peq\o(?,/)q且q?p，則p是q的必要不充分條件；④若p?q，則p是q的充要條件；⑤若peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p，則p是q的既不充分也不必要條件．知識點(diǎn)04全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞及全稱量詞命題（1）全稱量詞：短語含有“所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等”在邏輯中通常叫做全稱量詞．并用符號“”表示.（2）含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．表示為：“對M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號簡記為，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．2.存在量詞及存在量詞命題（1）存在量詞：短語含有“存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等”在邏輯中通常叫做存在量詞。（2）含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．表示為“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．命題的否定及含量詞命題的否定命題的否定：命題的條件不變，只否定命題的結(jié)論；（2）量詞命題的否定：先否定量詞，再否定結(jié)論；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．全稱量詞命題的否定為，.存在量詞命題的否定為.（3）“或”的否定為：“非且非”；“且”的否定為：“非或非”．知識點(diǎn)05等式與不等式的性質(zhì)1.不等式關(guān)系與不等式（1）不等式的概念：用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等式關(guān)系，含有這些不等式號的式子，叫做不等式．（2）常見文字語言與符號語言的對應(yīng)關(guān)系文字語言大于、高于、超過小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超過符號語言2.實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大，所以實(shí)數(shù)可以比較大小，如下表所示：文字語言符號語言如果，那么是正數(shù)；如果，那么等于零；如果，那么是負(fù)數(shù)．反之亦然；；3.等式的性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向4.不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點(diǎn)06基本不等式1．基本不等式（1）定理：對于任意的實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．（2）推論：如果，，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．【說明】叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)．上述定理與推論中的不等式通常稱為基本不等式．2．最值定理（1）最值定理：已知都是正數(shù)，=1\*GB3①若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4)．=2\*GB3②若xy＝p(積p為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值，且這個(gè)值為2eq\r(p)．最值定理簡記為：積定和最小，和定積最大．（2）在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．3．基本不等式的變式與拓展（1）基本不等式鏈或．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．其中，為的調(diào)和平均值，為的平方平均值（2）基本不等式的拓展=1\*GB3①三元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．=2\*GB3②元基本不等式：（均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．知識點(diǎn)07一元二次函數(shù)與一元二次不等式1.三個(gè)“二次”的關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2.解一元二次不等式的一般步驟（1）判號：檢查二次項(xiàng)的系數(shù)是否為正值，若是負(fù)值，則利用不等式的性質(zhì)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正值；（2）求根：計(jì)算判別式，求出相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根；①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無解．（3）標(biāo)根：將所求得的實(shí)數(shù)根標(biāo)在數(shù)軸上（注意兩實(shí)數(shù)根的大小順序，尤其是當(dāng)實(shí)數(shù)根中含有字母時(shí)），并畫出開口向上的拋物線示意圖；（4）寫解集：根據(jù)示意圖以及一元二次不等式解集的幾何意義，寫出解集．口訣：大于零?。ǜ﹥蛇?，小于零?。ǜ┲虚g3.含參一元二次不等式的討論依據(jù)（1）對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行大于0，小于0，等于0分類討論；（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，再對判別式進(jìn)行大于0，小于0，等于0的分類討論；（3）當(dāng)判別式大于0時(shí)，再對兩根的大小進(jìn)行討論，最后確定出解集．4.一元高次不等式的解法如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：（1）標(biāo)準(zhǔn)化：通過移項(xiàng)、通分等方法將不等式左側(cè)化為未知數(shù)的正式，右側(cè)化為0的形式；（2）分解因式：將標(biāo)準(zhǔn)化的不等式左側(cè)化為若干個(gè)因式（一次因式或高次因式不可約因式）的乘積，如的形式，其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；（3）求根：求如的根，并在數(shù)軸上表示出來（按照從小到大的順序標(biāo)注）；（4）穿線：從數(shù)軸右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)，穿線時(shí)要遵循“奇穿偶回”的原則（即經(jīng)過偶次根時(shí)應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)仍回到這一側(cè)，經(jīng)過奇數(shù)次根時(shí)應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過到達(dá)數(shù)軸的另一側(cè)），簡稱“擊過偶不過”；（5）寫解集：若不等式“>0”，則找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間；若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間．知識點(diǎn)08其他不等式的解法1．分式不等式的解法（1）（2）（3）（4）2．絕對值不等式解法（1）（2）；；含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對值符號的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解三、熟記重要結(jié)論1．子集個(gè)數(shù)若有限集A中有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.2．等價(jià)關(guān)系A(chǔ)?B?A∪B＝B?A∩B＝A??UA??UB.3．交集與并集的轉(zhuǎn)化(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．4．元素個(gè)數(shù)用card(A)表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．對任意兩個(gè)有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．5．集合法與充分性、必要性若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．總結(jié)：小推大，大不可推小．6．常用的正面敘述詞語和它的否定詞語正面詞語等于(＝)大于(>)小于(<)是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面詞語都是任意的所有的至多有一個(gè)至少有一個(gè)否定詞語不都是某個(gè)某些至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有7.命題否定真假的判斷因?yàn)槊}p與非p的真假性相反，所以不管是全稱量詞命題還是存在量詞命題，當(dāng)其真假不易判斷時(shí)，可先判斷其否定的真假．8.有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；a>b，ab<0?eq\f(1,a)>eq\f(1,b).(2)a>b>0，0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(3)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).9.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(a－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．10.常用的幾個(gè)重要不等式(1)a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)．(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)(a>0，b>0)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.11．輪換對稱不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc))eq\a\vs4\al(a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立)12．三元基本不等式eq\r(3,abc)≤eq\f(a＋b＋c,3)，其中a>0，b>0，c>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立．13.一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).(5)對于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立時(shí)，最高次數(shù)的系數(shù)含參要考慮為零情況。13.區(qū)間恒成立問題函數(shù)在某區(qū)間恒成立時(shí)，若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.題型01元素與集合的綜合應(yīng)用【典例1-1】(2025·廣東清遠(yuǎn)模擬)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，則C＝{x|x＝2a＋b，a∈A，b∈B}中的元素個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】由題意，x＝2a＋b，當(dāng)a＝1，b＝5時(shí)，x＝7；當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，x＝5；當(dāng)a＝2，b＝5時(shí)，x＝9；當(dāng)a＝2，b＝3時(shí)，x＝7；當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，x＝11；當(dāng)a＝3，b＝3時(shí)，x＝9.由集合中的元素滿足互異性，可得C＝{5，7，9，11}．故選B.【典例1-2】(多選)若2∈{m－1，2m，m2－1}，則實(shí)數(shù)m的可能取值為()A．3 B.eq\r(3)C．1 D．－eq\r(3)【答案】ABD【解析】①若m－1＝2，則m＝3，此時(shí)集合中的元素為2，6，8，滿足題意．②若2m＝2，則m＝1，此時(shí)m2－1＝m－1＝0，不滿足集合中元素的互異性．③若m2－1＝2，則m＝±eq\r(3)，當(dāng)m＝eq\r(3)時(shí)，集合中的元素為eq\r(3)－1，2eq\r(3)，2，滿足題意；當(dāng)m＝－eq\r(3)時(shí)，集合中的元素為－eq\r(3)－1，－2eq\r(3)，2，滿足題意．故選ABD.【典例1-3】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A＝?，則實(shí)數(shù)a的取值集合為________；（2）若集合A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值集合為________．【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a>\f(9,8)))))（2）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,8)))【解析】（1）若A＝?，則關(guān)于x的方程ax2－3x＋2＝0無實(shí)根，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝9－8a<0，得a>eq\f(9,8).綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a>\f(9,8))))).（2）集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，當(dāng)a＝0時(shí)，可得x＝eq\f(2,3)，集合A中只有一個(gè)元素eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2－3x＋2＝0只有一個(gè)解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq\f(9,8).綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,8))).理解集合的含義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合．(2)看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么．注意：利用集合元素的限制條件或元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．【變式1-1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，例：0.3333……就是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，可記為，同理：……，若集合，則A中所有元素的和為（

）A．44 B．110 C．132 D．143【答案】D【分析】由無限循環(huán)小數(shù)可寫成等比數(shù)列的無窮項(xiàng)和，可得分?jǐn)?shù)形式，再由列舉法可得集合，求和可得所求．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以n可以為1，3，9，11，33，99，所以可以為因?yàn)閍和b是不同的數(shù)字，所以可以為，此時(shí)，所以A中所有元素的和為.故選：D.【變式1-2】（多選）（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．由所確定的實(shí)數(shù)集合為B．同時(shí)滿足的整數(shù)解的集合為C．集合可以化簡為D．中含有三個(gè)元素【答案】BC【分析】利用絕對值的意義，去絕對值符號，即可判定A；解不等式得到x的取值范圍，用列舉法表示出整數(shù)解的集合即可判定B；由，，，用列舉法可判定C；用試根的方式找出滿足條件的元素可判斷D.【詳解】解：對于選項(xiàng)A，當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，原式當(dāng)都是負(fù)數(shù)時(shí)，原式當(dāng)兩正一負(fù)時(shí)，原式當(dāng)兩負(fù)一正時(shí)，原式故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，由，得，所以符合條件的整數(shù)解的集合為，故B正確；對于選項(xiàng)C，由，，，可以得到符合條件的數(shù)對有，，，故C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以集合A含有四個(gè)元素2，1，0，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【變式1-3】（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）集合中的所有元素中最大的元素為，最小的元素為.【答案】7【分析】利用基本不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由知，，當(dāng)，時(shí)，得最大元素，又，當(dāng)時(shí)，得最小元素.【變式1-4】（2025·甘肅慶陽·二模）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】3【分析】因?yàn)?，則或，由此可解出，再代入集合驗(yàn)證，需要滿足集合的互異性，由此可得答案.【詳解】因?yàn)椋苑譃橐韵聝煞N情況：①或，當(dāng)時(shí)，集合滿足題意；當(dāng)時(shí)，集合，違反了集合的互異性，故舍去；②，此時(shí)集合，違反了集合的互異性，故舍去；綜上所述，.題型02集合基本關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例2-1】(2025·四川成都診斷考試)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的關(guān)系是()A．S?P?M B．S＝P?MC．S?P＝M D．P＝M?S【答案】C【解析】任取a∈M，則a＝5k1－2＝5(k1－1)＋3，k1∈Z，所以a∈P，所以M?P；任取b∈P，則b＝5n1＋3＝5(n1＋1)－2，n1∈Z，所以b∈M，所以P?M，所以M＝P；任取c∈S，則c＝10m1＋3＝5×2m1＋3，m1∈Z，所以c∈P，所以S?P，又8∈P，8?S，所以S≠P，所以S?P＝M.故選C.【典例2-2】（2025·河南·二模）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合，然后根據(jù)列不等式組即可求解.【詳解】由題意可得，又，，所以，解得.故選：B.1．判斷兩集合間關(guān)系的三種方法2．由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略(1)若集合元素是一一列舉的，則將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時(shí)注意集合中元素的互異性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到．提醒：題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進(jìn)行討論．【變式2-1】（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知集合，，，則的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將集合中元素化為統(tǒng)一形式，然后進(jìn)行判斷即可.【詳解】，,，故故選：B.【變式2-2】（24-25高一上·山東泰安·階段練習(xí)）下列每組集合是相等集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的概念判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，，故，所以A錯(cuò)誤；對于B，為點(diǎn)集，為數(shù)集，故，所以B錯(cuò)誤；對于C，，，故，所以C錯(cuò)誤；對于D，數(shù)集和數(shù)集元素一樣，故，所以D正確，故選：D.【變式2-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合集合中元素的特性即可得答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意，②當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意，故選：C.【變式2-4】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式不等式求解集合A及，然后按照和分類討論，根據(jù)集合的關(guān)系列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或，所以或，所以，?dāng)時(shí)，，解得，滿足；當(dāng)時(shí)，要使，則，解得，綜上，，即的取值范圍是.故選：D題型03集合間的綜合運(yùn)算【典例3-1】設(shè)全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交并補(bǔ)的運(yùn)算逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)椋曰?，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?，，所以，所以或x>1，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以D正確.故選：D【典例3-2】已知M，N均為R的子集，且?RM?N，則M∪(?RN)＝()A．?B．MC．N D．R【答案】B【解析】解法一：∵?RM?N，∴M??RN，據(jù)此可得M∪(?RN)＝M.故選B.解法二：如圖所示，設(shè)矩形區(qū)域ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合?RM，矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足?RM?N，結(jié)合圖形可得M∪(?RN)＝M.故選B.集合綜合運(yùn)算的求解策略(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算．(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解．對于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn)．(3)解決抽象集合(沒有給出具體元素的集合)間的關(guān)系判斷和運(yùn)算問題的途徑有兩條：一是利用特殊值法將抽象集合具體化；二是利用圖形化抽象為直觀．【變式3-1】（多選）設(shè)U為全集，下面三個(gè)命題中為真命題的是（

）A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則.【答案】ABD【分析】利用集合間的基本關(guān)系及交并補(bǔ)的概念與運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】對于A，若，則成立，即A正確；對于B，若，則成立，即B正確；對于C，不妨設(shè)，有，但不成立，即C錯(cuò)誤；對于D，若，則集合A、集合B中均沒有元素，即D正確.故選：ABD【變式3-2】設(shè)全集，集合，，則．【答案】【分析】由全集，可得，然后根據(jù)集合混合運(yùn)算的法則即可求解．【詳解】，，，，，故答案為：．【變式3-3】已知集合，或.(1)若全集，求、；(2)若全集，求.【分析】（1）（2）利用并集、補(bǔ)集、交集的定義直接求解即可.【詳解】（1）集合，或，則或，或，所以或.（2）由或，得，所以.題型04由集合的運(yùn)算求參【典例4-1】已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再依據(jù)已知條件和即可得解.【詳解】解得或，故，又，，所以.故選：A.【典例4-2】已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(0，4)B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)【答案】C【解析】由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因?yàn)锳∩(?RB)＝{1，2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解．(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍．【變式4-1】（2025·江西萍鄉(xiāng)·三模）已知集合，，，若集合C有3個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)m的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合有3個(gè)真子集可得中有兩個(gè)不同的元素，故求出的范圍后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橛?個(gè)真子集，所以中有2個(gè)元素，故中有兩個(gè)元素，故且，則，解得且.故選：C.【變式4-2】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根據(jù)集合間的關(guān)系得出參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.【變式4-3】（2025·重慶九龍坡·三模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求得，由已知可得，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，解得，所以，由，可得，又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.題型05集合中的新定義題【典例】(2025·山東青島模擬)若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，稱兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”．對于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則a的值為________．【答案】0或1或4【解析】因?yàn)锽＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，則B＝?，滿足B為A的子集，此時(shí)A與B構(gòu)成“全食”；若a>0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.綜上，a的值為0或1或4.解決以集合為背景的新定義問題要抓住的兩點(diǎn)(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．【變式5-1】（24-25高三·遼寧遼陽·模擬）我們將集合S的子集為元素的集合稱為S的一個(gè)子集族.例如集合有3個(gè)子集族：.若集合B中有3個(gè)元素，則B的不同子集族有（

）A．128個(gè) B．127個(gè) C．256個(gè) D．255個(gè)【答案】D【分析】我們定義全子集族為：子集族內(nèi)的集合加上空集本身，先得出集合的子集個(gè)數(shù)，類比可得不同全子集族、不同子集族個(gè)數(shù).【詳解】我們定義全子集族為：子集族內(nèi)的集合加上空集本身，一般地，設(shè)集合中有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，我們對所有子集按元素個(gè)數(shù)分類為：，則集合不同的全子集族個(gè)數(shù)為個(gè)，從而集合不同的子集族個(gè)數(shù)為個(gè)，若集合B中有3個(gè)元素，從而B的不同子集族有個(gè).故選：D.2．（23-24高一上·北京·期中）定義集合的“長度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，則集合的“長度”的最小值是；若，集合的“長度”大于，則n的取值范圍是.【答案】/【分析】空1：根據(jù)區(qū)間長度定義得到關(guān)于的不等式組，再分類討論即可；空2：代入得到，再根據(jù)區(qū)間長度大于，得到關(guān)于的不等式組，解出即可.【詳解】集合，，且M，N都是集合的子集，由，可得，由，可得．要使的“長度”最小，只有當(dāng)取最小值、取最大或取最大、取最小時(shí)才成立.當(dāng)，，，“長度”為，當(dāng)，，，“長度”為，故集合的“長度”的最小值是；若，，要使集合的“長度”大于，故或即或又，故.題型06充分、必要條件的判斷【典例6-1】已知x，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】通過特例，結(jié)合充分必要條件的判定方法即可判斷.【詳解】，而同樣，而，所以充分性、必要性都不成立.故選：D【典例6-2】已知集合，則是的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．既不充分又不必要條件D．充要條件【答案】A【分析】若求出的取值，當(dāng)時(shí)判斷是否正確，判斷時(shí)，是否可能為.【詳解】若，則且，所以或，故當(dāng)時(shí)有，而時(shí)，不一定是，故是的充分而不必要條件.故選：A.判斷充分、必要條件的兩種方法(1)定義法(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于命題中涉及字母取值范圍的推斷問題.【變式6-1】設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】應(yīng)用特殊值法結(jié)合既不充分也不必要條件定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，,所以是的不充分條件；當(dāng)時(shí)，,所以是的不必要條件.故選：D.【變式6-2】“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先將等式變形化簡，再分析推出關(guān)系可得.【詳解】，又，即，但，如時(shí)滿足，但.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式6-3】已知，，則是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充要也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式表示的范圍大小得出和的包含關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】易知集合是集合的真子集，即可得，所以是的充分而不必要條件.故選：A題型07由充分、必要條件求參【典例7】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件，則m的取值范圍為________．【答案】(1)[0，3](2)[9，＋∞)【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則S?P，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范圍為[0，3]．(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件，則PS，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，故m的取值范圍為[9，＋∞)．由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價(jià)變形；(2)端點(diǎn)值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍.【變式7-1】（多選）（24-25高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）．A． B． C． D．【答案】AB【分析】由題意可得根據(jù)題意推出是A的真子集，分，討論，即可求得實(shí)數(shù)的可能取值范圍，從而得結(jié)論．【詳解】由題意集合，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故是A的真子集，當(dāng)時(shí)，則，即時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，所以，綜上，實(shí)數(shù)的范圍為，結(jié)合選項(xiàng)可知AB符合題意.故選：AB．【變式7-2】（24-25高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的所有取值組成的集合是.【答案】【分析】用列舉法表示集合，利用充分不必要條件的定義，借助集合的包含關(guān)系分類求解即得.【詳解】依題意，，，顯然，由“”是“”的充分不必要條件，得，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，方程的根為和，顯然，否則，不符合題意，因此，解得，此時(shí)，符合題意，所以實(shí)數(shù)的所有取值組成的集合是.題型08全稱量詞命題與存在量詞命題【典例8-1】(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知命題p：?x∈R，|x＋1|>1；命題q：?x>0，x3＝x，則()A．p和q都是真命題B．和q都是真命題C．p和都是真命題D．和都是真命題【答案】B【解析】對于p，取x＝－1，則有|x＋1|＝0<1，故p是假命題，是真命題．對于q，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，是假命題．綜上，綈p和q都是真命題．故選B.【典例8-2】(2025·陜西渭南模擬)已知a∈R，命題p：?x∈[1，2]，x2－a≥0，命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命題p，q均為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－∞，－2]∪{1}【解析】若命題p為真命題，則?x∈[1，2]，a≤x2恒成立，又當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，x2的最小值為1，所以a≤1；若命題q為真命題，則Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪{1}．1．判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路2．由命題的真假求參數(shù)取值范圍的策略（1）全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題（2）含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決【變式8-1】（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】由題意可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槊}“，使”是假命題，所以，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故選：A.【變式8-2】（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知命題p：，；q：，.均為真命題，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，分和，結(jié)合開口方向，根的判別式得到不等式，求出為真命題，需滿足，再利用根的判別式得到為真命題，需滿足，求交集得到答案.【詳解】恒成立，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，故為真命題，需滿足，，，則，解得，故為真命題，需滿足，綜上，的取值范圍為故選：D【變式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）已知命題，命題，若為假命題且為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】假命題的否定是真命題，二次不等式求解借助二次函數(shù)的開口方向和判別式來建立不等關(guān)系，得出范圍；最高項(xiàng)系數(shù)含參的二次型函數(shù)要注意分類討論參數(shù).【詳解】依題意，是假命題，所以，是真命題，則，解得或.又因?yàn)槭钦婷}，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，一定存在滿足條件的綜上，或.綜上，的取值范圍是.題型09不等式性質(zhì)及應(yīng)用【典例9-1】下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】選項(xiàng)A、C、D可有反例推導(dǎo)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B利用不等式性質(zhì)推導(dǎo)可得.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因，，所以，得，故B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，滿足，，但，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，滿足，，但，故D錯(cuò)誤，故選：B【典例9-2】已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示)．【答案】(3，8)【解析】解法一：設(shè)2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，對應(yīng)系數(shù)相等，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)∈(3，8)．解法二：令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝x＋y，,b＝x－y，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a＋b,2)，,y＝\f(a－b,2)，))∴2x－3y＝2×eq\f(a＋b,2)－3×eq\f(a－b,2)＝－eq\f(a,2)＋eq\f(5,2)b∈(3，8)．1．用不等式性質(zhì)求代數(shù)式取值范圍的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)注意題設(shè)和結(jié)論中代數(shù)式的關(guān)系，設(shè)計(jì)求解步驟．(2)正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘(同正)不可除．2．利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范圍．(1)設(shè)g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)．(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q.(3)根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范圍．【變式9-1】已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對ABD舉反例即可判斷，對C利用作差法即可判斷.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，所以A不正確；對B，當(dāng)時(shí)，滿足，但，所以B不正確；對C，因?yàn)?，因?yàn)?，且，可得，所以，所以C正確；對D，舉例，則，則，所以D不正確.故選：C.【變式9-2】(多選)已知6<a<60，15<b<18，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(a,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)) B．a(chǎn)＋b∈(21，78)C．a(chǎn)－b∈(－9，42) D.eq\f(a＋b,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(39,9)))【答案】AB【解析】因?yàn)?<a<60，15<b<18，所以eq\f(1,18)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，－18<－b<－15，所以eq\f(6,18)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，6＋15<a＋b<60＋18，6－18<a－b<60－15，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4，21<a＋b<78，－12<a－b<45.于是eq\f(a＋b,b)＝eq\f(a,b)＋1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，5)).故A，B正確，C，D錯(cuò)誤．題型10基本不等式的綜合應(yīng)用【典例10-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）若，且，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】對目標(biāo)式合理變形，再利用基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：B.【典例10-2】（多選）（2025·河北張家口·三模）已知，，且，若，則（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】利用基本不等式判斷BC，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為根據(jù)定義域問題求值域，判斷AD.【詳解】A.由條件可知，，，則，故A錯(cuò)誤；B.由題意可知，，則，當(dāng)時(shí)等號成立，則的最小值為，故B正確；C.，當(dāng)，即時(shí)等號成立，則的最小值為，故C正確；D.，當(dāng)，均單調(diào)遞增，且時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)取得最大值5，且時(shí)，，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.利用基本不等式求最值的條件和配湊方法提醒：注意配湊過程要進(jìn)行等價(jià)變形；明確目標(biāo)，即配湊出和或積為定值．【變式10-1】（多選）（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，由基本不等式建立不等式，可得其正誤；對于B，由等量關(guān)系可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得其正誤；對于C，利用基本不等式隱藏“1”的妙用，可得其正誤；對于D，由等量關(guān)系可得函數(shù)解析式，利用基本不等式，可得其正誤.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，則，故A正確；對于B，由，則，由，則，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，故C正確；對于D，由B易知，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，則，故D正確.故選：ACD.【變式10-2】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是．【答案】【分析】方法一，利用換元法，然后根據(jù)基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根據(jù)基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】方法一設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)取等號，．方法二，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，．故答案為：【變式10-3】（2025高三上·全國·專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，而不等式有解，所以，即，解得或．題型11解含參的一元二次不等式【典例11】（1）解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax；解關(guān)于x的不等式eq\f(ax,x－1)<1(a>0)．【解析】（1）原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.②當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.當(dāng)eq\f(2,a)>－1，即a<－2時(shí)，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；當(dāng)eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1滿足題意；當(dāng)eq\f(2,a)<－1，即－2<a<0時(shí)，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,a)，或x≤－1))))；當(dāng)－2<a<0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式的解集為{－1}；當(dāng)a<－2時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).（2）eq\f(ax,x－1)<1?eq\f(（a－1）x＋1,x－1)<0?[(a－1)x＋1](x－1)<0.①當(dāng)a＝1時(shí)，容易解得x<1；②當(dāng)a>1時(shí)，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a－1)))(x－1)<0，解得eq\f(1,1－a)<x<1；③當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,1－a)－1＝eq\f(a,1－a)>0，所以eq\f(1,1－a)>1，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,1－a)))(x－1)>0，解得x<1或x>eq\f(1,1－a).綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<1，或x>\f(1,1－a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<1}；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－a)<x<1)))).解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的方法(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．【變式11-1】（24-25高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）關(guān)于的不等式，其中，則該不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】考慮和兩種情況，當(dāng)時(shí)將不等式變形為，根據(jù)根的大小關(guān)系得到，，三種情況，解不等式對比選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，即，，故不等式的解集為，故A可能；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，的解集為，故D可能；當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，的解集為，故B可能.故選：C【變式11-2】（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【分析】當(dāng)時(shí)，不等式化為；當(dāng)時(shí)，可化為，后討論與4的大小可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，若，不等式解為或；若，不等式解為；若，不等式解為或；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，不等式解為.綜上，時(shí)，不等式解為；時(shí)，不等式解為或；時(shí)，不等式解為；時(shí)，不等式解為或；時(shí)，不等式解為.題型12利用三個(gè)二次關(guān)系求參【典例12-1】（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】AB【分析】一元二次不等式的解集可判斷AB：用表示代入可判斷CD.【詳解】不等式的解集為，所以是的兩個(gè)根，且，故A正確；對于B，所以，可得，所以，所以不等式的解集是，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，可得，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋唇?，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【典例12-2】已知關(guān)于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，則a＝________．【答案】－16【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的兩個(gè)根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a－8，所以x2－x1＝eq\r(（x2＋x1）2－4x1x2)＝2eq\r(9－a)＝10，解得a＝－16.利用三個(gè)二次關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍(1)一元二次方程的根就是對應(yīng)一元二次函數(shù)值為0時(shí)的x的值，也是對應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值．(2)給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了對應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．【變式12-1】（多選）已知不等式，則下列說法正確的是（

）A．若，則不等式的解集為B．若不等式的解集為，則C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，【答案】ABD【分析】對于A解一元二次不等式即可判斷，對于BC根據(jù)不等式的解集可知對應(yīng)一元二次方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可判斷，對于D，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及絕對值不等式即可判斷.【詳解】對于A，時(shí)，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為，A正確；對于B，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開口向下，即，且方程的兩根為，故，所以，B正確；對于C，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開口向下，即，且方程的兩根為，故，C錯(cuò)誤；對于D，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開口向下，即，且方程的兩根為，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，D正確.故選：ABD.【變式12-2】（2026高三·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類時(shí)，分別得出解析計(jì)算求參.【詳解】不等式可化為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，所以；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，所以．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【變式12-3】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍(3)若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）由題意可得是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可；（2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案；（3）結(jié)合（2）求出在上的最大值，即可得答案【詳解】（1）由題意可得是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，解得;（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則的最小值為，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，則的最大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型13不等式恒成立及能成立問題【典例13-1】（24-25高三上·河南許昌·期中），恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】分離參數(shù)變?yōu)樵谏虾愠闪ⅲ没静坏仁角蠼庾钪档茫纯傻媒?【詳解】，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，則實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C【典例13-2】（23-24高二上·浙江·期中）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（

）A．9 B．6 C． D．5【答案】D【分析】問題化為在區(qū)間上有解，應(yīng)用基本不等式求右側(cè)最小值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，等價(jià)于在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值6.故，可得.故選：D1.一元二次不等式在R上恒成立這類題型一般轉(zhuǎn)化為根的判別式的大小關(guān)系求解2.在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若y>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式y(tǒng)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，y≥a恒成立?ymin≥a，即m≥a；y≤a恒成立?ymax≤a，即n≤a.(3)對于以下兩種題型，可以利用二次函數(shù)在端點(diǎn)m，n處的取值特點(diǎn)確定不等式求范圍．①ax2＋bx＋c<0(a>0)對x∈[m，n]恒成立；②ax2＋bx＋c>0(a<0)對x∈[m，n]恒成立．3.解決不等式能成立（有解）問題的策略一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，即a>y能成立?a>ymin；a≤y能成立?a≤ymax.【變式13-1】（24-25高三上·安徽池州·期中）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分離變量法整理不等式，構(gòu)造函數(shù)解析式，求得新函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，可得答案.【詳解】由題，，，即，即在上有解，設(shè)，則，，易知函數(shù)在上隨x的增大而增大，在上隨的增大而減小，當(dāng)x=1時(shí)，，則，所以.故選：B.【變式13-2】（24-25高三下·上?！るA段練習(xí)）若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的值為【答案】/【分析】通過二次函數(shù)的性質(zhì)和方程的根，列出不等式求出結(jié)果.【詳解】解：若，則當(dāng)趨于時(shí)，趨于，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，是方程的一個(gè)根，不等式對任意恒成立，且方程的兩根不相等，所以是方程的根，，，得，此時(shí)原不等式等價(jià)于，顯然時(shí)恒成立，實(shí)數(shù)m的值為，【變式13-3】已知函數(shù)f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在區(qū)間(m－1，－2m)上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))【解析】∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)<1，即x2－4x－5<0，解得－1<x<5，即x∈(－1，5)．∵f(x)<1在區(qū)間(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)?(－1，5)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m－1<－2m，,－2m≤5，))解得0≤m<eq\f(1,3)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).一、單選題1．(2025·鄂豫皖五十三校聯(lián)考)已知命題p：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則是()A．?x∈R，－x<0B．?x∈R，－x≤0C．?x∈R，－x≤0D．?x∈R，－x<0【答案】B【解析】已知命題p：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，即p：?x∈R，－x>0，則：?x∈R，－x≤0.故選B.2．（2025·山西臨汾·三模）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槿?，，，所以，則.故選：A3．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】.由，可得，所以.所以.故選：C.4．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）設(shè)，，若是的充分條件，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)充分條件在集合中的表示方法，判斷集合的包含關(guān)系即可.【詳解】由題意，得，因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以即，已知二次函數(shù)，開口向上，與軸交于，僅當(dāng)滿足．故選：D．5．若a，b∈(0，＋∞)，且eq\r(a)＋eq\f(4,b)＝9，則b＋eq\f(\r(a),a)的最小值為()A．9 B．3C．1 D.eq\f(1,3)【答案】C【解析】∵a，b∈(0，＋∞)，且eq\r(a)＋eq\f(4,b)＝9，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(a),a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(4,b)))＝beq\r(a)＋4＋1＋eq\f(4,b\r(a))＝5＋beq\r(a)＋eq\f(4,b\r(a))≥5＋2eq\r(b\r(a)·\f(4,b\r(a)))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)beq\r(a)＝eq\f(4,b\r(a))時(shí)，等號成立，∴9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(a),a)))≥9，故b＋eq\f(\r(a),a)≥1，即b＋eq\f(\r(a),a)的最小值為1.故選C.6.(2025·山西太原模擬)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)【答案】C【解析】根據(jù)圖形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝eq\f(CD2,OD)＝eq\f(ab,\f(a＋b,2)).由于OD≥CD，所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)．7．(2025·云南名校聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則a的取值范圍為()A．[－1，0] B．(－1，0)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)【答案】A【解析】由x2－x－2<0，解得－1<x<2，則A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則集合A是集合B的真子集，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1≤－1，,a＋3≥2，))且等號不同時(shí)成立，解得－1≤a≤0，所以a的取值范圍為[－1，0]．8．調(diào)查了100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說法正確的是()A．最多人數(shù)是55 B．最少人數(shù)是55C．最少人數(shù)是75 D．最多人數(shù)是80【答案】B【解析】設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B.又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則x∈[0，20]，以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意列出Venn圖，如圖所示．由圖可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人數(shù)是55.故選B.二、多選題9．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，則（

）A．的取值有個(gè) B．C． D．所有子集的個(gè)數(shù)為【答案】BCD【分析】利用集合的包含關(guān)系結(jié)合集合元素的互異性可求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用交集的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并集的定義可判斷C選項(xiàng)；利用集合的運(yùn)算結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，則或，且，，解得，故的取值只有個(gè)，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，，所以，故B正確；對于C選項(xiàng)，，，故C正確；對于D選項(xiàng)，，所以，，則，其的子集的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：BCD.10．（多選）（2025·河北張家口·三模）已知，，且，若，則（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】利用基本不