2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)解答題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（四）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（15分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx$，其中$a,b\in\mathbb{R}$，且曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(0,f(0))$處的切線方程為$y=1$。（1）求$a,b$的值；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x)-k$在$[-1,2]$上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍；（3）證明：當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)>\frac{x^3}{6}+1$。解答過(guò)程：（1）由題意知$f(0)=e^0-0-0=1$，滿足切線方程$y=1$。對(duì)$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=e^x-2ax-b$，切線斜率$f'(0)=1-b=0$，解得$b=1$。又因?yàn)榍芯€方程為$y=1$，常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)$a$不影響常數(shù)項(xiàng)，故$a$的值需結(jié)合后續(xù)條件，但根據(jù)切線方程可知$a$可為任意值？此處需重新檢查：由于切線方程僅確定常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)，而$f(x)$中二次項(xiàng)系數(shù)$a$在$x=0$處不影響切線，因此需補(bǔ)充條件。但根據(jù)題目信息，曲線在$(0,1)$處切線為$y=1$，即切線斜率為0，故$f'(0)=1-b=0\Rightarrowb=1$，而$a$的值需通過(guò)其他條件確定？題目可能隱含條件，假設(shè)$a=0$時(shí)滿足題意，此處可能題目信息缺失，但根據(jù)常見(jiàn)題型，推測(cè)$a=0$，$b=1$。（2）$g(x)=e^x-ax^2-x-k$，若$a=0$，則$g(x)=e^x-x-k$。求導(dǎo)得$g'(x)=e^x-1$，令$g'(x)=0\Rightarrowx=0$。當(dāng)$x\in[-1,0)$時(shí)，$g'(x)<0$，$g(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(0,2]$時(shí)，$g'(x)>0$，$g(x)$單調(diào)遞增。故$g(x)_{\text{min}}=g(0)=1-k$。要使$g(x)$在$[-1,2]$上有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足：$\begin{cases}g(-1)=e^{-1}+1-k\geq0\g(0)=1-k<0\g(2)=e^2-2-k\geq0\end{cases}$解得$1<k\leqe^{-1}+1$。（3）構(gòu)造函數(shù)$h(x)=f(x)-\frac{x^3}{6}-1=e^x-ax^2-x-\frac{x^3}{6}-1$，若$a=0$，則$h(x)=e^x-x-\frac{x^3}{6}-1$。求導(dǎo)得$h'(x)=e^x-1-\frac{x^2}{2}$，再求導(dǎo)$h''(x)=e^x-x$，$h'''(x)=e^x-1$。當(dāng)$x>0$時(shí)，$h'''(x)>0\Rightarrowh''(x)$單調(diào)遞增，$h''(x)>h''(0)=1>0\Rightarrowh'(x)$單調(diào)遞增，$h'(x)>h'(0)=0\Rightarrowh(x)$單調(diào)遞增，故$h(x)>h(0)=0$，原不等式成立。二、三角函數(shù)與解三角形（15分）在$\triangleABC$中，內(nèi)角$A,B,C$的對(duì)邊分別為$a,b,c$，且滿足$\sinA+\sinB=2\sinC$，$a=2b$。（1）求$\cosC$的值；（2）若$\triangleABC$的面積為$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，求$c$的值；（3）在（2）的條件下，求$\cos(2C-\frac{\pi}{3})$的值。解答過(guò)程：（1）由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$，得$\sinA=\frac{a}{2R}$，$\sinB=\frac{2R}$，$\sinC=\frac{c}{2R}$。代入$\sinA+\sinB=2\sinC$得$a+b=2c$。又因?yàn)?a=2b$，所以$2b+b=2c\Rightarrowc=\frac{3b}{2}$。由余弦定理：$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{(2b)^2+b^2-(\frac{3b}{2})^2}{2\times2b\timesb}=\frac{4b^2+b^2-\frac{9b^2}{4}}{4b^2}=\frac{\frac{11b^2}{4}}{4b^2}=\frac{11}{16}$。（2）由$\cosC=\frac{11}{16}$，得$\sinC=\sqrt{1-(\frac{11}{16})^2}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$。$\triangleABC$面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2b\timesb\times\frac{3\sqrt{15}}{16}=\frac{3\sqrt{15}b^2}{16}=\frac{3\sqrt{15}}{4}$，解得$b^2=4\Rightarrowb=2$，則$c=\frac{3b}{2}=3$。（3）由$\cosC=\frac{11}{16}$，$\sinC=\frac{3\sqrt{15}}{16}$，得：$\cos2C=2\cos^2C-1=2\times(\frac{121}{256})-1=\frac{242-256}{256}=-\frac{14}{256}=-\frac{7}{128}$，$\sin2C=2\sinC\cosC=2\times\frac{3\sqrt{15}}{16}\times\frac{11}{16}=\frac{66\sqrt{15}}{256}=\frac{33\sqrt{15}}{128}$。$\cos(2C-\frac{\pi}{3})=\cos2C\cos\frac{\pi}{3}+\sin2C\sin\frac{\pi}{3}=(-\frac{7}{128})\times\frac{1}{2}+\frac{33\sqrt{15}}{128}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-7+33\sqrt{45}}{256}=\frac{-7+99\sqrt{5}}{256}$。三、立體幾何（17分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為直角梯形，$AD\parallelBC$，$\angleABC=90^\circ$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=BC=2$，$AD=1$。（1）求證：平面$PBD\perp$平面$PAC$；（2）求二面角$B-PC-D$的余弦值；（3）在線段$PC$上是否存在點(diǎn)$M$，使得$BM\parallel$平面$PAD$？若存在，求出$\frac{PM}{PC}$的值；若不存在，說(shuō)明理由。解答過(guò)程：（1）以$A$為原點(diǎn)，$AB,AD,AP$所在直線為$x,y,z$軸建立空間直角坐標(biāo)系，則$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,1,0)$，$P(0,0,2)$。$\overrightarrow{BD}=(-2,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$。計(jì)算$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)\times2+1\times2+0\times0=-4+2=-2\neq0$，故$BD$與$AC$不垂直？可能坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤：$D$點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為$(0,1,0)$，$BD$向量為$(-2,1,0)$，$AC$向量為$(2,2,0)$，點(diǎn)積為$-4+2=-2\neq0$，因此需重新證明。要證平面$PBD\perp$平面$PAC$，需證$BD\perp$平面$PAC$。因?yàn)?PA\perp$底面$ABCD$，所以$PA\perpBD$。若$BD\perpAC$，則$BD\perp$平面$PAC$。由$AC$方程：$y=x$，$BD$方程：$y=-\frac{1}{2}x+1$，聯(lián)立得交點(diǎn)$O$，計(jì)算斜率乘積$1\times(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\neq-1$，故$BD$與$AC$不垂直，題目可能存在錯(cuò)誤？或需用其他方法，如計(jì)算$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AP}=0$，$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=-2\neq0$，因此平面$PBD$與平面$PAC$不垂直？此處可能題目條件有誤，假設(shè)$AD=2$，則$D(0,2,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=-4+4=0$，此時(shí)$BD\perpAC$，又$PA\perpBD$，故$BD\perp$平面$PAC$，從而平面$PBD\perp$平面$PAC$。（2）若$AD=2$，則$D(0,2,0)$，$\overrightarrow{PC}=(2,2,-2)$，$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$。設(shè)平面$BPC$的法向量$\mathbf{n}=(x_1,y_1,z_1)$，則$\begin{cases}\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{PC}=2x_1+2y_1-2z_1=0\\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{BC}=2y_1=0\end{cases}\Rightarrowy_1=0$，令$x_1=1$，則$z_1=1$，故$\mathbf{n}=(1,0,1)$。平面$DPC$的法向量$\mathbf{m}=(x_2,y_2,z_2)$，則$\begin{cases}\mathbf{m}\cdot\overrightarrow{PC}=2x_2+2y_2-2z_2=0\\mathbf{m}\cdot\overrightarrow{DC}=2x_2=0\end{cases}\Rightarrowx_2=0$，令$y_2=1$，則$z_2=1$，故$\mathbf{m}=(0,1,1)$。$\cos\langle\mathbf{n},\mathbf{m}\rangle=\frac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{m}}{|\mathbf{n}||\mathbf{m}|}=\frac{0+0+1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，故二面角$B-PC-D$的余弦值為$\frac{1}{2}$。（3）設(shè)$M$在$PC$上，$\overrightarrow{PM}=\lambda\overrightarrow{PC}=(2\lambda,2\lambda,-2\lambda)$，則$M(2\lambda,2\lambda,2-2\lambda)$，$\overrightarrow{BM}=(2\lambda-2,2\lambda,2-2\lambda)$。平面$PAD$的法向量為$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$，若$BM\parallel$平面$PAD$，則$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{AB}=2(2\lambda-2)=0\Rightarrow\lambda=1$，此時(shí)$M$與$C$重合，故不存在。四、數(shù)列與不等式（16分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$S_n=2a_n-n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$；（3）證明：對(duì)任意$n\in\mathbb{N}^*$，不等式$\frac{T_n}{n+1}>\frac{1}{3}$恒成立。解答過(guò)程：（1）當(dāng)$n=1$時(shí)，$S_1=a_1=2a_1-1\Rightarrowa_1=1$。當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$S_{n-1}=2a_{n-1}-(n-1)$，與$S_n=2a_n-n$作差得$a_n=2a_n-2a_{n-1}-1\Rightarrowa_n=2a_{n-1}+1$。構(gòu)造等比數(shù)列：$a_n+1=2(a_{n-1}+1)$，則${a_n+1}$是以$a_1+1=2$為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故$a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1$。（2）$b_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}$（裂項(xiàng)相消）。$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=(\frac{1}{2^1-1}-\frac{1}{2^2-1})+(\frac{1}{2^2-1}-\frac{1}{2^3-1})+\cdots+(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}$。（3）需證$\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}-1}}{n+1}>\frac{1}{3}\Rightarrow3(1-\frac{1}{2^{n+1}-1})>n+1$。當(dāng)$n=1$時(shí)，左邊$=3(1-\frac{1}{3})=2$，右邊$=2$，不等式不成立？可能題目錯(cuò)誤，應(yīng)為$\frac{T_n}{n+1}>\frac{1}{4}$？或$T_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}<1$，則$\frac{T_n}{n+1}<\frac{1}{n+1}\leq\frac{1}{2}$，而$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$，當(dāng)$n=1$時(shí)，$\frac{T_1}{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$，不等式不成立，應(yīng)為“$\geq\frac{1}{3}$”。五、解析幾何（16分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$P(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}$，求證：$\triangleAOB$的面積為定值。解答過(guò)程：（1）由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrowc=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又$a^2=b^2+c^2\Rightarrowb^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2$，故橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$。將點(diǎn)$P(2,1)$代入得$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8$，$b^2=2$，橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（2）聯(lián)立$\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}$，消去$y$得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0$。設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2}$。$k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=\frac{(kx_1+m)(kx_2+m)}{x_1x_2}=\frac{k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4}$。代入韋達(dá)定理：$\frac{k^2(4m^2-8)+km(-8km)+m^2(1+4k^2)}{4m^2-8}=-\frac{1}{4}$化簡(jiǎn)分子：$4k^2m^2-8k^2-8k^2m^2+m^2+4k^2m^2=m^2-8k^2$故$\frac{m^2-8k^2}{4m^2-8}=-\frac{1}{4}\Rightarrow4(m^2-8k^2)=-4m^2+8\Rightarrow8m^2=32k^2+8\Rightarrowm^2=4k^2+1$。$\triangleAOB$的面積$S=\frac{1}{2}|m||x_1-x_2|=\frac{1}{2}|m|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{1}{2}|m|\sqrt{\frac{64k^2m^2}{(1+4k^2)^2}-\frac{16m^2-32}{1+4k^2}}$代入$m^2=4k^2+1$，化簡(jiǎn)得$S=\frac{1}{2}\sqrt{4k^2+1}\cdot\sqrt{\frac{64k^2(4k^2+1)-(16(4k^2+1)-32)(1+4k^2)}{(1+4k^2)^2}}=2$，為定值。六、概率統(tǒng)計(jì)（15分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品三個(gè)等級(jí)，其中一等品率為$0.7$，二等品率為$0.2$，次品率為$0.1$?，F(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取$10$件進(jìn)行檢驗(yàn)。（1）求抽取的$10$件產(chǎn)品中恰好有$7$件一等品、$2$件二等品和$1$件次品的概率；（2）設(shè)$X$為抽取的$10$件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)，求$X$的數(shù)學(xué)期望和方差；（3）若一等品和二等品為合格品，次品為不合格品，求抽取的$10$件產(chǎn)品中合格品件數(shù)$Y$的分布列。解答過(guò)程：（1）這是三項(xiàng)分布問(wèn)題，概率$P=\frac{10!}{7!2!1!}(0.7)^7(0.2)^2(0.1)^1=120\times0.0823543\times0.04\times0.1\approx0.0395$。（2）$X\simB(10,0.7)$，故$E(X)=10\times0.7=7$，$D(X)=10\times0.7\times0.3=2.1$。（3）合格品率為$0.7+0.2=0.9$，故$Y\simB(10,0.9)$，分布列為$P(Y=k)=\binom{10}{k}(0.9)^k(0.1)^{10-k}$，$k=0,1,\cdots,10$。七、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（15分）某公司計(jì)劃生產(chǎn)一種新型產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為$10$萬(wàn)元，每生產(chǎn)$x$千件，需另投入成本$C(x)$萬(wàn)元，且$C(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2+2x,&0<x<10\8x+\frac{100}{x}-30,&x\geq10\end{cases}$。每件產(chǎn)品的售價(jià)為$50$元，且該產(chǎn)品能全部售完。（1）寫(xiě)出利潤(rùn)$L(x)$（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量$x$（千件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解答過(guò)程：（1）收入$R(x)=50\times1000x\div10000=5x$（萬(wàn)元）。當(dāng)$0<x<10$時(shí)，$L(x)=5x-(\frac{1}{2}x^2+2x)-10=-\frac{1}{2}x^2+3x-10$；當(dāng)$x\geq10$時(shí)，$L(x)=5x-(8x+\frac{100}{x}-30)-10=-3x-\frac{100}{x}+20$。（2）當(dāng)$0<x<10$時(shí)，$L(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x-10