山東煙臺(tái)二模數(shù)學(xué)試卷及答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\capB=B\)，則實(shí)數(shù)\(a\)的值為（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)答案：C解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。對(duì)于集合\(B\)，\(x^2ax+a1=0\)可化為\((x1)[x(a1)]=0\)，則\(x=1\)或\(x=a1\)。因?yàn)閈(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)，當(dāng)\(a1=1\)時(shí)，\(a=2\)；當(dāng)\(a1=2\)時(shí)，\(a=3\)，所以\(a=2\)或\(3\)。2.若復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1i}+m(1i)\)（\(i\)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)\(m\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A解析：先化簡(jiǎn)\(z\)，\(\frac{1+i}{1i}=\frac{(1+i)^2}{(1i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=i\)，則\(z=i+mmi=(m)+(1m)i\)。因?yàn)閈(z\)為純虛數(shù)，所以實(shí)部\(m=0\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\)（）A.\(10\)B.\(6\)C.\(0\)D.\(6\)答案：A解析：因?yàn)閈(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，\(1\times(4)2x=0\)，解得\(x=2\)，所以\(\overrightarrow=(2,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(2)+2\times(4)=28=10\)。4.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)\)的值為（）A.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)D.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)答案：B解析：已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，根據(jù)\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)。再根據(jù)兩角和的余弦公式\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)，\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)。5.函數(shù)\(y=x\ln|x|\)的圖象大致是（）答案：A解析：函數(shù)\(y=x\ln|x|\)的定義域?yàn)閈((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，且\(f(x)=(x)\ln|x|=x\ln|x|=f(x)\)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C、D。當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(y=x\lnx\)，對(duì)其求導(dǎo)\(y^\prime=\lnx+1\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=\frac{1}{e}\)，當(dāng)\(0\ltx\lt\frac{1}{e}\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x\gt\frac{1}{e}\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增，所以選A。6.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y=\frac{3}{4}x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A解析：雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，已知一條漸近線方程為\(y=\frac{3}{4}x\)，則\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)。又因?yàn)閈(c^2=a^2+b^2\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}=\frac{5}{4}\)。7.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=24\)，則\(S_9=\)（）A.\(36\)B.\(72\)C.\(144\)D.\(288\)答案：B解析：因?yàn)閈(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，\(a_3+a_5+a_7=3a_5=24\)，所以\(a_5=8\)。根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，則\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}\)，又因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有\(zhòng)(a_1+a_9=2a_5\)，所以\(S_9=\frac{9\times2a_5}{2}=9a_5=9\times8=72\)。8.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的最小正周期為\(\pi\)，且圖象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位后得到函數(shù)\(g(x)=\cos\omegax\)的圖象，則\(\varphi=\)（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{6}\)D.\(\frac{\pi}{3}\)答案：A解析：因?yàn)閈(y=f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，所以\(\omega=2\)，則\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)。將\(f(x)\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位后得到\(g(x)=\sin\left[2(x+\frac{\pi}{6})+\varphi\right]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)\)，又\(g(x)=\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，因?yàn)閈(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列說法正確的是（）A.若隨機(jī)變量\(X\simN(0,1)\)，則\(P(X\gt1)=P(X\lt1)\)B.若隨機(jī)變量\(X\simB(6,\frac{1}{3})\)，則\(D(2X+1)=8\)C.從\(10\)名男生，\(5\)名女生中選取\(4\)人，則其中至少有一名女生的概率為\(1\frac{C_{10}^4}{C_{15}^4}\)D.已知回歸直線\(\hat{y}=0.5x1\)，則當(dāng)\(x=2\)時(shí)，變量\(y\)的預(yù)測(cè)值為\(0\)答案：ACD解析：選項(xiàng)A：因?yàn)殡S機(jī)變量\(X\simN(0,1)\)，正態(tài)曲線關(guān)于\(x=0\)對(duì)稱，所以\(P(X\gt1)=P(X\lt1)\)，A正確。選項(xiàng)B：若\(X\simB(6,\frac{1}{3})\)，則\(D(X)=6\times\frac{1}{3}\times(1\frac{1}{3})=\frac{4}{3}\)，那么\(D(2X+1)=2^2D(X)=4\times\frac{4}{3}=\frac{16}{3}\neq8\)，B錯(cuò)誤。選項(xiàng)C：“至少有一名女生”的對(duì)立事件是“沒有女生”，從\(15\)人中選\(4\)人，沒有女生即從\(10\)名男生中選\(4\)人，所以至少有一名女生的概率為\(1\frac{C_{10}^4}{C_{15}^4}\)，C正確。選項(xiàng)D：當(dāng)\(x=2\)時(shí)，代入回歸直線\(\hat{y}=0.5x1\)，得\(\hat{y}=0.5\times21=0\)，D正確。10.已知正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱長(zhǎng)為\(1\)，則（）A.直線\(BC_1\)與\(DD_1\)所成的角為\(45^{\circ}\)B.直線\(BC_1\)與平面\(ABCD\)所成的角為\(60^{\circ}\)C.點(diǎn)\(C_1\)到平面\(ABC_1D_1\)的距離為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.平面\(ABC_1D_1\)截正方體所得的截面面積為\(\sqrt{2}\)答案：ACD解析：選項(xiàng)A：因?yàn)閈(DD_1\parallelCC_1\)，所以\(\angleBC_1C\)就是直線\(BC_1\)與\(DD_1\)所成的角，在\(Rt\triangleBC_1C\)中，\(BC=CC_1=1\)，則\(\angleBC_1C=45^{\circ}\)，A正確。選項(xiàng)B：直線\(BC_1\)與平面\(ABCD\)所成的角為\(\angleC_1BC\)，在\(Rt\triangleBC_1C\)中，\(\tan\angleC_1BC=1\)，所以\(\angleC_1BC=45^{\circ}\)，B錯(cuò)誤。選項(xiàng)C：連接\(B_1C\)交\(BC_1\)于\(O\)，易知\(B_1C\perpBC_1\)，\(B_1C\perpAB\)，\(AB\capBC_1=B\)，所以\(B_1C\perp\)平面\(ABC_1D_1\)，則點(diǎn)\(C_1\)到平面\(ABC_1D_1\)的距離為\(\frac{1}{2}B_1C=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，C正確。選項(xiàng)D：平面\(ABC_1D_1\)截正方體所得的截面為矩形\(ABC_1D_1\)，\(AB=1\)，\(BC_1=\sqrt{2}\)，所以截面面積為\(\sqrt{2}\)，D正確。11.已知函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，則（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱C.\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{6},0]\)上單調(diào)遞增D.\(f(x)\)的圖象可由\(y=2\sin2x\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位得到答案：ABC解析：選項(xiàng)A：根據(jù)正弦函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，這里\(\omega=2\)，所以\(T=\pi\)，A正確。選項(xiàng)B：當(dāng)\(x=\frac{\pi}{12}\)時(shí)，\(f(\frac{\pi}{12})=2\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{\pi}{2}=2\)，所以\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱，B正確。選項(xiàng)C：令\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，解得\(\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqslantx\leqslant\frac{\pi}{12}+k\pi,k\inZ\)，當(dāng)\(k=0\)時(shí)，\([\frac{\pi}{6},0]\subseteq[\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)，所以\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{6},0]\)上單調(diào)遞增，C正確。選項(xiàng)D：\(y=2\sin2x\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位得到\(y=2\sin2(x+\frac{\pi}{3})=2\sin(2x+\frac{2\pi}{3})\neqf(x)\)，D錯(cuò)誤。12.已知函數(shù)\(f(x)=x^33x\)，則（）A.\(f(x)\)是奇函數(shù)B.\(f(x)\)在區(qū)間\((1,1)\)上單調(diào)遞增C.\(f(x)\)有\(zhòng)(3\)個(gè)零點(diǎn)D.若過點(diǎn)\(P(1,m)\)可作曲線\(y=f(x)\)的三條切線，則\(3\ltm\lt2\)答案：ACD解析：選項(xiàng)A：函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，且\(f(x)=(x)^33(x)=(x^33x)=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函數(shù)，A正確。選項(xiàng)B：對(duì)\(f(x)=x^33x\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)，當(dāng)\(1\ltx\lt1\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)，所以\(f(x)\)在\((1,1)\)上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤。選項(xiàng)C：令\(f(x)=x^33x=x(x^23)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=\pm\sqrt{3}\)，所以\(f(x)\)有\(zhòng)(3\)個(gè)零點(diǎn)，C正確。選項(xiàng)D：設(shè)切點(diǎn)為\((x_0,x_0^33x_0)\)，\(f^\prime(x)=3x^23\)，則切線斜率\(k=3x_0^23\)，切線方程為\(y(x_0^33x_0)=(3x_0^23)(xx_0)\)，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)\(P(1,m)\)，所以\(m(x_0^33x_0)=(3x_0^23)(1x_0)\)，整理得\(2x_0^33x_0^2+m+3=0\)。令\(g(x)=2x^33x^2+m+3\)，\(g^\prime(x)=6x^26x=6x(x1)\)，\(g(x)\)在\((\infty,0)\)，\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，在\((0,1)\)上單調(diào)遞減，\(g(x)\)有三個(gè)零點(diǎn)，則\(\begin{cases}g(0)\gt0\\g(1)\lt0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}m+3\gt0\\m+2\lt0\end{cases}\)，解得\(3\ltm\lt2\)，D正確。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若\((x+\frac{a}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為\(2\)，則該展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為______。答案：\(40\)解析：令\(x=1\)，可得\((1+a)(21)^5=2\)，解得\(a=1\)。\((2x\frac{1}{x})^5\)的展開式的通項(xiàng)公式為\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)。\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5=x(2x\frac{1}{x})^5+\frac{1}{x}(2x\frac{1}{x})^5\)，要得到\(x^3\)，當(dāng)從\(x(2x\frac{1}{x})^5\)中取時(shí)，令\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍去）；當(dāng)從\(\frac{1}{x}(2x\frac{1}{x})^5\)中取時(shí)，令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），或者令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)得\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)得\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)得\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），正確是：\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)：\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^2\)的系數(shù)乘以\(x\)加上\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^4\)的系數(shù)乘以\(\frac{1}{x}\)。\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)，令\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^2\)的系數(shù)：令\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍去），\(x^4\)的系數(shù)：令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），重新來，\((2x\frac{1}{x})^5\)通項(xiàng)\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)，\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^3\)系數(shù)：\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^2\)系數(shù)乘以\(x\)與\(x^4\)系數(shù)乘以\(\frac{1}{x}\)之和，\(x^2\)：\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍），\(x^4\)：\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍），正確：\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(zhòng)(x^2\)：\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍），\(x^4\)：\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍），實(shí)際是\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)，\((2x\frac{1}{x})^5\)通項(xiàng)\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)，\(x^3\)系數(shù)：\(x\cdot(1)^1\times2^{4}\timesC_{5}^1x^{3}+\frac{1}{x}\cdot(1)^2\times2^{3}\timesC_{5}^2x^{5}=(1)\times16\times5+8\times10=40\)。14.已知\(A\)，\(B\)是球\(O\)的球面上兩點(diǎn)，\(\angleAOB=90^{\circ}\)，\(C\)為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐\(OABC\)體積的最大值為\(\frac{32}{3}\)，則球\(O\)的表面積為______。答案：\(64\pi\)解析：設(shè)球\(O\)的半徑為\(R\)，因?yàn)閈(\angleAOB=90^{\circ}\)，\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}R^2\)。當(dāng)\(CO\perp\)平面\(AOB\)時(shí)，三棱錐\(OABC\)的體積最大，\(V_{OABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleAOB}\cdotR=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}R^2\cdotR=\frac{1}{6}R^3\)。已知\(V_{OABC}\)的最大值為\(\f