5.3一元一次方程的應用（第1課時）（導學案）（解析版）1.教學目標(1)經歷體積和周長問題的解決過程，抽象建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想，發(fā)展抽象能力;（2）初步體會方程的兩邊就是同一個量或相等的量的不同表達，選擇某個量，用不同的表達式去表示它，就可得到相應的方程。能建立一元一次方程模型解決實際問題，發(fā)展模型觀念;（3）體會一元一次方程的應用價值。重點：抽象建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想。難點:抽象建立一元一次方程模型解決實際問題。第一環(huán)節(jié)自主學習溫故知新：新知自研：自研課本第147148頁的內容【學法指導】自研課本P147148頁內容，思考：（一）體積問題問題某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經市場調研決定對該產品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕祝?.這個問題中包含哪些量？它們之間有怎樣的等量關系？問題中包含的量有：舊易拉罐的底面直徑、高、容積，新易拉罐的底面直徑、高、容積。它們之間的等量關系有：容積（舊)=π·[12容積（新)=π·[12強調：這個問題涉及的基本數量關系主要是圓柱體的底面直徑、高、體積之間的關系，要注意的關鍵詞是“減少為”“容積不變”，容積是變化過程中的不變量。2.設新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？有關量舊包裝新包裝底面半徑∕cm高∕cm容積∕cm3.列方程的關鍵是什么？列方程時，關鍵是找出問題中的等量關系。4.根據等量關系，你能列出怎樣的方程？5.易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕祝繗w納總結：用一元一次方程解決實際問題的一般步驟包括:理解題意，尋找等量關系，設未知數列方程，解方程，作答。正確分析問題中的相等關系是列方程的基礎?！咀匝凶蕴健孔匝姓n本147148頁例題內容，回答問題：典例分析例1用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形。（1）如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?(2）如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？此時的長方形與（1）中的長方形相比，面積有什么變化?（3）如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米？正方形的面積與（2）中長方形的面積相比又有什么變化?【分析】追問1：本題涉及哪些量？它們之間有怎樣的等量關系？問題中涉及的量有：鐵絲的長度，長方形的長、寬、周長，長方形長與寬的差。它們之間的等量關系有：長方形的周長=鐵絲的長度，長方形的周長=2×（長+寬），長方形的長一長方形的寬=長方形長與寬的差。追問2：解這道題的關鍵是什么？長方形的長與寬的變化與面積的關系？圍成的長方形的長和寬在發(fā)生變化，但在圍的過程中，長方形的周長不變，都等于鐵絲的長度。由此便可建立方程。同時，根據計算，可以發(fā)現隨著長方形長與寬的變化，長方形的面積也在發(fā)生變化。一個一般性規(guī)律：周長一定的長方形，長與寬的差越小，長方形的面積越大；當長和寬相等時（即為正方形時），長方形（正方形）的面積最大。1.8+1.4=3.2。此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m。2.1+0.8=2.9。此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09(m2),（1）中長方形的面積為3.2×1.8=5.76(m2)。此時長方形的面積比（1）中長方形的面積增大6.095.76=0.33(m2)。（3）設正方形的邊長為。正方形的邊長為2.5m，面積為2.5×2.5=6.25(m2),比（2）中長方形的面積增大6.256.09=0.16(m2)。思考·交流在上面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量？列方程的思路是什么？與同伴進行交流。本環(huán)節(jié)意在引導學生體會列方程的基本思路。所列方程的左邊和右邊表示的都是長方形的周長，只不過用不同的代數式進行了表達，它們表示的是同一個量，自然是相等的。列方程的基本思路就是，在分析清楚問題所涉及量之間的等量關系的基礎上，題所涉及量之間的等量關系的基礎上，將同一個量（或相等的量）用不同的代數式表達出來。

(2)若將剩下部分折成的無蓋長方體盒子的底面的長是寬的2倍，求該無蓋盒子的體積．例3．溯源尋蹤：（1）上圖（左）是某月的月歷，方框中的9個數的和與方框中正中心的數有什么關系？（2）如果將方框移到如圖（右）的位置，這9個數的和與正中心的數的這種關系還成立嗎？（3）不改變方框的大小，將方框移動幾個位置試一試，你能得出什么結論？（4）這個結論對于任何一個月的月歷都成立嗎？歸納總結：方框中9個數的和是方框中正中心的數的________倍．

月供表中數的排列規(guī)律是什么？歸納：行：從左往右，依次大________；列：從上往下，依次大________．【分析】溯源尋蹤：（1）求出9個數之和，然后找出與正中心的數的關系為：9個數之和為方框正中心的9倍；（2）求出9個數之和，然后找出與正中心的數的關系面積即可得出結論；（3）設正中心的數為，結合表格依次表示出其他個數字，然后相加找出關系；（4）這個關系對任何一個月的日歷都成立，理由為：日歷都具有此規(guī)律；歸納總結：結合表格依次表示出其他個數字，然后相加找出關系即可；結合表格即可得出結論：方框中個數之和為方框正中心的倍；根據表格進行回答即可．【詳解】解：溯源尋蹤：則方框中個數之和為方框正中心的倍；所以改變位置，關系仍成立；（3）不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動位置，關系仍成立．設正中心的數為，故移動位置，方框中個數之和為方框正中心的倍．（4）這個關系對任何一個月的日歷都成立，理由為任何一個日歷表都具有這種排列規(guī)律；歸納總結：故方框中個數之和為方框正中心的倍；月供表中數的排列規(guī)律是方框中個數之和為方框正中心的倍；歸納：行：從左往右，依次大1；列：從上往下，依次大．第二環(huán)節(jié)合作探究問題某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經市場調研決定對該產品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕祝?.討論這個問題中包含哪些量？它們之間有怎樣的等量關系？2.討論借助下面的表格梳理問題。有關量舊包裝新包裝底面半徑∕cm高∕cm容積∕cm3.討論列方程的關鍵是什么？根據等量關系，你能列出怎樣的方程？4.拓展提升：1．如圖，6個正方形無縫拼接成一個大長方形，中間最小的一個正方形的面積為4，求這個大長方形的面積。【詳解】解：課本課堂練習6.cm的下底比上底多6.cm，高是8cm，面積為88cm2，求這個梯形的上底和下底的長度。答案：1.這個梯形的上底為8cm，下底為14cm。1．（2025.揭陽校考）一個正方形的邊長增加3厘米，它的面積就增加99平方厘米．那么這個正方形的面積是多少平方厘米？答：這個正方形的面積是平方厘米。求：(1)瓶內溶液的體積是多少？(2)圓柱形杯子溶液的高度是多少？（結果保留）3．（2025?北京）北京風箏制作技藝是國家級非物質文化遺產．為制作一只京燕風箏，小明準備了五根直竹條（如圖1）；一根門條、兩根等長的膀條和兩根等長的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與尾條一起扎成風箏的骨架（如圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是1：1：2．已知單根膀條長是胸腹高的5倍，門條比單根膀條短10cm，圖1中BC的長是門條長的59，AB．CD【解答】解：設胸腹高為xcm，則單根膀條長為5xcm，門條AD的長度為（5x﹣10）cm，BC=59(5x?10)cm，AB＝CD＝x，頭