3.2勾股定理的逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)為新教材蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)第三章第2節(jié)“勾股定理的逆定理”，核心內(nèi)容是使用勾股定理的逆定理判定直角三角形，并進(jìn)一步了解勾股數(shù)的概念與應(yīng)用。2.內(nèi)容解析本節(jié)通過(guò)古埃及人用“3、4、5”分段繩子構(gòu)造直角三角形的實(shí)例，引入勾股定理逆命題“若一個(gè)三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，則此三角形是直角三角形”。重點(diǎn)在于將“直角三角形”的性質(zhì)與“判定”區(qū)分開(kāi)，同時(shí)引出勾股數(shù)的概念及常用性質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解與推理。學(xué)生需掌握利用逆定理判定直角三角形的方法，理解勾股數(shù)的產(chǎn)生與倍數(shù)特征。1.教學(xué)目標(biāo)?經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之間的關(guān)系，發(fā)展推理能力。?能利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形為直角三角形，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。?了解勾股數(shù)的概念，熟悉常用的勾股數(shù)。2.目標(biāo)解析?通過(guò)構(gòu)造輔助三角形并運(yùn)用邊邊邊SSS全等等方法，引導(dǎo)學(xué)生理解“若a2+b?通過(guò)典型例題與生活情境（如古埃及金字塔構(gòu)造），提升學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的應(yīng)用意識(shí)。?結(jié)合數(shù)形結(jié)合與運(yùn)算技巧，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別和運(yùn)用常見(jiàn)勾股數(shù)的能力。3.重點(diǎn)難點(diǎn)?教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理判定直角三角形的過(guò)程及勾股數(shù)應(yīng)用。?教學(xué)難點(diǎn)：充分理解“直角三角形”的判定思路，以及正確區(qū)分勾股定理和其逆定理的條件與結(jié)論。學(xué)生對(duì)勾股定理已有初步認(rèn)知，但對(duì)逆定理的邏輯推理仍需深化。能熟練計(jì)算平方和并進(jìn)行比較，但在靈活應(yīng)用勾股數(shù)及建模推理方面較欠缺。需通過(guò)多樣化情境和例題，幫助學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何結(jié)合在判定與計(jì)算中的重要作用。創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1. 教師展示“古埃及建造金字塔”的故事情境：“四千多年前，古埃及人在一根繩子上打上距離相等的結(jié)，然后把繩子分成12等份，再分別取3份、4份、5份組成三角形，據(jù)說(shuō)其中一個(gè)角就是直角。你能想一想，這個(gè)結(jié)論是如何得到的嗎？”2. 組織學(xué)生結(jié)合已有對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，思考下述問(wèn)題：o 他們?yōu)楹握J(rèn)定此三角形有一個(gè)角為直角？o 這與我們之前學(xué)習(xí)的勾股定理有什么關(guān)聯(lián)？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)生活化的“古埃及繩結(jié)法”情境，引出“三邊長(zhǎng)組成3,4,5的三角形是直角三角形”的事實(shí)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，為“勾股定理的逆定理”新知做鋪墊，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)與方向。探究點(diǎn)1：勾股定理的逆定理的提出與證明1. 問(wèn)題引入o 教師提問(wèn)：勾股定理的內(nèi)容是“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么它有一個(gè)逆命題：“如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形”，它是否真實(shí)？應(yīng)如何證明？2. 新知導(dǎo)出o 先請(qǐng)學(xué)生口頭復(fù)述勾股定理：“在直角三角形中，若三邊分別為a,b,c（c是斜邊），則有a2+o 引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考：如果只給出a2+o 師生共同回顧“逆命題”定義，明確要證明其真?zhèn)?，并探究證明思路。3. 師生活動(dòng)o 教師演示：在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，且a2+b2=c證明：作一個(gè)△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，A′C′＝b．根據(jù)勾股定理，得A′B′2＝a2＋b2.因?yàn)锳B2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB根據(jù)“SSS”，可知△ABC≌△A′B′C′.于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形．o 學(xué)生分組討論“如何用全等三角形的思想證明‘逆定理’”，并在小組內(nèi)嘗試復(fù)述該證明過(guò)程。4. 結(jié)論歸納o 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且滿足a2+符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2．∴△ABC為直角三角形，且∠C＝90°.o 勾股定理的逆定理是判斷三角形是否是直角三角形的重要方法。5. 例題鞏固例1△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．證明：是直角三角形，∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1．c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1．∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形.o 教師總結(jié)：運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的一般步驟是什么？找：確定三角形的最長(zhǎng)邊；算：分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和；比：通過(guò)比較來(lái)判斷最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；判：作出結(jié)論，若相等，則說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，否則不是直角三角形.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“構(gòu)造一個(gè)與已知三角形具有相同兩邊的直角三角形，再利用全等推斷”的活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷演繹證明過(guò)程，發(fā)展推理能力，掌握“勾股定理的逆定理”的核心思想與關(guān)鍵證明過(guò)程。探究點(diǎn)2：勾股定理的逆定理的應(yīng)用——勾股數(shù)的概念與典型實(shí)例1. 問(wèn)題引入o 教師提問(wèn)：你知道古埃及人構(gòu)造的三角形為什么是直角三角形了嗎？o 學(xué)生討論：∵32＋42＝52，∴這個(gè)三角形為直角三角形．o 教師總結(jié)：古埃及人用了3、4、5組成直角三角形，那么其他所有滿足a2+o 學(xué)生猜想：或許這些正整數(shù)(a,b,c)都稱為“勾股數(shù)”。2. 新知導(dǎo)出o 師生總結(jié)勾股數(shù)定義：如果三個(gè)正整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系a2＋b2＝c2，則稱a，b，c為勾股數(shù)．勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；（2）兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．3. 師生活動(dòng)o 教師出示例題，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算或推導(dǎo)，判斷“8,15,17、11,60,61”等是否是勾股數(shù)。o 學(xué)生分組討論：為什么滿足a2+b2o 教師補(bǔ)充演示：若(a,b,c)是一組勾股數(shù)，則(ka,kb,kc)也是一組勾股數(shù)，進(jìn)一步完善對(duì)勾股數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。例2已知：a，b，c為正整數(shù)，且a2＋b2＝c2．求證：對(duì)于任意的正整數(shù)k，正整數(shù)ka，kb，kc構(gòu)成勾股數(shù)．證明：∵a2＋b2＝c2，∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2＝k2(a2＋b2)＝k2c2＝(kc)2．∵a，b，c，k為正整數(shù)，∴ka，kb，kc為正整數(shù).∴ka，kb，kc構(gòu)成勾股數(shù).4.例題鞏固（幾何應(yīng)用）例3如圖，AD是△ABC的中線，AD＝24，AB＝26，BC＝20．求AC的長(zhǎng)．解：∵AD是△ABC的中線，BC＝20，∴BD＝DC＝12BC＝10∵AD＝24，AB＝26，∴AD2＋BD2＝242＋102＝676，AB2＝262＝676．∴AD2＋BD2＝AB2．∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)．∴AD垂直平分BC．∴AC＝AB＝26．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)典型算例與數(shù)形結(jié)合，學(xué)生體會(huì)“整式運(yùn)算與直觀幾何”在判定直角三角形中的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)一步加深對(duì)于勾股數(shù)及其推廣規(guī)律的理解，培養(yǎng)其綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，并逐步提升對(duì)勾股定理及其逆定理的應(yīng)用意識(shí)。探究點(diǎn)2：勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系教師提問(wèn)：通過(guò)試題的練習(xí)，那么勾股定理與其逆定理有什么區(qū)別與聯(lián)系？學(xué)生分組討論，共同完成下表：1.下面以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角．(1)a＝8，b＝15，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15．解：(1)在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289，∴a2＋b2＝c2．∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．(2)在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225，∴a2＋b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形．2.判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)a:b:c=3:4:5．解：(1)在△ABC中，∵∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－65°＝90°．∴△ABC是直角三角形.(2)設(shè)a＝3k、b＝4k、c＝5k(k＞0)，∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.3.下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎？為什么？(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．解：(1)∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324，∴122＋152≠182．∴12，15，18不是勾股數(shù)．(2)∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721，∴112＋602＝612．∴11，60，61是勾股數(shù)．(3)∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521，∴152＋362＝392．∴15，36，39是勾股數(shù)．(4)∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269，∴122＋352≠362．∴36，35，12不是勾股數(shù)．4.已知直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c下列說(shuō)法是否正確？(1)以長(zhǎng)分別為2a，2b，2c的三條線段能組成一個(gè)直角三角形；(2)以長(zhǎng)分別為a，b，c的三條線段能組成一個(gè)直角三角形．證明：(1)說(shuō)法正確．假設(shè)直角三角形的斜邊為c，則有a2＋b2＝c2，∵(2a)2＋(2b)2＝4a2＋4b2＝4(a2＋b2)＝4c2＝(2c)2．∴以長(zhǎng)分別為2a，2b，2c的三條線段能組成一個(gè)直角三角形.(2)說(shuō)法不正確．假設(shè)直角三角形的斜邊為c，則有a2＋b2＝c2，∵(a)2＋(b)2＝a＋b，(c)2＝c．由三角形三邊關(guān)系得a＋b＞c，∴(a)2＋(b)2＞(c)2，∴以長(zhǎng)分別為a，b，c的三條線段不能組成一個(gè)直角三角形.5.一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的比為3:4:5，它的周長(zhǎng)是60.求這個(gè)三角形的面積.解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3x，4x，5x．由題意，得3x＋4x＋5x＝60，解得x＝5．∴三邊長(zhǎng)分別為15，20，25．∵152＋202＝252，∴這個(gè)三角形是直角三角形．∴S＝12×15×20＝1506.計(jì)算圖中四邊形ABCD的面積．解：在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD2＝122＋162＝400，∴BD＝20.∵CD＝15，BC＝25，∴CD2＋BD2＝152＋202＝625，BC2＝252＝625．∴CD2＋BD2＝BC2．∴∠BDC＝90°(勾股定理的逆定理)．∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝12×12×16＋12×15×20＝7.如圖，AD⊥BC，垂足為D.如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5.在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20.∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25.∴AC2＋AB2＝BC2.∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.思維提升觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫出：(1)當(dāng)a＝19時(shí)，b＝___180_____，c＝____181____；(2)當(dāng)a＝2n＋1時(shí)，求b，c的值；(3)用(2)的結(jié)論判斷15，111，112是否為一組勾股數(shù)，并說(shuō)明理由．解：(2)通過(guò)觀察知c－b＝1，∵(2n＋1)2＋b2＝c2，∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2，∴b＋c＝(2n＋1)2.又∵c＝b＋1，∴2b＋1＝(2n＋1)2，∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1.（3）不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1為一組勾股數(shù)．當(dāng)n＝7時(shí)，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111，∴15，111，112不是一組勾股數(shù)．1. 標(biāo)題：3.2勾股定理的逆定理2. 勾股定理：文字表述：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方公式：a2+b2=c23. 逆定理內(nèi)容及判定過(guò)程：文字表述：若三邊滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形判定步驟：找最長(zhǎng)邊、算平方和、比大小、作判斷4. 勾股數(shù)概念：滿足a2+b2=c2的正整數(shù)a、b、c5. 應(yīng)用舉例：例11. 基礎(chǔ)練習(xí)：課本或配套習(xí)題中與勾股定理逆定理相關(guān)的試題；2. 應(yīng)用題：（1）給出三角形的三條邊長(zhǎng)度，判斷是否為直角三角形，并說(shuō)明理由（不少于2組數(shù)據(jù)）；（2）嘗試?yán)谩肮垂蓴?shù)”構(gòu)造新的直角三角形并計(jì)算其面積；3. 拓展思考：查找并舉例說(shuō)明在實(shí)際測(cè)量或工程中，利用勾股定理逆定理進(jìn)行判定或測(cè)量的具體場(chǎng)景。若條件允許，可用課外讀物或資料進(jìn)行整理，并于下次課分享。本節(jié)課在“勾股定理的逆定理”教學(xué)中，教學(xué)目