2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)應(yīng)用題專項強化試題（二）一、數(shù)列應(yīng)用題（12分）題目：某工廠2025年1月的產(chǎn)值為100萬元，由于技術(shù)升級，每月產(chǎn)值的增長率為x（x>0）。已知第一季度（1-3月）的總產(chǎn)值為331萬元，且3月的產(chǎn)值比2月多10.25萬元。（1）求x的值；（2）若保持此增長率，預(yù)計2025年全年（12個月）的總產(chǎn)值能否突破2000萬元？解答：（1）設(shè)每月增長率為x，1月產(chǎn)值a?=100萬元，2月產(chǎn)值a?=100(1+x)，3月產(chǎn)值a?=100(1+x)2。由題意得：[\begin{cases}a?+a?+a?=331\a?-a?=10.25\end{cases}]代入得：[\begin{cases}100+100(1+x)+100(1+x)2=331\100(1+x)2-100(1+x)=10.25\end{cases}]化簡第二個方程：[100(1+x)[(1+x)-1]=10.25\implies100x(1+x)=10.25\impliesx(1+x)=0.1025]解得x=0.05（x=-1.05舍去），即增長率為5%。（2）全年總產(chǎn)值為等比數(shù)列前12項和：[S_{12}=100\cdot\frac{(1+0.05)^{12}-1}{0.05}]計算(1.05)12≈1.7959，代入得：[S_{12}≈100\cdot\frac{1.7959-1}{0.05}=100\times15.918=1591.8\text{萬元}<2000\text{萬元}]結(jié)論：（1）x=5%；（2）不能突破2000萬元。二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題（14分）題目：某電商平臺銷售一種成本為40元/件的商品，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當售價為x元/件（x≥50）時，月銷量p(x)=2000-20x（單位：件）。（1）求月利潤f(x)關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（2）當售價為多少時，月利潤最大？最大利潤為多少？解答：（1）利潤=（售價-成本）×銷量，即：[f(x)=(x-40)(2000-20x)=-20x2+2800x-80000]由銷量p(x)≥0得2000-20x≥0?x≤100，結(jié)合x≥50，定義域為[50,100]。（2）對f(x)求導(dǎo)：[f'(x)=-40x+2800]令f'(x)=0，解得x=70。驗證二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=-40<0，故x=70為極大值點。代入f(70)=(70-40)(2000-20×70)=30×600=18000元。結(jié)論：售價70元時，最大月利潤18000元。三、三角函數(shù)應(yīng)用題（12分）題目：如圖，某小區(qū)有一塊矩形綠地ABCD，AB=10米，BC=8米，現(xiàn)需在對角線AC上建一個噴水裝置P，使點P到AB和AD的距離之和最大。設(shè)∠CAP=θ（0<θ<π/2），用θ表示距離之和，并求出最大值。解答：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立坐標系，AC的方程為y=(4/5)x（0≤x≤10）。點P在AC上，坐標為(5t,4t)（t∈[0,1]），則P到AB（x軸）距離為4t，到AD（y軸）距離為5t，距離之和S=5t+4t=9t。由三角函數(shù)定義，cosθ=AD/AC=8/√(102+82)=8/√164=4/√41，sinθ=10/√164=5/√41。又AP=AC·t=√164·t，故t=AP/√164=(AP·cosθ)/8=(AP·sinθ)/5，解得t=(sinθ)/5·AP=(cosθ)/4·AP，故t=sinθ/5·(√164·t)?t=sinθ/5·(√164·t)（矛盾，修正為直接用t表示θ：tanθ=5t/4t=5/4，θ為定值？不，P為動點，θ隨P變化）。正確思路：設(shè)P(x,(4/5)x)，距離之和S=x+(4/5)x=(9/5)x，x∈[0,10]，故S_max=(9/5)×10=18米。結(jié)論：距離之和S=(9/5)x，最大值18米。四、立體幾何應(yīng)用題（14分）題目：一個直三棱柱形容器（無蓋），底面是直角三角形，兩直角邊長分別為a和b，高為h，容器體積為V=108。（1）若a=b，求容器表面積S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；（2）當a、b、h為何值時，表面積最?。拷獯穑海?）體積V=(1/2)a·b·h=108，a=b時，h=216/a2。表面積S=底面積+側(cè)面積=(1/2)a2+a·h+b·h+√(a2+b2)·h=(1/2)a2+2a·h+a√2·h（a=b）。代入h=216/a2：[S(a)=\frac{1}{2}a2+2a\cdot\frac{216}{a2}+a√2\cdot\frac{216}{a2}=\frac{1}{2}a2+\frac{432(1+√2)}{a}\quad(a>0)]（2）利用均值不等式，設(shè)S=(1/2)a2+k/a（k=432(1+√2)），求導(dǎo)S’=a-k/a2，令S’=0得a3=k?a=3√k，代入得最小表面積。結(jié)論：（1）S(a)=(1/2)a2+432(1+√2)/a；（2）a=b=3√[864(1+√2)]，h=216/a2時表面積最小。五、概率統(tǒng)計應(yīng)用題（14分）題目：某工廠生產(chǎn)的零件分為A、B兩級，其中A級合格率為90%，B級合格率為80%。已知A級零件占總產(chǎn)量的60%，現(xiàn)隨機抽取1件產(chǎn)品：（1）求該產(chǎn)品為合格品的概率；（2）若已知該產(chǎn)品為合格品，求其為A級零件的概率。解答：（1）設(shè)事件A=“A級零件”，B=“B級零件”，C=“合格品”。P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(C|A)=0.9，P(C|B)=0.8。由全概率公式：[P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.9+0.4×0.8=0.54+0.32=0.86]（2）由貝葉斯公式：[P(A|C)=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{0.6×0.9}{0.86}=\frac{0.54}{0.86}≈0.6279]結(jié)論：（1）0.86；（2）約62.79%。六、解析幾何應(yīng)用題（14分）題目：已知某拋物線形拱橋的跨度為12米，拱高為4米，當水面上升1米后，水面寬度為多少？解答：以拱頂為原點，豎直向下為y軸建立坐標系，設(shè)拋物線方程為x2=-2py（p>0）。跨度12米即拋物線過點(6,4)，代入得62=-2p×4?p=-36/8=-4.5（取絕對值p=4.5），方程為x2=-9y。水面上升1米后，此時y=4-1=3，代入x2=-9×3=-27（矛盾，修正坐標系：以水面為x軸，拱頂為(0,4)，方程y=ax2+4，過點(6,0)，則0=36a+4?a=-1/9，方程y=-x2/9+4。水面上升1米后，y=1，代入1=-x2/9+4?x2=27?x=±3√3，寬度=2×3√3=6√3≈10.392米。結(jié)論：水面寬度為6√3米（約10.39米）。七、綜合應(yīng)用題（18分）題目：某農(nóng)場要建造一個矩形養(yǎng)雞場，雞場一邊靠墻（墻長20米），另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長30米。（1）設(shè)垂直于墻的邊長為x米，求雞場面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；（2）當x為何值時，面積S最大？最大面積為多少？（3）若在雞場內(nèi)部沿平行于墻的方向加一道籬笆，將雞場分為兩塊，此時最大面積為多少？解答：（1）垂直墻邊長x，平行墻邊長y=30-2x，面積S=x(30-2x)=-2x2+30x。由y≤20得30-2x≤20?x≥5；又y>0得x<15，定義域[5,15)。（2）S=-2x2+30x，對稱軸x=7.5∈[5,15)，S_max=S(7.5)=-2×56.25+225=112.5平方米。（3）加一道籬笆后，總籬笆長30=2x+2y?y=15-x，面積S=x(15-x)=-x2+15x，對稱軸x=7.