2025年濟(jì)南大學(xué)強(qiáng)基計劃材料科學(xué)與工程專業(yè)試題及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單選題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之差為（）A.8B.6C.4D.22.不等式|2x-1|<x+1的解集為（）A.(-∞,-1)B.(0,2)C.(-1,2)D.(1,+∞)3.在直角坐標(biāo)系中，直線l1:y=kx+1與直線l2:x+y=0的夾角為30°，則實數(shù)k的值為（）A.√3/3B.√3C.-√3/3D.-√34.已知向量a=(1,2)，向量b=(-3,m)，若a⊥b，則實數(shù)m的值為（）A.-3/2B.3/2C.-6D.65.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少包含1名女生，則不同的選法共有（）種。A.40B.60C.80D.100二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）6.若復(fù)數(shù)z=1+i（其中i為虛數(shù)單位）的模為|z|，則|z|2=。7.在等差數(shù)列{an}中，a?=3，公差d=2，則該數(shù)列的前5項和S?=。8.一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為。9.某地區(qū)去年平均氣溫為15℃，今年平均氣溫比去年高了2℃，但比前年低了1℃，則前年該地區(qū)的平均氣溫為。10.若事件A和事件B互斥（即A發(fā)生則B不發(fā)生，B發(fā)生則A不發(fā)生），且P(A)=0.6，P(B)=0.3，則事件A和事件B中至少有一個發(fā)生的概率為。三、解答題（本大題共6小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）11.（本小題滿分8分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3。(1)求函數(shù)f(x)的頂點坐標(biāo)和對稱軸方程；(2)若x?,x?是f(x)=0的兩根，求x?2+x?2的值。12.（本小題滿分8分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=3，b=2√3，C=60°。(1)求邊c的長度；(2)求sinA的值。13.（本小題滿分9分）已知數(shù)列{an}滿足a?=1，且對于任意正整數(shù)n，都有an+1=2an+1。(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn。14.（本小題滿分9分）如圖（此處無圖），在邊長為a的正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF=1/3CD。求證：AF⊥BE。15.（本小題滿分10分）將一個半徑為R的金屬球加熱，其體積V隨半徑R的變化而變化（R>0），已知體積V增大的速率與球表面溫度及球的表面積S成正比，比例系數(shù)為k。若球的初始半徑為R?，初始表面溫度為T?，求該金屬球體積V隨半徑R的變化關(guān)系式。16.（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為10元，售價為20元。工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需要支付固定成本1000元。設(shè)工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量為x（x≥1），且x為整數(shù)。(1)求工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本C(x)和總收益R(x)；(2)當(dāng)工廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？---試卷答案一、單選題1.C2.C3.A4.D5.B二、填空題6.27.258.15π9.1610.0.9三、解答題11.(1)解析：f(x)=x2-2x+1+2=(x-1)2+2。頂點坐標(biāo)為(1,2)，對稱軸方程為x=1。(2)解析：由f(x)=0得x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，解得x?=x?=1。所以x?2+x?2=12+12=2。12.(1)解析：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得，c2=32+(2√3)2-2×3×(2√3)×cos60°=9+12-12=9。所以c=3。(2)解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB得，3/sinA=2√3/sin(180°-60°-A)=2√3/sin(120°-A)。sinA=(3sin(120°-A))/(2√3)=(3√3/2cosA-3/2sinA)/(2√3)=(3/4)cosA-(1/4)sinA。整理得sinA+(3/4)sinA=(3/4)cosA，即7/4sinA=3/4cosA。tanA=3/7。在△ABC中，A∈(0,120°)，所以sinA=√(1+tan2A)/2=√(1+(3/7)2)/2=√(1+9/49)/2=√(58/49)/2=√58/14。13.(1)解析：an+1-1=2(an-1)。令bn=an-1，則bn+1=2bn。所以{bn}是首項為a?-1=0，公比為2的等比數(shù)列。bn=0×2??1=0。所以an=bn+1=0+1=1。即數(shù)列{an}是常數(shù)列，通項公式為an=1。(2)解析：由(1)知an=1。所以Sn=1+1+...+1(共n項)=n。14.解析：取正方形ABCD所在平面的垂線，設(shè)垂足為O。由正方形性質(zhì)知O為正方形中心，E,F在BC,CD上，CF=1/3CD，則OF=1/6BD=1/3OC。連接OA,OE,OF。在Rt△OAC中，OA=1/2AC=1/2a，OC=1/2BD=1/2a。由勾股定理OC2+OA2=AC2，即(1/2a)2+(1/2a)2=a2?！螦OC=90°。又BE是正方形對角線，OE=1/2BE=√2/4a。在Rt△OEC中，CE=1/2BC=1/2a。由勾股定理OE2+CE2=OC2，即(√2/4a)2+(1/2a)2=(1/2a)2?！螼EC=90°。因為∠AOC=∠OEC=90°，OC=1/2a=CE，OE=OE，所以△AOC≌△ECE(HL)。所以∠FAO=∠CEB。又∠FAO+∠OAB=90°，∠CEB+∠EBC=90°。所以∠OAB=∠EBC。在△ABE和△BAF中，∠OAB=∠EBC，AB=AB，∠FAO=∠CEB。所以△ABE≌△BAF(AAS)。所以AF=BE。因為BE⊥AC，所以AF⊥BE。15.解析：設(shè)金屬球表面溫度為T，表面積為S=4πR2。由題意dV/dt=kTS。體積V=(4/3)πR3，dV/dR=4πR2。所以dV/dt=(dV/dR)*(dR/dt)=4πR2*(dR/dt)。代入得4πR2*(dR/dt)=kT*4πR2。因為R>0，所以dR/dt=kT。即dR/dt是常數(shù)。積分得R=kTt+C。由初始條件R?=kT?t?+C，得C=R?-kT?t?。所以R=kTt+R?-kT?t?。令t=0，得R=R?-kT?t?。所以R?=R?-kT?t?+kT?t?。體積V=(4/3)πR3=(4/3)π(kTt+R?-kT?t?)3。16.解析：(1)解：總成本C(x)=固定成本+可變成本=1000+10x。總收益R(x)=售價×數(shù)量=20x。所以C(x)=1000+10x，R(x)=20x。(2)解：利潤P(x)=總收益-總成本=R(x)-C(x)=20x-(1000+10x)=10x-