高中數(shù)系補(bǔ)充與復(fù)數(shù)引入的教學(xué)設(shè)計(jì)1.引言復(fù)數(shù)的引入，其實(shí)只是為了解決一個(gè)方程根的個(gè)數(shù)與次數(shù)關(guān)系的問題，但不可否認(rèn)的是，自從引入了復(fù)數(shù)，不僅僅是讓數(shù)系的范圍更大，它也讓很多東西變得更加的美好，有助于推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，同時(shí)也反映了人類理性思維的作用.2.理論基礎(chǔ)本文的研究是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過實(shí)數(shù)系知識的基礎(chǔ)上，把用類比思想的方法解決.采用了學(xué)生主體，啟發(fā)學(xué)生，并讓學(xué)生自主思考、動(dòng)手的教學(xué)方法，以達(dá)到讓學(xué)生充分掌握所學(xué)知識的目的.本文通過設(shè)定明確的目標(biāo)，切實(shí)關(guān)注學(xué)生的觀念與想法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和思考的過程中體驗(yàn)快樂，以經(jīng)典的問題分析，啟發(fā)學(xué)生對類比思想的理解，時(shí)刻觀察學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的問題并予以解決.3.教學(xué)設(shè)計(jì)案例3.1課前準(zhǔn)備3.1.1教材分析數(shù)系的補(bǔ)充與復(fù)數(shù)的引入是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（選修）第三章的內(nèi)容，本章具有十分重要的作用,它不光是高考中的考點(diǎn),也是數(shù)學(xué)這門學(xué)科對于數(shù)系補(bǔ)充較為關(guān)鍵的一章.為培養(yǎng)學(xué)生能夠獨(dú)立處理問題和獨(dú)立思考的能力.3.1.2學(xué)情分析高二學(xué)生此時(shí)理解并掌握的只是已經(jīng)從自然數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系，但為了處理這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題，根據(jù)之前學(xué)習(xí)的思路，設(shè)想引入一個(gè)新的數(shù)集，并且希望新引入的數(shù)和實(shí)數(shù)之間仍然產(chǎn)生各種聯(lián)系和運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足實(shí)數(shù)計(jì)算的運(yùn)算規(guī)律.在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)，學(xué)生可以獨(dú)立思考，運(yùn)用自己所學(xué)一定的的推理與證明知識以及能力，來解決老師所給出的例題，本節(jié)課運(yùn)用類比思想對實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，以便更深入的理解復(fù)數(shù).3.1.3教學(xué)目標(biāo)分析（1）知識與技能了解數(shù)系由于實(shí)際的生產(chǎn)生活和科學(xué)技術(shù)的需要及引入復(fù)數(shù)的必要性；掌握復(fù)數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)概念及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)的類比思想.（2）過程與方法通過具體到抽象的類比過程，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)的一般形式;通過類比實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義，類比向量求模來學(xué)習(xí)求復(fù)數(shù)的模，掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維轉(zhuǎn)化能力.（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀通過學(xué)生與老師之間的交流研究激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對數(shù)學(xué)概念的來龍去脈有所了解，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.3.1.4教學(xué)重難點(diǎn)分析（1）教學(xué)重點(diǎn)深化認(rèn)識引入復(fù)數(shù)的必要性，理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件、幾何意義以及四則運(yùn)算，并能夠?qū)︻}目進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，使問題得以解決.（2）教學(xué)難點(diǎn)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，幾何意義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.3.1.5教學(xué)方法本節(jié)課采用了啟發(fā)式教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，在教師的組織和帶領(lǐng)下，學(xué)生通過獨(dú)立思考，之后再由老師進(jìn)行講解，使學(xué)生更清楚地理解，增強(qiáng)了課堂教學(xué)的直觀性原則，豐富課堂，激發(fā)每一個(gè)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.3.1.6教學(xué)媒體的選擇本章教學(xué)采用PPT和黑板結(jié)合教學(xué)，在采用PPT的同時(shí)，黑板上也對重點(diǎn)知識進(jìn)行標(biāo)注，使學(xué)生更加清晰透徹地理解掌握新知識.3.2教學(xué)過程設(shè)計(jì)3.2.1課程導(dǎo)入老師：在我們學(xué)習(xí)當(dāng)中，知道了是無解的，準(zhǔn)確來說應(yīng)該是在我們所學(xué)的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的確不存在的.如果假設(shè)它們存在，那么這些數(shù)是什么呢？咱們能不能解決這類問題呢？這就是我們今天要學(xué)的內(nèi)容.3.2.2課堂探究（1）引領(lǐng)悟識老師：其實(shí)對于這種“數(shù)不存在”的情況，我們從小學(xué)到現(xiàn)在都有遇到過，所以我們也一直在對數(shù)系的進(jìn)行不斷擴(kuò)充.學(xué)生（討論完成）：老師總結(jié)：在自然界生活中，一開始的結(jié)繩計(jì)數(shù)，我們只知道自然數(shù)，又有了負(fù)數(shù)，一起構(gòu)成整數(shù)；后來又添上分?jǐn)?shù)和小數(shù)就成為了有理數(shù)；有理數(shù)再加上無理數(shù)就成為了實(shí)數(shù)…【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生討論、回憶所學(xué)過的相關(guān)知識，通過類比，了解擴(kuò)充數(shù)系要從引入新數(shù)開始，為學(xué)習(xí)新知做準(zhǔn)備.】老師：那么現(xiàn)在我們能不能也引入新數(shù)，使得平方為負(fù)數(shù)？我們將引入的數(shù)記作,并且規(guī)定的平方為，老師總結(jié)：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，用字母表示，其中叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做復(fù)數(shù)的虛部，稱為虛數(shù)單位，所有復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記為，即.現(xiàn)在我們就把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集了，至此，我們有.老師：同學(xué)們來想一想，復(fù)數(shù)在什么情況可以變?yōu)閷?shí)數(shù)？（引出復(fù)數(shù)的分類）例1：實(shí)數(shù)分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？老師：因?yàn)?，所以，都是?shí)數(shù)：(1)當(dāng)，即時(shí)，為實(shí)數(shù)(2)當(dāng)，即時(shí)，為虛數(shù)(3)當(dāng)，即時(shí)，為純虛數(shù)老師：由此我們可以總結(jié)一下復(fù)數(shù)的分類：老師：大家能理解嗎？都一起來思考一下，什么時(shí)候等于？學(xué)生：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（由此得出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件）例2：已知,其中，求x，y的值老師：列出關(guān)于，的方程組，，解得老師：根據(jù)大家例題總結(jié)兩個(gè)復(fù)數(shù)與相等的充要條件.【設(shè)計(jì)意圖：在做完并理解之前的例題的前提下，及時(shí)通過練習(xí)題進(jìn)行鞏固，體現(xiàn)了學(xué)以致用的觀念.】老師總結(jié)：復(fù)數(shù)相等的充要條件，可以整理成.老師：另外，我們所學(xué)的實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)的關(guān)系，那么大家思考討論一下，是否復(fù)數(shù)存在點(diǎn)與之對應(yīng)？如果存在，那它是什么形式的呢？【設(shè)計(jì)意圖：通過類比思想，理解復(fù)數(shù)與坐標(biāo)點(diǎn)的關(guān)系，找到復(fù)數(shù)的幾何意義.】（學(xué)生進(jìn)行小組討論）老師：現(xiàn)在我們請一位同學(xué)來給我們講一講他是怎么做的.學(xué)生：可以把復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別看作橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，就能確定點(diǎn).老師：很好！現(xiàn)在我們來看一下老師畫的平面直角坐標(biāo)系.（老師板書）老師：我們可以把表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系的平面叫做復(fù)數(shù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸，現(xiàn)在大家來觀察一下這個(gè)圖，還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：軸上的點(diǎn)是實(shí)數(shù).老師總結(jié)：沒錯(cuò)，那么我們可以說，復(fù)數(shù)集中的任何一個(gè)復(fù)數(shù)和復(fù)平面的向量所成的集合是一一對應(yīng)的（實(shí)數(shù)與零向量對應(yīng)），這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.老師：同時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)平面向量和有序?qū)崝?shù)對也是對應(yīng)的，那么也可以說可以用向量表示復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)集和向量的集合是一一對應(yīng)的，這也是復(fù)數(shù)的幾何意義.【設(shè)計(jì)意圖：通過啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想，用平面向量表示復(fù)數(shù)，從而引出復(fù)數(shù)加減的內(nèi)容.】（老師板書）老師補(bǔ)充：復(fù)數(shù)的絕對值和實(shí)數(shù)的絕對值的意義也是相同的，即復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么向量的模也就是復(fù)數(shù)的模，記作或，如果，那么就是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模等于，即的絕對值并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).老師補(bǔ)充：雖然復(fù)數(shù)是數(shù)，但一般來說是不能比較大小的，只能說它們相等或不相等，但它們的模的大小是可以比較的.例3：已知復(fù)數(shù)，，試比較它們模的大小.老師：,，所以.老師：現(xiàn)在請同學(xué)們思考，復(fù)數(shù)和，能不能做出它們對應(yīng)的向量和，求出兩個(gè)向量的和并說一說你們的發(fā)現(xiàn).同學(xué)：說明復(fù)數(shù)加法滿足向量加法的平行四邊形法則.老師：真棒！這就是我接下來想說的.老師總結(jié)：復(fù)數(shù)的加法法則：與，則滿足交換律、結(jié)合律；復(fù)數(shù)的減法法則：與，則學(xué)生：我們可以記作實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減.老師：很好！同學(xué)們來自己嘗試一下下面的例題.例4：設(shè),且，求.學(xué)生板書：，所以，解得，，所以.老師：學(xué)習(xí)完復(fù)數(shù)的加減法，自然而然的我們也要思考復(fù)數(shù)的乘除法，大家能根據(jù)前面運(yùn)用的規(guī)律解決復(fù)數(shù)乘法的問題嗎？老師：設(shè)，，是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積.在所得的結(jié)果中將替換為，并且把結(jié)果寫成的形式.學(xué)生：老師復(fù)數(shù)乘法滿足運(yùn)算規(guī)律嗎？老師：當(dāng)然可以.（老師板書）例5：，，求學(xué)生板書：例6：計(jì)算學(xué)生板書：老師總結(jié)：所以形如，像這種實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的一對復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù).其中虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)叫做共軛虛數(shù).我們將的共軛復(fù)數(shù)記作，實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它自己.老師總結(jié)：一對互為共軛的復(fù)數(shù)的乘積等于這個(gè)復(fù)數(shù)（或其共軛復(fù)數(shù)）模的平方.即例7：已知,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)位于哪個(gè)象限？學(xué)生板書：，所以，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.老師：做得很好！最后，我們再來看一下復(fù)數(shù)的除法.老師：滿足的復(fù)數(shù)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者.老師總結(jié)：先把原式寫成分式的形式,再把分子與分母分別同時(shí)乘分母的共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)除法的本質(zhì)就是巧妙地運(yùn)用了“分母實(shí)數(shù)化”.例8：計(jì)算學(xué)生板書：（2）鞏固練習(xí)練習(xí)1：復(fù)數(shù)與的積是實(shí)數(shù)的充要條件？練習(xí)2：已知,其中，求.練習(xí)3：計(jì)算：=1\*GB3①=2\*GB3②練習(xí)4：思考的指數(shù)的變化規(guī)律，并求值.3.2.3本節(jié)小結(jié)在本節(jié)課，我們通過回顧數(shù)系的擴(kuò)充過程，由于實(shí)際的生產(chǎn)生活和科學(xué)技術(shù)的需要，學(xué)生通過運(yùn)用類比的方法，同樣擴(kuò)充了復(fù)數(shù).從實(shí)數(shù)的角度，可以得到復(fù)數(shù)可看作平面上的點(diǎn),也可以看作平面向量的幾何意義,復(fù)數(shù)的運(yùn)算律，任意一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)等.3.2.4作業(yè)布置（1）完成教材習(xí)題3.1和3.2.A組習(xí)題.（2）總結(jié)本節(jié)課的知識點(diǎn)筆記.（3）思考：，，是否成立，理由是什么.3.2.5板書設(shè)計(jì)第一課時(shí)第二課時(shí)3.3教學(xué)反思本課的重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)系補(bǔ)充的必要性，引入虛數(shù)單位，在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生參與到知識的探索的行列中去，做學(xué)習(xí)的主人，樂于探究與思考.在教學(xué)中由于班級學(xué)生人數(shù)多，學(xué)生沒有真正“動(dòng)”起來.在今后的教學(xué)工作中一定會(huì)查漏補(bǔ)缺，學(xué)習(xí)更好的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，使自己的教學(xué)更加完善.4.總結(jié)通過本次教學(xué)設(shè)計(jì)，我貫徹了以學(xué)生為主體，啟發(fā)學(xué)生，并讓學(xué)生自主思考、動(dòng)手的理念.讓學(xué)生以自我為主體，主動(dòng)了解知識并解決問題.在高中的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思想方法是不可避免的.因此，在本文中，我主要介紹了類比推理思想在數(shù)系中的應(yīng)用，在實(shí)際應(yīng)用中，這種思想是不可或缺的，掌握這種思想，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解決問題的路上更加順利，且可以將知識和方法應(yīng)用在以后工作和生活之中.因而本文對分類討論思想的研究還是讓學(xué)生受益頗多的.

參考文獻(xiàn)[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].人民教育出版社,2018[2]劉旭.復(fù)數(shù)高考考點(diǎn)的深入分析[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2014(10)：45-47.[3]陳海平.淺議復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)方法[J].科技信息,2014(06)：180-181.[4]芮玉貴.《復(fù)數(shù)的幾何意義》的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2010,49(09)：32-36.[5]何中立.復(fù)數(shù)幾何意義在解題中的應(yīng)用[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004(05)：139-140.[6]向劍平.復(fù)數(shù)幾何意義的重要性及其應(yīng)用[J].貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然學(xué)),2001(02)：61-62.[7]林金平.復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用[J].寧德師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998(01)：81-82+85.[8]石英.教案《復(fù)數(shù)乘法的幾何意義及應(yīng)用》的研究報(bào)告[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1997(11)：20-22.[9]劉漢興.復(fù)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用[J].甘肅教育,1995(12)：40.[10]楊心衡.復(fù)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用[J].廣西右江民族師專學(xué)報(bào),1995(01)：38-43.[11]姚潔君.復(fù)數(shù)的應(yīng)用[J].陰山學(xué)刊,1994(S1)：118-121.[12]郭明堂,宋月彰.共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1994(03)：18-19.[13]趙秀.復(fù)數(shù)幾何意義在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].黑龍江科學(xué),2017,8(02)：42-43.[14]MiladJafariBarani,PeymanAyubi,MiladYousefiValandar,BehzadYosefnezhadIrani.AnewPseudorandomnumbergeneratorbasedongeneralizedNewtoncomplexmapwithdynamic