2025年北京航空航天大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)考試試題集考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______第一部分一、填空題（每小題5分，共20分）1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x^2-3x+2>0},則A∩B=__________。2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_3=5,S_5=25，則該數(shù)列的公差d=__________。4.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則sinA+cosB=__________。二、選擇題（每小題6分，共30分）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x^3B.y=-xC.y=1/xD.y=|x|2.若函數(shù)f(x)=x^2+bx+1在x=1處取得極小值，則實(shí)數(shù)b的值為（）A.-2B.-1C.1D.23.已知直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-2B.1C.-2或1D.24.已知圓O的半徑為2，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線3x+4y-5=0與圓O的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定5.已知函數(shù)f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)α的一個(gè)可能取值為（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π三、解答題（每小題10分，共30分）1.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax^2。(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。2.已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_1=2,a_4=16。(1)求該數(shù)列的公比q；(2)求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n。3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2。(1)求證：sin^2A+sin^2B=√2sin^2C；(2)若c=√10,∠A=45°，求△ABC的面積。第二部分一、填空題（每小題6分，共24分）1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x+1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________。2.設(shè)函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx+1，若g(x)在x=1處取得極值，且該極值為0，則a+b=__________。3.已知向量veca=(1,2),vecb=(x,1)，若veca+vecb與veca-vecb垂直，則x=__________。4.已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=100+2x+0.01x^2，其中x為產(chǎn)量，則當(dāng)產(chǎn)量x=100時(shí)，該產(chǎn)品的邊際成本為__________。二、選擇題（每小題7分，共35分）1.極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2的值為（）A.1/2B.1C.3/2D.22.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)3.已知函數(shù)h(x)=sin(2x+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4,0)，且圖像關(guān)于直線x=π/2對(duì)稱，則φ的一個(gè)可能取值為（）A.π/4B.3π/4C.πD.5π/44.已知函數(shù)F(x)=∫_0^x(t^2+1)dt，則F'(x)=（）A.x^2+1B.2xC.x^2D.15.已知函數(shù)f(x)=x^2+px+q在x=-1處取得極大值，且f(1)=0，則p+q的值為（）A.-1B.0C.1D.2三、解答題（每小題12分，共36分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。2.已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)；(2)求函數(shù)g(x)的拐點(diǎn)。3.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax^2在x=0處取得極值。(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷該極值是極大值還是極小值；(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。第三部分一、填空題（每小題8分，共32分）1.已知函數(shù)f(x)=√(x^2+1)-ax在x=1處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。2.已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x+1，則g(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________。3.已知向量veca=(1,1,1),vecb=(1,0,-1),vecc=(0,1,1)，則向量veca×vecb的模長(zhǎng)為__________。4.已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的收入函數(shù)為R(x)=10x-x^2，其中x為產(chǎn)量，則當(dāng)產(chǎn)量x=5時(shí)，該產(chǎn)品的邊際收益為__________。二、選擇題（每小題9分，共36分）1.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)，若a_1=1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（）A.a_n=2^(n-1)B.a_n=2^nC.a_n=1/2^(n-1)D.a_n=1/2^n2.已知函數(shù)F(x)=∫_0^x(sint+cost)dt，則F(π)的值為（）A.0B.1C.-1D.23.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1處取得極大值，在x=2處取得極小值，則a+b的值為（）A.5B.6C.7D.84.已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x+1，則g(x)的圖像的凹凸區(qū)間分別為（）A.凹區(qū)間：(-∞,1),凸區(qū)間：(1,+∞)B.凹區(qū)間：(1,+∞),凸區(qū)間：(-∞,1)C.凹區(qū)間：(-∞,0),(2,+∞),凸區(qū)間：(0,2)D.凹區(qū)間：(0,2),凸區(qū)間：(-∞,0)∪(2,+∞)三、解答題（每小題14分，共42分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求函數(shù)f(x)的圖像的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。2.已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求函數(shù)g(x)的圖像的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。3.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax^2在x=1處取得極小值。(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷該極值是極大值還是極小值；(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和圖像的凹凸區(qū)間。試卷答案第一部分一、填空題1.(-1,1)2.(0,+∞)3.24.7/5二、選擇題1.A2.A3.C4.A5.D三、解答題1.(1)f'(x)=e^x-2ax(2)f'(1)=e-2a=0,a=e/2.f''(x)=e^x-2a,f''(1)=e-2e/2=e>0,故x=1處取得極小值.2.(1)a_4=a_1*q^3,16=2*q^3,q=2.(2)S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)=2*(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2.3.(1)a^2+b^2=2c^2=>(sinA)^2+(sinB)^2=2(sinC)^2=>sin^2A+sin^2B=2[1-cos^2C]=2-2cos^2C=√2[1-(a^2+b^2)/c^2]=√2sin^2C.(2)c=√10,A=45°,a^2+b^2=2c^2=20,ab=c^2-a^2=10-a^2.sinB=sin(135°-A)=(√2/2)cosA+(√2/2)sinA=(√2/2)*(√2/2)+(√2/2)*(√2/2)=1.b=√10*a/a^2=√10/a.S_△ABC=(1/2)ab*sinC=(1/2)*a*(√10/a)*(√2/2)=(√5)/2.第二部分一、填空題1.(0,1)2.-13.-24.0.04二、選擇題1.C2.D3.B4.A5.C三、解答題1.(1)f'(x)=lnx+1/x-1.令f'(x)=0,lnx-1+1/x=0.x=1時(shí),f'(1)=0.f'(x)在(0,1)上為負(fù),在(1,+∞)上為正.故單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).(2)g'(x)=3x^2-2ax+b.g'(1)=1-a+b=0,g(1)=1-a+b+1=0=>a=2,b=-1.g'(x)=3x^2-4x-1=(3x+1)(x-1).令g'(x)=0,x=-1/3,x=1.g(-1/3)=5/27+2/3-1=11/27,g(1)=0.g(x)在(-∞,-1/3)上單調(diào)遞增,在(-1/3,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故極大值為11/27,極小值為0.a+b=2-1=1.2.(1)g'(x)=3x^2-2ax+b.g'(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增=>g''(x)=6x-2a≥0在(-2,2)上恒成立=>a≤3x在(-2,2)上恒成立=>a≤-6.g''(x)=6x-2a.令g''(x)=0,x=a/3.g''(x)在(-∞,a/3)上為負(fù),在(a/3,+∞)上為正.若-2<a/3<2,即-6<a<6,g''(x)在(-2,a/3)上為負(fù),在(a/3,2)上為正,不滿足g''(x)在(-2,2)上恒成立.故a≤-6.(2)h(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=√2sin(2x+φ+π/4).h(x)圖像關(guān)于x=π/2對(duì)稱=>2*(π/2)+φ+π/4=kπ+π/2=>φ=kπ-3π/4,k∈Z.h(π/4)=sin(π/2+φ)+cos(π/2+φ)=cosφ-sinφ=0=>φ=π/4+kπ.取k=-1,φ=-3π/4+π=-π/4.3.F'(x)=x^2+1.F'(π)=π^2+1.第三部分一、填空題1.f'(x)=1/(2√(x^2+1))-a.f'(1)=1/2√2-a=0=>a=1/2√2.f''(x)=-x/(4(x^2+1)^(3/2))<0在(0,+∞)恒成立.故x=1處取得極小值.a的取值范圍為{1/2√2}.2.g(x)=(x-1)^2(x+1).g(x)=0=>x=1(二重根),x=-1.交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3.veca×vecb=(1,1,1)×(1,0,-1)=(-1,2,-1).|veca×vecb|=√((-1)^2+2^2+(-1)^2)=√6.4.R'(x)=10-2x.R'(5)=10-2*5=0.二、選擇題1.a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)=>a_n=a_n+S_{n-1}=>S_{n-1}=0,n≥2.不可能.a_1=1.a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)=>a_n=a_n+1=>a_n=-1(n≥2).數(shù)列{a_n}為-1,-1,-1,....a_n=-1,n∈N*.C.2.F'(x)=sinx+cosx.F(π)=∫_0^π(sint+cost)dt=[-cost+sint]_0^π=(-cosπ+sinπ)-(-cos0+sin0)=(-(-1)+0)-(-(1)+0)=1-(-1)=2.D.3.g'(x)=3x^2-2ax+b.g'(1)=1-a+b=0,g'(2)=12-4a+b=0=>a=3,b=-2.a+b=1.C.4.g'(x)=3x^2-6x+2.g''(x)=6x-6.令g''(x)=0,x=1.g''(x)在(-∞,1)上為負(fù),在(1,+∞)上為正.凹區(qū)間：(1,+∞),凸區(qū)間：(-∞,1).A.三、解答題1.(1)f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1.令f'(x)=0,x=1±√(1/3).f'(x)在(-∞,1-√(1/3))上為正,在(1-√(1/3),1+√(1/3))上為負(fù),在(1+√(1/3),+∞)上為正.單調(diào)遞增區(qū)間：(-∞,1-√(1/3)),(1+√(1/3),+∞).單調(diào)遞減區(qū)間：(1-√(1/3),1+√(1/3)).f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2=8√(1/3)-10/3.f(1+√(1/3))=8√(1/3)-10/3.極大值：8√(1/3)-10/3.極小值：8√(1/3)-10/3.(2)g'(x)=3x^2-6x+2.g''(x)=6x-6.令g''(x)=0,x=1.g''(x)在(-∞,1)上為負(fù),在(1,+∞)上為正.凹區(qū)間：(1,+∞).凸區(qū)間：(-∞,1).拐點(diǎn)：(1,0).2.(1)g'(x)=3x^2-6x+