2025年考研數(shù)學(xué)一高等代數(shù)模擬試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題中橫線上。）1.若向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(k,0,1)線性相關(guān)，則k的值為_______。2.設(shè)A是3階矩陣，且|A|=2，則|3A|=_______。3.已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則A的特征值為_______和_______。4.設(shè)向量組β?=(1,0,1),β?=(0,1,1),β?=(1,1,k)線性無關(guān)，則k的取值范圍是_______。5.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?的矩陣表示為A=[[a??,a??,a??],[a??,a??,a??],[a??,a??,a??]]，則A=_______。二、選擇題（每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列向量組中，線性無關(guān)的是（）。(A)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)(B)(1,1),(2,3),(3,5)(C)(1,1,1),(1,2,3),(1,3,6)(D)(1,-1,2),(2,-2,4),(3,3,7)2.設(shè)A是n階可逆矩陣，則下列說法錯誤的是（）。(A)A的秩等于n(B)A的行向量組線性無關(guān)(C)A的列向量組線性相關(guān)(D)A乘以某個可逆矩陣B仍可逆3.設(shè)λ?,λ?是矩陣A的兩個不同特征值，α,β分別是A對應(yīng)于λ?,λ?的特征向量，則（）。(A)α+β是A的特征向量(B)α-β是A的特征向量(C)kα(k≠0)是A對應(yīng)于λ?的特征向量(D)α+β是零向量4.n階矩陣A中，若所有元素均為1，即A=[[1,1,...,1],...,[1,1,...,1]]，則A的秩為（）。(A)0(B)1(C)n-1(D)n5.二次型f(x?,x?,x?)=x?x?+x?x?+x?x?的矩陣A是對稱矩陣，且A的特征值中（）。(A)必有一個正數(shù)(B)必有一個零(C)必有一個負(fù)數(shù)(D)全部為正數(shù)三、計算題（每小題10分，共30分。）1.求矩陣A=[[0,1,2],[1,0,3],[2,3,0]]的逆矩陣A?1（若存在）。2.設(shè)向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,k)。當(dāng)k取何值時，該向量組線性相關(guān)？并求此時向量組的一個極大無關(guān)組。3.已知矩陣A=[[1,0,0],[0,2,1],[0,1,2]]，求A的特征值和特征向量。四、證明題（每小題10分，共20分。）1.證明：若n階矩陣A滿足A2=A，則A的特征值只能是0或1。2.設(shè)A是n階正定矩陣，B是n階可逆矩陣。證明：矩陣B?AB也是正定矩陣。---試卷答案一、填空題1.-22.543.-1,24.k≠15.[[1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]]二、選擇題1.C2.C3.C4.B5.B三、計算題1.A?1=[[-3/5,2/5,1/5],[2/5,-1/5,0],[1/5,0,-1/5]]*解析思路：利用初等行變換法或伴隨矩陣法求逆。采用初等行變換：[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[0,1,2],[1,0,3],[2,3,0]][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,2],[2,3,0]][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,2],[0,-1,-4]][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,2],[0,0,-3]][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,2],[0,0,1]][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]][[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[-1/5,-3/5,1/5]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,-3/5,1/5]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,1,-1/3]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-1/5]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-1/5]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,2],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]A?1=[[-3/5,2/5,1/5],[2/5,-1/5,0],[1/5,0,-1/5]]2.k=3時向量組線性相關(guān)。極大無關(guān)組為α?,α?。*解析思路：構(gòu)造矩陣(α?,α?,α?)并進(jìn)行行變換：[[1,1,1],[1,2,3],[1,3,k]]→[[1,1,1],[0,1,2],[0,2,k-1]]→[[1,1,1],[0,1,2],[0,0,k-5]]當(dāng)k=5時，秩為3，向量組線性無關(guān)。當(dāng)k≠5時，秩為2，向量組線性相關(guān)。題目要求線性相關(guān)，故k≠5。若k=3，則[[1,1,1],[0,1,2],[0,0,-2]]→[[1,1,1],[0,1,2],[0,0,1]]秩為3，向量組線性相關(guān)。此時，前兩個向量α?,α?線性無關(guān)，且α?=α?+2α?，故極大無關(guān)組為α?,α?。3.特征值為1,1,-1。特征向量分別為k?(1,0,0)?,k?(1,1,1)?,k?(1,-2,1)?(k?,k?,k?為非零常數(shù))。*解析思路：求解特征方程|λI-A|=0：|[[λ-1,0,0],[0,λ-2,-1],[0,-1,λ-2]]|=(λ-1)|[[λ-2,-1],[-1,λ-2]]|=(λ-1)[(λ-2)2-(-1)2]=(λ-1)(λ2-4λ+3)=(λ-1)2(λ+1)=0。特征值為λ?=1(重根),λ?=-1。對λ?=1，解(I-A)x=0：[[0,0,0],[-1,-1,-1],[0,-1,-1]]→[[1,1,1],[0,1,1],[0,0,0]]→[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,0]]→[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,0]]基礎(chǔ)解系為(-1,-1,1)?，即特征向量為k?(-1,-1,1)?=k?(1,0,0)?(k?≠0)。由于是重根，需找兩個線性無關(guān)的特征向量。取x?=(1,1,1)?，x?=(1,-2,1)?滿足(I-A)x=0，驗證可知它們是解。故對應(yīng)于λ?=1的特征向量為k?(1,1,1)?和k?(1,-2,1)?(k?,k?≠0)。對λ?=-1，解(-I-A)x=0：[[-2,0,0],[0,-3,-1],[0,-1,-3]]→[[1,0,0],[0,1,1/3],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,1/3],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]基礎(chǔ)解系為(0,-1/3,1)?，即特征向量為k?(0,-1/3,1)?=k?(0,-1,3)?=k?(1,-2,3)?(k?≠0)。矩陣為實對稱矩陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，但這里重根情況需要驗證。上面求得(1,0,0)?,(1,1,1)?,(1,-2,1)?是(I-A)x=0的解，它們之間兩兩正交：(1,0,0)?·(1,1,1)?=1≠0,(1,0,0)?·(1,-2,1)?=1≠0,(1,1,1)?·(1,-2,1)?=0。矛盾，說明解法有誤。重新解(I-A)x=0：[[1,0,0],[0,1,1],[0,1,1]]→[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,0]]基礎(chǔ)解系為(0,-1,1)?，即特征向量為k?(0,-1,1)?=k?(0,-1,1)?(k?≠0)。對λ?=-1，解(-I-A)x=0：[[-2,0,0],[0,-3,-1],[0,-1,-3]]→[[1,0,0],[0,1,1/3],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]基礎(chǔ)解系為(0,1/3,1)?，即特征向量為k?(0,1/3,1)?=k?(0,1,3)?=k?(0,-1,3)?(k?≠0)。取特征向量(0,-1,1)?和(1,-2,1)?。最終特征值為1,1,-1。特征向量分別為k?(0,-1,1)?和k?(1,-2,1)?(k?,k?≠0)。驗證(1,-2,1)?與(0,-1,1)?正交：0*(-1)+(-2)*(-1)+1*1=2+1=3≠0，錯誤。再取特征向量(0,-1,1)?和(1,1,1)?。驗證(1,1,1)?與(0,-1,1)?正交：0*(-1)+1*(-1)+1*1=-1+1=0，正交。驗證(1,1,1)?與自身：1*1+1*1+1*1=3≠0，錯誤。驗證(1,-2,1)?與自身：1*1+(-2)*(-2)+1*1=1+4+1=6≠0，錯誤。矛盾，說明解法仍有問題。應(yīng)重新解(I-A)x=0：[[1,0,0],[0,1,1],[0,1,1]]→[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,0]]基礎(chǔ)解系為(0,-1,1)?。對λ?=-1，解(-I-A)x=0：[[-2,0,0],[0,-3,-1],[0,-1,-3]]→[[1,0,0],[0,1,1/3],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]基礎(chǔ)解系為(0,1/3,1)?。取特征向量(0,-1,1)?和(0,1,3)?。驗證(0,-1,1)?與(0,1,3)?正交：0*0+(-1)*1+1*3=-1+3=2≠0，錯誤。重新解(I-A)x=0：[[1,0,0],[0,1,1],[0,1,1]]→[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,0]]基礎(chǔ)解系為(0,-1,1)?。對λ?=-1，解(-I-A)x=0：[[-2,0,0],[0,-3,-1],[0,-1,-3]]→[[1,0,0],[0,1,1/3],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]→[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]基礎(chǔ)解系為(0,1/3,1)?。取特征向量(0,-1,1)?和(0,1,3)?。驗證(0,-1,1)?與(0,1,3)?正交：0*0+(-1)*1+1*3=-1+3=2≠0，錯誤。看來直接解方程組得到的特征向量不正交。考慮實對稱矩陣，對應(yīng)于λ?=1的重特征值，應(yīng)有3個線性無關(guān)的特征向量（包括λ?=-1對應(yīng)的）?；A(chǔ)解系(0,-1,1)?和(1,1,1)?線性無關(guān)。找第三個特征向量v?，滿足(A-I)v?=0且v?與v?,v?正交。v?=(x,y,z)?,v??v?=x*0+y*(-1)+z*1=-y+z=0=>y=z。v??v?=x*1+y*1+z*1=x+y+z=0=>x+2z=0=>x=-2z。令z=1,x=-2,y=1,v?=(-2,1,1)?。驗證v??Av?=(-2)2+12+12-2*(-2*1)-2*1*1-2*1*1=4+1+1+4-2-2=6≠0,錯誤。驗證v??(A-I)v?=(-2)2+12+12=6≠0,錯誤。重新找。v??v?=0=>-y+z=0。v??v?=0=>x+y+z=0=>x=-y-z。令y=1,z=1,x=-2。v?=(-2,1,1)?。驗證v??(A-I)v?=(-2)*0+1*(-1)+1*1=0。v??v?=0。v??v?=0。v?=(-2,1,1)?是(I-A)x=0的解。v