宜春市十校協(xié)作體2025～2026學(xué)年高三(上)第一次聯(lián)考

(濱江中學(xué)，豐城九中，奉新一中，高安二中，銅鼓中學(xué)，萬載中學(xué)，宜春一中，宜春九中，宜豐中學(xué)，樟樹中學(xué))

數(shù)學(xué)

考生注意：

1、本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的

答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，

超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題范圍：高考范圍(重點(diǎn)考察：解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列十滾動前面)。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+3i,則z的虛部為

A.—2B.3C.—2iD.3i

2.已知集合A={x∈Z|x2≤4},,則A∩B=

A.(-2,0)U(0,2]B.(-2,0)U(1,2]

C.{-2,—1}D.{-2,-1,2}

3.已知x∈R,則“x>1”是“x>√x”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

4.已知棱長為3的正方體ABCD-A?B?CD?的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的表面積為

A.27πB.25πC.23πD.16π

5.已知向量a,b滿足|a|=√3,|b|=1,若a在b上的投影向量為b,則cos<a,b>=

ABCD

6.在的展開式中r2的系數(shù)為

A.144B.136C.128D.121

【第一次聯(lián)考·數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】

7.小胡和小李正在進(jìn)行乒乓球單打決賽，現(xiàn)在的情形是還剩兩局比賽，小胡只要再贏一局就獲得冠軍，小

李需要兩局都贏才能獲得冠軍.若兩人每局贏的概率均為·,則在此情形下小胡獲得冠軍的概率為

ABCD

8.在等比數(shù)列{an〉中，a?+az=2+4√2,a?+a?=16+4√2,若不等式log?a?-log?a?+log?a?-log?a?+…十

(一1)n+1log?an>19成立，則n的最小值為

A.24B.25C.26D.27

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.下列命題正確的是

A.樣本數(shù)據(jù)2,4,6,9,11,16的75%分位數(shù)是10

B.若隨機(jī)變量,則

C.若隨機(jī)變量X～N(1,a2)(σ>0),且P(X≤3)=0.75,則P(1≤r≤3)=0.25

D.若隨機(jī)事件A,B滿足P(A)>0,P(B)>0,且AB=,則P(AB)≠P(A)P(B)

10.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列命題正確的是

A.若a:b:c=2:√7:3,則

B.若a>b,則sinA>sinB

C.若△ABC為銳角三角形，則cosA>sinB

D.若滿足,c=6的△ABC有兩個，則a的取值范圍為(3√3,6)

11.已知F?,F?是雙曲線和橢圓的左、右焦點(diǎn)，

P為C與E在第一象限內(nèi)的一個交點(diǎn)，若,則

A.C的漸近線方程為√2x±y=0B.E的短軸長是C的虛軸長的2√3倍

C.E的離心率和C的離心率的積為1D.△PF?F?的面積為2√3a2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知,則

13.若函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|的最小值為3,則a=.

14.已知平面a∩β=l,A∈l,B∈l,AB=3,C∈β,CA⊥l,D∈a,DB⊥l,AC=DB=4,異面直線AC與BD

所成的角是,則線段CD的長為

【第一次聯(lián)考·數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

已知a=(sinx+cosx,2sinx),b=(sinx—cosx,√3cosx),函數(shù)f(x)=a·b+t(t為常數(shù)).

(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若,且在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

△ABC的面積.

16.(本小題滿分15分)

已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，P(2,m)為C上一點(diǎn)，|PF|=3.

(1)求C的方程；

(2)過F的直線l與C和圓(x-1)2+y2=1依次交于點(diǎn)A,M,N,B(如圖所

示),求|AM|·|BN|.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD,E為棱PD上一點(diǎn)，且

PE=2ED.

(1)證明：平面PAC⊥平面PBD;

(2)設(shè)直線PC與平面ABE交于點(diǎn)F,證明：EF//CD;

(3)若AB=4,,PD=3,求平面ABE與平面AEC的夾角的余

弦值.

【第一次聯(lián)考·數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】

18.(本小題滿分17分)

巳知數(shù)列{an}滿足

(1)證明：數(shù)列{an+1-an}為等比數(shù)列；

(2)求{an}的通項(xiàng)公式；

(3)記b?=2a+1,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,證明

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)f(x)=e1-ax,g(x)=sinx—bz(b∈R),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸

垂直.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若,目x?∈R,使得g(x?)>f(x?),求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N°,n≥2,證明

【第一次聯(lián)考·數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】

高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則

1.A由iz=2+3i,得,故z的虛部為—2.故選A.

2.D由x2≤4,得-2≤x≤2,故A={-2,—1,0,1,2Y;由,得x<0,或x>1,故B=(一∞,0)U(1,+∞),所以

A∩B={-2,—1,2}.故選D.

3.C由x>√x,得解得x>1,所以“x>1”是“x>√x”的充要條件.故選C

4.A由題意得球O的半徑,所以該球的表面積故選A.

5.C由題意，得,又|b|=1,所以,所以.故選C.

6.A,r=0,1,2,…,9,,得r=2,所以

144.x2.故選A.

7.B小胡獲得冠軍的概率為.故選B

8.D設(shè){am)的公比為q,記S=log?a?-log?a2+log?as—log?a4+…+(一1)"+11og?an,由a?+a2=2+4√2,a2+as=

16+4√2,得,a?=2,所以an=2×(2√2)”?1=2二.令b?=(一1)#+1log?an,則b?=

.當(dāng)n為偶數(shù)時，無正整數(shù)解；當(dāng)n為大于2

的奇數(shù)時，

19,解得n>25,又n為奇數(shù)，所以n的最小值為27.故選D.

9.BCD由6×75%=4.5,故該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大排列的第5個數(shù)，即為11,故A錯誤；若

,故B正確；若X～N(1,σ2),P(X≤3)=0.75,所以P(1≤x≤3)=P(X≤3)一

P(X<1)=0.75—0.5=0.25,故C正確；由AB=x,得P(AB)=0,又P(A)>0,P(B)>0,所以P(AB)≠

P(A)P(B),故D正確.故選BCD.

10.ABD由a:b:c=2:√7:3,可設(shè)a=2t,b=√7t,c=3t(t>0),所以

(0,π),所以,故A正確；由a>b及正弦定理，得sinA>sinB,故B正確；由△ABC為銳角三角形，得A+B>

,所以,所以sin,即cosA<sinB,故C錯誤；由滿足,c=6的△ABC有

兩個，得csinA<a<c,即3√3<a<6,故D正確.故選ABD.

11.ACD由題意，得|PF?|-|PF?|=2a,|PF?I+|PF?|=6a,所以|PF?|=4a,|PF?|=2a.在△PF?F2中，由余弦

定理得|PF?I2=|PF?I2+|F?F?I2-2|PF?I|F?F?|cos∠PF?F?,即4a2=16a2+4c2—8√3ac(c為半焦距),所以

,所以,所以,所以C的漸近線方程為√2x±y=0,故A正確；由題意，c2=

9a2—m2=a2+B2=3a2,得m=√6a.從而E的短軸長為2m=2√6a,C的虛軸長2b=2√2a,,故B錯

誤；由,知C的離心率為√3,E的離心率為,二者的積為1,故C正確；由∠PF?

【高三11月質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共4頁)】N

PF?|=4a,|F?F?|=2c=

故選ACD.

因?yàn)?所以

13.-2或4法1:當(dāng)a≤1時，所以f(x)min=1-a=3,所以a=-2;當(dāng)a>1時，f(x)=

所以f(x)nin=a-1=3,所以a=4,所以a=-2,或a=4.

法2:由絕對值的幾何意義，得|x-1|+|x-a|的最小值為|a-1|,所以|a-1|=3,解得a=-2,或a=4.

14.5或√57如圖，作AE//BD且AE=BD,連接ED,EC,則∠CAE(或其補(bǔ)角)為異面直線AC,BD所成的角，所以

,或.因?yàn)锳E//BD,且AE=BD,所以ABDE是平行四邊

形，所以DE//AB,DE=AB=3,因?yàn)锳B⊥AC,AB⊥BD,所以ED⊥AC,EDI

AE,又AC∩AE=A,所以ED⊥平面AEC,又CEC平面AEC,所以ED⊥CE.

AC=AE=4,若,則CE=4,CD=√32+42=5;若.,則

CE=4√3,CD=√32+(4√3)=√57.故CD的長為5或√57.

15.解：(1)由題意得f(x)=a·b+t=sin2x—cos2x+2√3sinacosa+t=√3sin2x—cos2x+t

………………2分

所以f(x)的最小正周期……………………4分

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).……6分

(2)由,得,故t=-1.……………7分

由1,得,即

因?yàn)锳∈(0,π),所以,所以,………………9分

所以a2=b2+c2—2bccosA=b2+22+bc,10分

又a2—b2-c2=6,即a2=b2+c2+6,所以bc=6,……………11分

所以…………13分

16.解：(1)由P(2,m),且|PF|=3及拋物線的定義，

所以p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.…………………5分

(2)由(1)得F(1,0),由題意知1的斜率不為0,故可設(shè)l的方程為x=ty+1,A(xi,y1),B(x2,y?),6分

由消去x并整理，得y2—4ty-4=0,………………………8分

則△=16r2+16>0,且yi+y?=4t,yiy2=-4,…………………10分

又|AM|=|AF|-|MF|=1+x?-1=xi=ty?+1,同理|BN|=ty?+1,……12分

所以|AM|·|BN|=(ty+1)(ty?+1)=t2yy2+t(y+y2)+1

=-412+4t2+1=1.…………15分

【高三11月質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共4頁)】N

17.(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC,…………·1分

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.……………………2分

又PD,BDC平面PBD,且PD∩BD=D,

所以AC⊥平面PBD.……………………3分

因?yàn)锳CC平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD4分

(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB//CD,

又ABC平面ABE,CDC平面ABE,

所以CD//平面ABE,…………………6分

又CDC平面PCD,且平面ABE∩平面PCD=EF,

所以EF//CD.……………………8分

(3)解：設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA,OB分別為x軸，y軸，過○垂直于平面ABCD的直線為z軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2√3,0,0),B(0,2,0),C(-2√3,0,0),E(0,-2,1),所以AE=(-2√3,-2,1),

AB=(-2√3,2,0),AC=(-4√3,0,0).…………9分

設(shè)平面ABE的一個法向量m=(x,y,z),則

令x=1,解得y=√3,之=4√3,所以m=(1,√3,4√3).……11分

設(shè)平面AEC的一個法向量n=(a,b,c),則

令b=1,解得a=0,c=2,所以n=(0,1,2)13分A

設(shè)平面ABE與平面AEC的夾角為0,

.………15分

18.(1)證明：由an+2+3an=4an+1,得an+2—an+1=3an+1-3an=3(an+1-an),…………………2分

,所以……………………3分

即{an+1-an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，………5分

(2)解：由(1)知an+1-an=1×3”一1=3”-1,…………6分

當(dāng)n≥2時，an=(an-an-1)+(a?-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a?)+a1

當(dāng)n=1時也成立，

所以{an}的通項(xiàng)公式為。.………………………9分

(3)證明：由(2)得b=2an+1=3”?1+1,………………………10分

所以

顯然{S,}是遞增數(shù)列，所以

【高三11月質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共4頁)】N

因,所以

……………………17分

19.(1)解：由f(x)=e?1—ax,得f(x)=e2?1-a,…1分

由題意，得f'(1)=e—a=0,所以a=1,2分

所以f(x)=e21-x,f'(x)=e-1-1,

令f(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得x<1,…………3分

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(一∞,1).……………4分

(2)解：由(1)得f(x)mi=f(1)=0,5分

由題意，

由g(x)=sinx—bx,得g'(x)=cosx—b,