2025學(xué)年湖北省宜昌市高一下期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{x|(x+1)(x2)\lt0,x\inZ\}\)，則\(A\cupB=(\quad)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{1,2\}\)C.\(\{0,1,2,3\}\)D.\(\{1,0,1,2,3\}\)答案：C解析：解不等式\((x+1)(x2)\lt0\)，令\((x+1)(x2)=0\)，則\(x=1\)或\(x=2\)，二次函數(shù)\(y=(x+1)(x2)=x^{2}x2\)開口向上，所以不等式的解集為\(1\ltx\lt2\)，又因?yàn)閈(x\inZ\)，所以\(B=\{0,1\}\)。已知\(A=\{1,2,3\}\)，根據(jù)并集的定義\(A\cupB=\{x|x\inA或x\inB\}\)，可得\(A\cupB=\{0,1,2,3\}\)。2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow|=(\quad)\)A.\(5\sqrt{3}\)B.\(3\sqrt{5}\)C.\(2\sqrt{5}\)D.\(2\sqrt{2}\)答案：B解析：因?yàn)閈(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)關(guān)系：若\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}\)則\(x_1y_2x_2y_1=0\)，所以\(1\times4(2)x=0\)，即\(4+2x=0\)，解得\(x=2\)，則\(\overrightarrow=(2,4)\)，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow=(1(2),24)=(3,6)\)。根據(jù)向量模長公式：若\(\overrightarrow{m}=(x,y)\)，則\(|\overrightarrow{m}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，所以\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow|=\sqrt{3^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)。3.已知\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha=(\quad)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A解析：根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha=1(\frac{3}{5})^{2}=1\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)，所以\(\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}\)。因?yàn)閈(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中，余弦值為負(fù)，所以\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=24\)，則\(S_9=(\quad)\)A.36B.72C.144D.288答案：B解析：因?yàn)閈(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_7=2a_5\)，已知\(a_3+a_5+a_7=24\)，即\(2a_5+a_5=3a_5=24\)，解得\(a_5=8\)。根據(jù)等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，則\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}\)，又因?yàn)閈(a_1+a_9=2a_5\)，所以\(S_9=\frac{9\times2a_5}{2}=9a_5=9\times8=72\)。5.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象可由函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象\((\quad)\)A.向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位長度得到B.向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位長度得到C.向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位長度得到D.向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位長度得到答案：C解析：根據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”。設(shè)\(y=f(x)=\sin2x\)，則\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})=\sin\left[2(x+\frac{\pi}{6})\right]=f(x+\frac{\pi}{6})\)。所以函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象可由函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位長度得到。6.在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(a=2\)，\(b=2\sqrt{3}\)，\(A=30^{\circ}\)，則\(B=(\quad)\)A.\(60^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)或\(120^{\circ}\)C.\(30^{\circ}\)D.\(30^{\circ}\)或\(150^{\circ}\)答案：B解析：根據(jù)正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，已知\(a=2\)，\(b=2\sqrt{3}\)，\(A=30^{\circ}\)，則\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\sqrt{3}\times\sin30^{\circ}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\times\frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因?yàn)閈(b\gta\)，根據(jù)大邊對大角，所以\(B\gtA\)，又因?yàn)閈(0^{\circ}\ltB\lt180^{\circ}\)，所以\(B=60^{\circ}\)或\(120^{\circ}\)。7.已知函數(shù)\(f(x)=x^33x+1\)，則\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((\quad)\)A.\((1,1)\)B.\((1,2)\)C.\((\infty,1)\)D.\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)答案：A解析：對函數(shù)\(f(x)=x^33x+1\)求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n1}\)，可得\(f^\prime(x)=3x^23\)。令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x^23\lt0\)，化簡得\(x^21\lt0\)，因式分解為\((x+1)(x1)\lt0\)，令\((x+1)(x1)=0\)，則\(x=1\)或\(x=1\)，二次函數(shù)\(y=(x+1)(x1)=x^{2}1\)開口向上，所以不等式的解集為\(1\ltx\lt1\)，即\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((1,1)\)。8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，則\(x+y\)的最小值為\((\quad)\)A.12B.16C.20D.24答案：B解析：因?yàn)閈(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，所以\(x+y=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)\)\(=1+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}+9\)\(=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\)。根據(jù)基本不等式：對于正實(shí)數(shù)\(a\)，\(b\)，有\(zhòng)(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時等號成立。所以\(\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2\sqrt{\frac{9x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\sqrt{9}=6\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)時等號成立。則\(x+y=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant10+6=16\)，聯(lián)立\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\\\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\end{cases}\)，由\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)得\(y=3x\)，代入\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)得\(\frac{1}{x}+\frac{9}{3x}=1\)，即\(\frac{1}{x}+\frac{3}{x}=1\)，\(\frac{4}{x}=1\)，解得\(x=4\)，則\(y=12\)。所以\(x+y\)的最小值為\(16\)。二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是\((\quad)\)A.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)B.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)C.若\(a\gtb\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\ltd\)，則\(ac\gtbd\)答案：CD解析：選項(xiàng)A：當(dāng)\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)，\(d=2\)時，\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，但\(ac=1\times0=0\)，\(bd=(1)\times(2)=2\)，此時\(ac\ltbd\)，所以A錯誤。選項(xiàng)B：當(dāng)\(a=1\)，\(b=2\)時，\(a\gtb\)，但\(a^2=1\)，\(b^2=4\)，\(a^2\ltb^2\)，所以B錯誤。選項(xiàng)C：因?yàn)閈(a\gtb\gt0\)，所以\(ab\gt0\)，不等式\(a\gtb\)兩邊同時除以\(ab\)，不等號方向不變，得到\(\frac{a}{ab}\gt\frac{ab}\)，即\(\frac{1}\gt\frac{1}{a}\)，也就是\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)，所以C正確。選項(xiàng)D：因?yàn)閈(c\ltd\)，所以\(c\gtd\)，又因?yàn)閈(a\gtb\)，根據(jù)不等式的可加性，\(a+(c)\gtb+(d)\)，即\(ac\gtbd\)，所以D正確。10.已知函數(shù)\(f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)，則下列說法正確的是\((\quad)\)A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱C.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調(diào)遞減D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{12},0)\)對稱答案：AD解析：選項(xiàng)A：對于函數(shù)\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，在\(f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，A正確。選項(xiàng)B：若函數(shù)\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)關(guān)于直線\(x=x_0\)對稱，則\(\omegax_0+\varphi=k\pi\)，\(k\inZ\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}\frac{\pi}{6}\)，\(k\inZ\)，當(dāng)\(k=1\)時，\(x=\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)，當(dāng)\(x=\frac{\pi}{12}\)時，\(2\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\neqk\pi\)，所以\(f(x)\)的圖象不關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱，B錯誤。選項(xiàng)C：令\(2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，當(dāng)\(k=0\)時，單調(diào)遞減區(qū)間為\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)，\([0,\frac{\pi}{2}]\)并不完全在單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，所以C錯誤。選項(xiàng)D：若函數(shù)\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)關(guān)于點(diǎn)\((x_0,0)\)對稱，則\(\omegax_0+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)，\(k\inZ\)，當(dāng)\(k=0\)時，\(x=\frac{\pi}{12}\)，所以\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{12},0)\)對稱，D正確。11.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，則下列說法正確的是\((\quad)\)A.若\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增B.若\(S_3=3\)，則\(a_2=\pm1\)C.若\(a_1\gt0\)，\(q\gt0\)，\(b_n=\lna_n\)，則\(\{b_n\}\)是等差數(shù)列D.若\(a_1\gt0\)，\(q\gt0\)，\(T_n\)為\(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)積，則當(dāng)且僅當(dāng)\(a_{n+1}\geqslant1\)時，\(T_n\geqslantT_{n1}\)答案：BC解析：選項(xiàng)A：當(dāng)\(a_1\lt0\)，\(q\gt1\)時，\(a_{n+1}a_n=a_1q^na_1q^{n1}=a_1q^{n1}(q1)\lt0\)，此時\(\{a_n\}\)單調(diào)遞減，所以A錯誤。選項(xiàng)B：若\(S_3=3\)，當(dāng)\(q=1\)時，\(S_3=3a_1=3\)，則\(a_1=1\)，\(a_2=1\)；當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_3=\frac{a_1(1q^3)}{1q}=a_1(1+q+q^2)=3\)，又\(a_2=a_1q\)，\(a_1=\frac{a_2}{q}\)，則\(\frac{a_2}{q}(1+q+q^2)=3\)，\(a_2(1+\frac{1}{q}+q)=3\)，由\(a_1(1+q+q^2)=3\)，當(dāng)\(q=2\)時，\(a_1=3\)，\(a_2=6\)不滿足，當(dāng)\(q=\frac{1}{2}\)時，\(a_1=4\)，\(a_2=2\)不滿足，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)\(S_3=a_1+a_2+a_3=a_2(\frac{1}{q}+1+q)=3\)，\(a_2^2=a_1a_3\)，\(S_3=\frac{a_2}{q}+a_2+a_2q=3\)，整理得\(a_2^23a_2q+q^2a_2=0\)，當(dāng)\(q=1\)時\(a_2=1\)，當(dāng)\(q=1\)時\(a_2=\pm1\)，所以\(a_2=\pm1\)，B正確。選項(xiàng)C：已知\(a_n=a_1q^{n1}\)，\(b_n=\lna_n=\ln(a_1q^{n1})=\lna_1+(n1)\lnq\)，\(b_{n+1}b_n=\left[\lna_1+n\lnq\right]\left[\lna_1+(n1)\lnq\right]=\lnq\)（常數(shù)），所以\(\{b_n\}\)是等差數(shù)列，C正確。選項(xiàng)D：\(T_n=a_1a_2\cdotsa_n\)，\(T_{n1}=a_1a_2\cdotsa_{n1}\)，\(T_n\geqslantT_{n1}\)即\(a_n\geqslant1\)，而不是\(a_{n+1}\geqslant1\)，所以D錯誤。12.已知函數(shù)\(f(x)=x^22x+2\)，\(g(x)=kx1\)，若對任意的\(x_1\in[0,2]\)，存在\(x_2\in[0,2]\)，使得\(f(x_1)\geqslantg(x_2)\)成立，則實(shí)數(shù)\(k\)的取值范圍是\((\quad)\)A.\([2,2]\)B.\((\infty,2]\)C.\([2,+\infty)\)D.\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)答案：BD解析：對任意的\(x_1\in[0,2]\)，存在\(x_2\in[0,2]\)，使得\(f(x_1)\geqslantg(x_2)\)成立，等價于\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)。先求\(f(x)=x^22x+2=(x1)^2+1\)，\(x\in[0,2]\)的最小值，當(dāng)\(x=1\)時，\(f(x)_{\min}=1\)。再求\(g(x)=kx1\)，\(x\in[0,2]\)的最小值：當(dāng)\(k=0\)時，\(g(x)=1\)，\(g(x)_{\min}=1\)，滿足\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)。當(dāng)\(k\gt0\)時，\(g(x)\)在\([0,2]\)上單調(diào)遞增，\(g(x)_{\min}=g(0)=1\)，滿足\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)。當(dāng)\(k\lt0\)時，\(g(x)\)在\([0,2]\)上單調(diào)遞減，\(g(x)_{\min}=g(2)=2k1\)，由\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)，即\(1\geqslant2k1\)，移項(xiàng)得\(2\geqslant2k\)，解得\(k\leqslant1\)，又\(k\lt0\)，所以\(k\lt0\)。綜合可得\(k\)的取值范圍是\((\infty,2]\)；另一種情況，若從\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)嚴(yán)格推導(dǎo)：\(f(x)=(x1)^2+1\)，\(x\in[0,2]\)，\(f(x)_{\min}=1\)。\(g(x)=kx1\)，當(dāng)\(k\geqslant0\)時，\(g(x)\)在\([0,2]\)上最小值\(g(0)=1\)，滿足\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)；當(dāng)\(k\lt0\)時，\(g(x)\)在\([0,2]\)上最小值\(g(2)=2k1\)，由\(1\geqslant2k1\)，得\(k\leqslant1\)，結(jié)合\(k\lt0\)；當(dāng)考慮邊界情況，若\(g(x)\)在\([0,2]\)上最小值要滿足條件，當(dāng)\(k\gt0\)時，令\(g(0)=1\)，當(dāng)\(k\lt0\)時，令\(g(2)=2k1\leqslant1\)，解得\(k\leqslant1\)，若要保證對任意\(x_1\in[0,2]\)，存在\(x_2\in[0,2]\)滿足條件，由\(f(x)_{\min}=1\)，\(g(x)=kx1\)，當(dāng)\(k\geqslant2\)時，\(g(x)\)在\([0,2]\)上\(g(x)_{\min}=g(0)=1\)滿足；當(dāng)\(k\leqslant2\)時，\(g(x)\)在\([0,2]\)上\(g(x)_{\min}=g(2)=2k1\leqslant5\)滿足，所以\(k\)的取值范圍是\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)。三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,3)\)，若向量\(\overrightarrow{c}\)滿足\((\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\parallel\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\perp(\overrightarro