2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day8）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)$f(x)$的最小正周期為$\pi$B.函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\right]$上單調(diào)遞增D.將函數(shù)$y=\sin2x$的圖像向左平移$\frac{\pi}{3}$個(gè)單位可得到$f(x)$的圖像解析：選項(xiàng)A：根據(jù)正弦函數(shù)周期公式$T=\frac{2\pi}{\omega}$，$\omega=2$，則$T=\pi$，A正確；選項(xiàng)B：令$2x+\frac{\pi}{3}=k\pi$，解得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}$，對(duì)稱(chēng)中心為$\left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},0\right)$，當(dāng)$k=1$時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$，B正確；選項(xiàng)C：令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，解得$-\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{12}+k\pi$，當(dāng)$k=0$時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為$\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right]$，而$\left[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\right]$超出該區(qū)間，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：$y=\sin2x$向左平移$\frac{\pi}{3}$個(gè)單位得$y=\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right]=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)\neqf(x)$，D錯(cuò)誤。答案：AB已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,-1)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec)$，則$m$的值為（）A.$-3$B.$3$C.$-5$D.$5$解析：$\vec{a}-\vec=(1-m,3)$，由$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec)$得$\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec)=0$，即$1\times(1-m)+2\times3=0$，解得$1-m+6=0\Rightarrowm=7$。答案：無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為7）雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,\sqrt{3})$，則雙曲線$C$的方程為（）A.$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$B.$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{2}=1$D.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$解析：離心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}a$，又$c^2=a^2+b^2\Rightarrowb^2=2a^2$。將點(diǎn)$(2,\sqrt{3})$代入雙曲線方程：$\frac{4}{a^2}-\frac{3}{2a^2}=1\Rightarrow\frac{5}{2a^2}=1\Rightarrowa^2=\frac{5}{2}$，無(wú)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)。答案：無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為（）A.$x=1$，極小值點(diǎn)B.$x=1$，極大值點(diǎn)C.$x=-1$，極小值點(diǎn)D.無(wú)極值點(diǎn)解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}(x>0)$。當(dāng)$x\in(0,1)$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x\in(1,+\infty)$時(shí)，$f'(x)>0$。故$x=1$為極小值點(diǎn)。答案：A某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.$12\pi$B.$16\pi$C.$20\pi$D.$24\pi$解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐。圓柱體積$V_1=\pir^2h=\pi\times2^2\times4=16\pi$，圓錐體積$V_2=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{16\pi}{3}$，則幾何體體積$V=V_1-V_2=\frac{32\pi}{3}$。答案：無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=-\frac{1}{4}$，則$c=$（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{13}$C.$4$D.$5$解析：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\left(-\frac{1}{4}\right)=13+3=16\Rightarrowc=4$。答案：C已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(2,\sigma^2)$，且$P(X<4)=0.8$，則$P(0<X<2)=$（）A.$0.2$B.$0.3$C.$0.4$D.$0.6$解析：正態(tài)分布關(guān)于$x=2$對(duì)稱(chēng)，$P(X<4)=0.8\RightarrowP(X>4)=0.2$，則$P(X<0)=P(X>4)=0.2$，故$P(0<X<2)=\frac{1-P(X<0)-P(X>4)}{2}=\frac{1-0.2-0.2}{2}=0.3$。答案：B若$(x+\frac{a}{x})^6$的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為$60$，則$a$的值為（）A.$4$B.$\pm4$C.$2$D.$\pm2$解析：展開(kāi)式通項(xiàng)$T_{r+1}=\binom{6}{r}x^{6-r}\left(\frac{a}{x}\right)^r=\binom{6}{r}a^rx^{6-2r}$。令$6-2r=0\Rightarrowr=3$，常數(shù)項(xiàng)為$\binom{6}{3}a^3=20a^3=60\Rightarrowa^3=3\Rightarrowa=\sqrt[3]{3}$。答案：無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)$z$滿(mǎn)足$(1+i)z=2i$，則$|z|=$________。解析：$z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i+2}{2}=1+i$，則$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。答案：$\sqrt{2}$已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_4=8$，則數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=$________。解析：公比$q^3=\frac{a_4}{a_1}=8\Rightarrowq=2$，則$S_n=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$。答案：$2^n-1$函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值為_(kāi)_______。解析：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。$f(-1)=-1-3+2=-2$；$f(0)=0-0+2=2$；$f(2)=8-12+2=-2$。故最大值為$2$。答案：$2$若$x,y$滿(mǎn)足約束條件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases}$，則$z=x+2y$的最小值為_(kāi)_______。解析：作出可行域，聯(lián)立$\begin{cases}x+y=2\y=0\end{cases}$（注：應(yīng)為$x-y=2$與$x+y=2$交點(diǎn)），解得$\begin{cases}x=2\y=0\end{cases}$，代入$z=2+0=2$；聯(lián)立$\begin{cases}x+y=2\y=2\end{cases}$得$\begin{cases}x=0\y=2\end{cases}$，$z=0+4=4$；聯(lián)立$\begin{cases}x-y=2\y=2\end{cases}$得$\begin{cases}x=4\y=2\end{cases}$，$z=4+4=8$。故最小值為$2$。答案：$2$三、解答題（共6小題，共70分）（10分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，且$\cosA=\frac{3}{5}$，$a=4$。（1）若$b=3$，求$\sinB$的值；（2）若$\triangleABC$的面積為$6$，求$b+c$的值。解析：（1）由$\cosA=\frac{3}{5}$得$\sinA=\frac{4}{5}$，由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$得$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{3\times\frac{4}{5}}{4}=\frac{3}{5}$。（2）$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=6\Rightarrow\frac{1}{2}bc\times\frac{4}{5}=6\Rightarrowbc=15$。由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$得$16=(b+c)^2-2bc-2bc\times\frac{3}{5}\Rightarrow16=(b+c)^2-30-18\Rightarrow(b+c)^2=64\Rightarrowb+c=8$。（12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點(diǎn)。（1）求證：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；（2）求直線$A_1D$與平面$BCC_1B_1$所成角的正弦值。解析：（1）連接$A_1C$交$AC_1$于點(diǎn)$O$，連接$OD$。在直三棱柱中，$O$為$A_1C$中點(diǎn)，$D$為$BC$中點(diǎn)，故$OD\parallelA_1B$。又$OD\subset$平面$ADC_1$，$A_1B\not\subset$平面$ADC_1$，則$A_1B\parallel$平面$ADC_1$。（2）以$A$為原點(diǎn)，$AB,AC,AA_1$為$x,y,z$軸建立坐標(biāo)系，$A_1(0,0,2)$，$D(1,1,0)$，$\vec{A_1D}=(1,1,-2)$。平面$BCC_1B_1$的法向量$\vec{n}=(1,-1,0)$（由$\vec{BC}=(-1,1,0)$，$\vec{BB_1}=(0,0,2)$求得）。設(shè)線面角為$\theta$，則$\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{|1\times1+1\times(-1)+(-2)\times0|}{\sqrt{1+1+4}\times\sqrt{1+1}}=0$。（12分）已知橢圓$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦點(diǎn)為$F(-1,0)$，離心率為$\frac{1}{2}$。（1）求橢圓$E$的方程；（2）過(guò)點(diǎn)$F$的直線$l$與橢圓$E$交于$A,B$兩點(diǎn)，若$|AB|=\frac{24}{7}$，求直線$l$的方程。解析：（1）由$c=1$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$得$a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$，橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。（2）設(shè)直線$l:x=my-1$，聯(lián)立橢圓方程得$(3m^2+4)y^2-6my-9=0$，則$y_1+y_2=\frac{6m}{3m^2+4}$，$y_1y_2=-\frac{9}{3m^2+4}$。$|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{1+m^2}\cdot\sqrt{\frac{36m^2}{(3m^2+4)^2}+\frac{36}{3m^2+4}}=\frac{12(m^2+1)}{3m^2+4}=\frac{24}{7}\Rightarrowm^2=1\Rightarrowm=\pm1$，故直線$l$的方程為$x\pmy+1=0$。（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(x)$在區(qū)間$(2,+\infty)$上是增函數(shù)，求$a$的取值范圍。解析：（1）$a=1$時(shí)，$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。（2）$f'(x)=3x^2-6ax+3\geq0$在$(2,+\infty)$恒成立，即$2a\leqx+\frac{1}{x}$在$(2,+\infty)$恒成立。令$g(x)=x+\frac{1}{x}$，$g'(x)=1-\frac{1}{x^2}>0$在$(2,+\infty)$恒成立，故$g(x)_{\min}>g(2)=\frac{5}{2}$，則$2a\leq\frac{5}{2}\Rightarrowa\leq\frac{5}{4}$。（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為$40$元，銷(xiāo)售單價(jià)為$60$元，每月可銷(xiāo)售$300$件。為了提高銷(xiāo)量，工廠決定降價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售單價(jià)每降低$1$元，每月可多銷(xiāo)售$20$件。設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為$x$元（$x\leq60$），每月的利潤(rùn)為$y$元。（1）求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：（1）銷(xiāo)量$=300+20(60-x)=1500-20x$，利潤(rùn)$y=(x-40)(1500-20x)=-20x^2+2300x-60000$。（2）$y=-20\left(x-\frac{115}{2}\right)^2+6125$，當(dāng)$x=57.5$時(shí)，$y_{\max}=6125$。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx-mx(m\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)\leq0$恒成立，求$m$的取值范圍；（3）證明：$\lnn<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\