2025年下學期高二數(shù)學規(guī)范答題訓練試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((1,2)\cup(2,+\infty))函數(shù)(f(x)=\log_2(x^2-2x-3))的單調遞增區(qū)間是（）A.((-\infty,-1))B.((3,+\infty))C.((-\infty,1))D.((1,+\infty))已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.-3B.-1C.1D.3某外賣平臺騎手在一條南北方向的街道上配送，從出發(fā)點開始，向北記為正，向南記為負，其行程記錄如下（單位：km）：+5，-3，+8，-6，+10，-8，-2，+7。則該騎手最終位置相對于出發(fā)點的方向和距離是（）A.向北3kmB.向南3kmC.向北5kmD.向南5km在等比數(shù)列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，則數(shù)列({a_n})的前6項和(S_6=)（）A.62B.63C.126D.127已知直線(l:ax+y-2=0)與圓(C:(x-1)^2+(y+1)^2=4)相切，則實數(shù)(a=)（）A.(-\frac{3}{4})B.(\frac{3}{4})C.(-\frac{4}{3})D.(\frac{4}{3})某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布(N(50,4))（單位：mm），若從該廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取一件，其尺寸落在區(qū)間((48,54])內的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6827)，(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9545)）A.0.8186B.0.8413C.0.9545D.0.9772如圖，在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，棱長為1，(M)為(BB_1)的中點，則直線(AM)與平面(A_1B_1C_1D_1)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{5}}{5})B.(\frac{2\sqrt{5}}{5})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})已知橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))，則該橢圓的標準方程為（）A.(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)B.(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{4}+y^2=1)D.(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\lnx,&x>0\end{cases})，若關于(x)的方程(f(x)=k)有三個不同的實根，則實數(shù)(k)的取值范圍是（）A.((-1,0))B.((-1,+\infty))C.((0,1))D.((-\infty,-1))二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分。其中第12題、第14題為多空題，第一空2分，第二空3分）若復數(shù)(z=(1+i)(2-i))（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))，則(\cos\alpha=)，(\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=)。某學校高二年級共有500名學生，采用分層抽樣的方法從中抽取50名學生進行數(shù)學成績調查，若樣本中男生成績的平均數(shù)為85分，女生成績的平均數(shù)為80分，且樣本容量中男生有30人，則樣本的數(shù)學平均成績?yōu)開_______分。已知直線(l_1:mx+3y-6=0)與(l_2:x+(m-2)y+m=0)，若(l_1\parallell_2)，則(m=)；若(l_1\perpl_2)，則(m=)。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)，(\triangleABC)的面積為。已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值為________，極小值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若數(shù)列({b_n})滿足(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。規(guī)范答題提示：等差數(shù)列通項公式需明確寫出首項(a_1)和公差(d)；等比數(shù)列求和時，若公比(q\neq1)，需寫出公式(S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q})，代入數(shù)據(jù)時標注步驟。（本小題滿分12分）某超市為促銷某種飲料，設計了兩種促銷方案：方案一：每瓶按原價的8折銷售；方案二：購買3瓶及以上，其中1瓶按原價銷售，其余每瓶按原價的7折銷售。已知該飲料的原價為每瓶5元，設顧客購買(x)瓶飲料，按方案一和方案二購買的費用分別為(f(x))元和(g(x))元。（1）分別寫出(f(x))和(g(x))的函數(shù)解析式；（2）若顧客購買10瓶飲料，選擇哪種方案更省錢？請說明理由。規(guī)范答題提示：分段函數(shù)需明確定義域，如方案二中(x<3)和(x\geq3)的表達式需分開書寫；比較費用時，需計算兩種方案的具體數(shù)值并作差或作商比較，寫出結論。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1D\perpBC)；（2）求直線(A_1D)與平面(ABB_1A_1)所成角的正弦值。規(guī)范答題提示：幾何證明需寫出定理條件，如“因為(ABC-A_1B_1C_1)是直三棱柱，所以(AA_1\perp)平面(ABC)”；空間向量法需建立坐標系，寫出關鍵點坐標，求法向量時需列出方程組并求解。（本小題滿分12分）已知圓(C)的圓心在直線(x-2y=0)上，且與直線(l:x+y-1=0)相切于點(P(3,-2))。（1）求圓(C)的標準方程；（2）若直線(m:kx-y+1=0)與圓(C)相交于(A,B)兩點，且(|AB|=2\sqrt{3})，求實數(shù)(k)的值。規(guī)范答題提示：求圓的方程時，需設出圓心((a,b))，利用圓心在直線上、圓心與切點連線垂直于切線、半徑等于圓心到切點距離三個條件列方程；弦長問題可利用勾股定理(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2})（(d)為圓心到直線的距離），代入數(shù)據(jù)時需寫出(d)的表達式。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+2\lnx)（(a\in\mathbf{R})）。（1）若(a=1)，求函數(shù)(f(x))的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調遞增，求實數(shù)(a)的取值范圍。規(guī)范答題提示：求導后需寫出導數(shù)表達式(f'(x))，并通分或因式分解；單調性分析需解不等式(f'(x)>0)或(f'(x)<0)，注意定義域(x>0)；恒成立問題需分離參數(shù)，轉化為(a\leqh(x))或(a\geqh(x))，利用導數(shù)求(h(x))的最值。（本小題滿分14分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((\sqrt{2},1))。（1）求橢圓(E)的標準方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(OA\perpOB)，求證：點(O)到直線(l)的距離為定值。規(guī)范答題提示：橢圓方程求解需列出(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})、(\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1)、(a^2=b^2+c^2)三個方程，聯(lián)立求解；設而不求時，需寫出韋達定理(x_1+x_2=-\frac{2km}{1+2k^2})，(x_1x_2=\frac{2m^2-4}{1+2k^2})，并代入(\overrightarrow{OA}\cdot\overrig