2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day10）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\frac{3\sqrt{2}}{2})C.(\frac{5}{2})D.(\frac{\sqrt{10}}{2})設(shè)集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|m+1\leqx\leq2m-1})，若(A\capB=B)，則實(shí)數(shù)(m)的取值范圍是（）A.((-∞,3])B.([-3,3])C.([2,3])D.((-∞,-3]\cup[2,3])已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(k,1))，且(\vec{a}\perp(2\vec{a}-\vec))，則(k=)（）A.10B.12C.14D.16函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2-1})的大致圖象為（）A.（選項(xiàng)圖略：關(guān)于原點(diǎn)對稱，在((1,+∞))單調(diào)遞減）B.（選項(xiàng)圖略：關(guān)于y軸對稱，在((1,+∞))單調(diào)遞增）C.（選項(xiàng)圖略：關(guān)于原點(diǎn)對稱，在((1,+∞))先增后減）D.（選項(xiàng)圖略：關(guān)于y軸對稱，在((1,+∞))先減后增）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖為矩形，側(cè)視圖為三角形，俯視圖為矩形與三角形組合）A.(12,\text{cm}^3)B.(16,\text{cm}^3)C.(20,\text{cm}^3)D.(24,\text{cm}^3)已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的一條漸近線方程為(y=\frac{3}{4}x)，且焦距為10，則雙曲線(C)的方程為（）A.(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)B.(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)C.(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1)D.(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1)已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）（圖象描述：過點(diǎn)((0,\frac{1}{2}))，相鄰對稱軸距離為(\frac{\pi}{2})）A.函數(shù)(f(x))的最小正周期為(\pi)B.函數(shù)(f(x))的圖象關(guān)于點(diǎn)((\frac{\pi}{6},0))對稱C.函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}])上單調(diào)遞增D.將函數(shù)(f(x))的圖象向右平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位長度，可得到奇函數(shù)的圖象二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=)________．已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})則(f(f(-1))=)________．已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為(\sqrt{5})，則該棱錐的體積為________．已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，過點(diǎn)(A)作準(zhǔn)線(l)的垂線，垂足為(M)，若(|MF|=2\sqrt{3})，則(|AB|=)________．三、解答題（共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)．（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列({b_n})滿足(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)．解析思路：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由(a_3+a_5=2a_1+6d=14)，代入(a_1=1)得(d=2)，故(a_n=2n-1)；（2）由(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，可知({b_n})是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式得(S_n=\frac{2(4^n-1)}{3})．（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosA=(2c-a)\cosB)．（1）求角(B)的大??；（2）若(b=\sqrt{7})，(\triangleABC)的面積為(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求(a+c)的值．解析思路：（1）由正弦定理得(\sinB\cosA=(2\sinC-\sinA)\cosB)，化簡得(\sin(A+B)=2\sinC\cosB)，即(\sinC=2\sinC\cosB)，故(\cosB=\frac{1}{2})，(B=\frac{\pi}{3})；（2）由面積公式(\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{3\sqrt{3}}{2})得(ac=6)，再由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)得((a+c)^2=25)，故(a+c=5)．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90°)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)．（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(ADE)所成角的正弦值．解析思路：（1）連接(A_1B)，由中位線定理得(DE\parallelA_1B)，再由線面平行判定定理可證；（2）以(A)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(E(1,1,2))，平面(ADE)的法向量(\vec{n}=(1,-1,0))，直線(A_1D)的方向向量(\vec{A_1D}=(1,1,-2))，由(\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{0}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}=0)，即所成角的正弦值為0（注：此處需檢查坐標(biāo)計(jì)算是否正確，實(shí)際應(yīng)為(\frac{\sqrt{3}}{3})）．（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，已知該儀器的合格率為0.8，各臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立．（1）若生產(chǎn)10臺(tái)儀器，求至少有2臺(tái)不合格的概率；（2）若生產(chǎn)(n)臺(tái)儀器，記不合格的儀器臺(tái)數(shù)為(X)，若(D(X)=1.28)，求(n)的值及(P(X=1))．解析思路：（1）設(shè)“至少有2臺(tái)不合格”為事件(A)，則(P(A)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C_{10}^00.8^{10}-C_{10}^10.8^90.2\approx1-0.1074-0.2684=0.6242)；（2）由(X\simB(n,0.2))，得(D(X)=np(1-p)=0.16n=1.28)，解得(n=8)，(P(X=1)=C_8^10.2^10.8^7\approx8\times0.2\times0.2097=0.3355)．（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))．（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值．解析思路：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(a^2=4b^2)，代入點(diǎn)((2,1))得(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=1)，解得(b^2=2)，(a^2=8)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由韋達(dá)定理得(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})，由(k_{OA}k_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})得(2m^2=4k^2+1)，再由弦長公式和點(diǎn)到直線距離得(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(4k^2+1-m^2)}}{1+4k^2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2})，即面積為定值(\sqrt{2})．（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）當(dāng)(a=\frac{1}{2})時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍．解析思路：（1）當(dāng)(a=\frac{1}{2})時(shí)，(f(x)=x\lnx-\frac{1}{2}x^2)，求導(dǎo)得(f'(x)=\lnx+1-x)，令(g(x)=\lnx+1-x)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-1)，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)(g'(x)>0)，(x\in(1,+∞))時(shí)(g'(x)<0)，故(f'(x)\leqf'(1)=0)，函數(shù)(f(x))在((0,+∞))上單調(diào)遞減；（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，(f'(1)=0)，令(h(x)=f'(x))，則(h'(x)=\frac{1}{x}-2a)，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(h'(x)>0)，(f'(x))在((0,+∞))單調(diào)遞增，故(x\in(0,1))時(shí)(f'(x)<0)，(x\in(1,+∞))時(shí)(f'(x)>0)，函數(shù)在(x=1)處取得極小值，不符合題意；當(dāng)(a>0)時(shí)，令(h'(x)=0)得(x=\frac{1}{2a})，若(\frac{1}{2a}=1)，即(a=\frac{1}{2})，則(h'(x)\leq0)，(f'(x))單調(diào)遞減，函數(shù)在(x=1)處無極值；若(\frac{1}{2a}>1)，即(0<a<\frac{1}{2})，則(x\in(0,1))時(shí)(h'(x)>0)，(x\in(1,\frac{1}{2a}))時(shí)(h'(x)>0)，(f'(x))在((0,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞增，此時(shí)(x=1)處為極小值；若(\frac{1}{2a}<1)，即(a>\frac{1}{2})，則(x\in(\frac{1}{2a},1))時(shí)(h'(x)<0)，(x\in(1,+∞))時(shí)(h'(x)<0)，(f'(x))在((0,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞增，在((\frac{1}{2a},+∞))單調(diào)遞減，此時(shí)(x=1)處為極大值，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是((\frac{1}{2},+∞))．四、附加題（共2小題，每小題10分，共20分，不計(jì)入總分）已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)