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文檔簡介

北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊2.2

導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)置疑問，引入課題問題1：我們是如何定義圓的切線的?其定義能否外拓到除圓之外的其他曲線的切線?歐幾里得定義

古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid,約前325——約前265)在《幾何原本》第3卷中將圓的切線定義為“和圓相遇、而延長后不與圓相交的直線”，即圓的切線是與圓相交且只有一個公共點(diǎn)的直線.阿波羅尼奧斯定義阿波羅尼奧斯(Apollonius,約前262——約前190)將圓錐曲線的切線看作是與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)、且全部落在圓錐曲線之外的直線割線逼近——兩點(diǎn)逼近羅伯瓦爾(G.Roberval,1602—1675)在其著作《不可分量論》中把曲線看成一個動點(diǎn)在兩個分速度作用下運(yùn)動的軌跡，把切線定義為合速度方向所在的直線割線逼近T德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)還將曲線的切線定義為“連接曲線上無限接近兩點(diǎn)的直線”.歐幾里得定義阿氏定義合速度定義割線逼近歐幾里得定義幾里得定義

古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid,約前325——約前265)在《幾何原本》第3卷中將圓的切線定義為“和圓相遇、而延長后不與圓相交的直線”，即圓的切線是與圓相交且只有一個公共點(diǎn)的直線阿波羅尼奧斯定義阿波羅尼奧斯(Apollonius,約前262——約前190)將圓錐曲線的切線看作是與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)、且全部落在圓錐曲線之外的直線.割線逼近——兩點(diǎn)逼近羅伯瓦爾(G.Roberval,1602—1675)在其著作《不可分量論》中把曲線看成一個動點(diǎn)在兩個分速度作用下運(yùn)動的軌跡，把切線定義為合速度方向所在的直線割線逼近T德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)還將曲線的切線定義為“連接曲線上無限接近兩點(diǎn)的直線”.歐幾里得定義阿氏定義合速度定義割線逼近歐幾里得定義幾里得定義

古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid,約前325——約前265)在《幾何原本》第3卷中將圓的切線定義為“和圓相遇、而延長后不與圓相交的直線”，即圓的切線是與圓相交且只有一個公共點(diǎn)的直線阿波羅尼奧斯定義阿波羅尼奧斯(Apollonius,約前262——約前190)將圓錐曲線的切線看作是與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)、且全部落在圓錐曲線之外的直線合速度定義羅伯瓦爾(G.Roberval,1602—1675)在其著作《不可分量論》中把曲線看成一個動點(diǎn)在兩個分速度作用下運(yùn)動的軌跡，把切線定義為合速度方向所在的直線.割線逼近T德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)還將曲線的切線定義為“連接曲線上無限接近兩點(diǎn)的直線”.歐幾里得定義阿氏定義合速度定義割線逼近歐幾里得定義幾里得定義

古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid,約前325——約前265)在《幾何原本》第3卷中將圓的切線定義為“和圓相遇、而延長后不與圓相交的直線”，即圓的切線是與圓相交且只有一個公共點(diǎn)的直線阿波羅尼奧斯定義阿波羅尼奧斯(Apollonius,約前262——約前190)將圓錐曲線的切線看作是與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)、且全部落在圓錐曲線之外的直線割線逼近——兩點(diǎn)逼近羅伯瓦爾(G.Roberval,1602—1675)在其著作《不可分量論》中把曲線看成一個動點(diǎn)在兩個分速度作用下運(yùn)動的軌跡，把切線定義為合速度方向所在的直線割線逼近定義德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)將曲線的切線定義為“連接曲線上無限接近兩點(diǎn)的直線”.歐幾里得定義阿氏定義合速度定義割線逼近定義

實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)現(xiàn)新知

數(shù)形結(jié)合

導(dǎo)數(shù)的幾何意義瞬時(shí)變化率切線斜率切線方程④你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？實(shí)驗(yàn)探究，建構(gòu)新知<!DOCTYPEhtml><htmllang="zh-CN"><head><metacharset="UTF-8"><metaname="viewport"content="width=device-width,initial-scale=1.0"><title>以直代曲思想動畫演示</title><scriptsrc="/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><style>*{margin:0;padding:0;box-sizing:border-box;font-family:'SegoeUI',Tahoma,Geneva,Verdana,sans-serif;}

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button{background:linear-gradient(toright,#3498db,#2980b9);border:none;color:white;padding:12px25px;border-radius:40px;font-size:1rem;cursor:pointer;transition:all0.3sease;font-weight:600;box-shadow:03px10pxrgba(52,152,219,0.3);min-width:140px;}

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.slider-container{background:rgba(0,30,70,0.6);border-radius:10px;padding:15px;margin:10px0;text-align:center;width:100%;}

.slider-label{font-size:1.1rem;margin-bottom:10px;color:#80deea;font-weight:600;}

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.slider::-webkit-slider-thumb{-webkit-appearance:none;width:24px;height:24px;border-radius:50%;background:#ff7e5f;cursor:pointer;box-shadow:02px5pxrgba(0,0,0,0.3);border:2pxsolidwhite;}

.slider-value{font-size:1.2rem;font-weight:bold;color:#ffeb3b;margin-top:10px;}

.legend{display:flex;justify-content:center;gap:20px;margin-top:15px;flex-wrap:wrap;}

.legend-item{display:flex;align-items:center;gap:8px;font-size:0.9rem;background:rgba(30,80,150,0.4);padding:6px12px;border-radius:20px;}

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canvas{height:350px;}}</style></head><body><divclass="header"><h1>以直代曲思想動畫演示</h1></div>

<divclass="container"><divclass="canvas-container"><divclass="canvas-header"><divclass="canvas-title">曲線放大過程演示(支持100倍放大)</div><divclass="magnification">放大倍數(shù):<spanid="magnificationValue">1</span>x</div></div>

<divclass="zoom-indicator">放大區(qū)域指示器</div>

<canvasid="curveCanvas"width="760"height="400"></canvas>

<divclass="slider-container"><divclass="slider-label">調(diào)整放大倍數(shù)(1x-100x)</div><inputtype="range"min="1"max="100"step="1"value="1"class="slider"id="zoomSlider"><divclass="slider-value">當(dāng)前放大倍數(shù):<spanid="zoomValue">1</span>x</div></div>

<divclass="controls"><buttonid="zoomInBtn">

放大視圖(×2)</button><buttonid="zoomOutBtn">

縮小視圖(÷2)</button><buttonid="resetBtn">

重置視圖</button><buttonid="animateBtn">

自動演示</button></div>

<divclass="legend"><divclass="legend-item"><divclass="legend-color"style="background:#e74c3c;"></div><span>曲線y=f(x)</span></div><divclass="legend-item"><divclass="legend-color"style="background:#2ecc71;"></div><span>切線</span></div><divclass="legend-item"><divclass="legend-color"style="background:#f39c12;"></div><span>固定點(diǎn)</span></div></div></div></div><script>//獲取Canvas元素和上下文constcanvas=document.getElementById('curveCanvas');constctx=canvas.getContext('2d');

//設(shè)置Canvas尺寸constwidth=canvas.width;constheight=canvas.height;

//固定點(diǎn)（切點(diǎn)）constfixedX=3.0;letfixedY;

//放大參數(shù)letzoomLevel=1;letisAnimating=false;letanimationId=null;

//數(shù)學(xué)函數(shù)（這里使用三次函數(shù)作為示例）functionf(x){return0.1*Math.pow(x,3)-0.5*Math.pow(x,2)+1;}

//導(dǎo)數(shù)（切線斜率）functiondf(x){return0.3*Math.pow(x,2)-1.0*x;}

//更新固定點(diǎn)Y值functionupdateFixedY(){fixedY=f(fixedX);}

//坐標(biāo)轉(zhuǎn)換函數(shù)（考慮縮放）functiontoCanvasX(x){constrange=10/zoomLevel;constcenterX=fixedX;constxMin=centerX-range/2;return(x-xMin)/range*width;}

functiontoCanvasY(y){constrange=10/zoomLevel;constcenterY=fixedY;constyMin=centerY-range/2;returnheight-(y-yMin)/range*height;}

//繪制坐標(biāo)軸functiondrawAxes(){constrange=10/zoomLevel;constcenterX=fixedX;constcenterY=fixedY;

ctx.beginPath();ctx.strokeStyle='#4fc3f7';ctx.lineWidth=1.5;

//X軸ctx.moveTo(toCanvasX(centerX-range/2),toCanvasY(centerY));ctx.lineTo(toCanvasX(centerX+range/2),toCanvasY(centerY));

//Y軸ctx.moveTo(toCanvasX(centerX),toCanvasY(centerY-range/2));ctx.lineTo(toCanvasX(centerX),toCanvasY(centerY+range/2));

ctx.stroke();

//坐標(biāo)軸標(biāo)簽ctx.fillStyle='#80deea';ctx.font='14pxArial';ctx.fillText('x',toCanvasX(centerX+range/2)-15,toCanvasY(centerY)+15);ctx.fillText('y',toCanvasX(centerX)+10,toCanvasY(centerY+range/2)+15);

//刻度（僅在放大倍數(shù)較小時(shí)顯示）if(zoomLevel<20){ctx.font='12pxArial';ctx.fillStyle='#4fc3f7';

//X軸刻度constxStep=range/10;for(leti=1;i<=4;i++){constxPos=centerX-i*xStep;ctx.fillText((xPos).toFixed(2),toCanvasX(xPos)-10,toCanvasY(centerY)+20);

constxPos2=centerX+i*xStep;ctx.fillText((xPos2).toFixed(2),toCanvasX(xPos2)-10,toCanvasY(centerY)+20);}

//Y軸刻度constyStep=range/10;for(leti=1;i<=4;i++){constyPos=centerY-i*yStep;ctx.fillText((yPos).toFixed(2),toCanvasX(centerX)+10,toCanvasY(yPos)+5);

constyPos2=centerY+i*yStep;ctx.fillText((yPos2).toFixed(2),toCanvasX(centerX)+10,toCanvasY(yPos2)+5);}}}

//繪制曲線functiondrawCurve(){constrange=10/zoomLevel;constcenterX=fixedX;constxMin=centerX-range/2;constxMax=centerX+range/2;

ctx.beginPath();ctx.strokeStyle='#ff7e5f';ctx.lineWidth=zoomLevel>50?2:3;//高倍放大時(shí)減小線寬

//高倍放大時(shí)增加采樣點(diǎn)conststep=(xMax-xMin)/(zoomLevel>50?500:200);letx=xMin;letfirstPoint=true;

while(x<=xMax){consty=f(x);

if(firstPoint){ctx.moveTo(toCanvasX(x),toCanvasY(y));firstPoint=false;}else{ctx.lineTo(toCanvasX(x),toCanvasY(y));}

x+=step;}

ctx.stroke();}

//繪制切線functiondrawTangent(){constrange=10/zoomLevel;constcenterX=fixedX;constxMin=centerX-range/2;constxMax=centerX+range/2;

constslope=df(fixedX);consty0=f(fixedX);

//計(jì)算切線起點(diǎn)和終點(diǎn)constyStart=y0+slope*(xMin-fixedX);constyEnd=y0+slope*(xMax-fixedX);

ctx.beginPath();ctx.strokeStyle='#2ecc71';ctx.lineWidth=zoomLevel>50?1.5:2;ctx.setLineDash([5,3]);ctx.moveTo(toCanvasX(xMin),toCanvasY(yStart));ctx.lineTo(toCanvasX(xMax),toCanvasY(yEnd));ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);}

//繪制固定點(diǎn)functiondrawFixedPoint(){ctx.beginPath();ctx.arc(toCanvasX(fixedX),toCanvasY(fixedY),zoomLevel>50?8:6,0,Math.PI*2);ctx.fillStyle='#f39c12';ctx.fill();ctx.strokeStyle='#ffffff';ctx.lineWidth=2;ctx.stroke();

//標(biāo)簽（僅在放大倍數(shù)較小時(shí)顯示）if(zoomLevel<20){ctx.fillStyle='#ffcc80';ctx.font='bold14pxArial';ctx.fillText('固定點(diǎn)',toCanvasX(fixedX)+10,toCanvasY(fixedY)-10);}}

//繪制放大指示器functiondrawZoomIndicator(){if(zoomLevel>1){constrange=10/zoomLevel;constcenterX=fixedX;constcenterY=fixedY;

constx1=toCanvasX(centerX-range/2);consty1=toCanvasY(centerY+range/2);constx2=toCanvasX(centerX+range/2);consty2=toCanvasY(centerY-range/2);

ctx.beginPath();ctx.strokeStyle='#ff5252';ctx.lineWidth=1.5;ctx.setLineDash([5,2]);ctx.rect(x1,y1,x2-x1,y2-y1);ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);}}

//繪制所有元素functiondraw(){//清除畫布ctx.clearRect(0,0,width,height);

//更新固定點(diǎn)Y值updateFixedY();

//繪制背景ctx.fillStyle='#0a1025';ctx.fillRect(0,0,width,height);

//繪制坐標(biāo)軸drawAxes();

//繪制切線drawTangent();

//繪制曲線drawCurve();

//繪制固定點(diǎn)drawFixedPoint();

//繪制放大指示器drawZoomIndicator();

//繪制放大信息ctx.fillStyle='#80deea';ctx.font='bold16pxArial';ctx.fillText(`放大區(qū)域:x∈[${(fixedX-5/zoomLevel).toFixed(3)},${(fixedX+5/zoomLevel).toFixed(3)}]`,15,25);ctx.fillText(`y∈[${(fixedY-5/zoomLevel).toFixed(3)},${(fixedY+5/zoomLevel).toFixed(3)}]`,15,50);

//在高倍放大時(shí)顯示提示信息if(zoomLevel>50){ctx.fillStyle='#ffeb3b';ctx.font='bold18pxArial';ctx.textAlign='center';ctx.fillText('曲線與切線幾乎重合，驗(yàn)證"以直代曲"思想',width/2,height-20);ctx.textAlign='left';}}

//動畫函數(shù)functionanimateZoom(){if(zoomLevel<100){zoomLevel+=1;document.getElementById('zoomValue').textContent=zoomLevel;document.getElementById('magnificationValue').textContent=zoomLevel;document.getElementById('zoomSlider').value=zoomLevel;draw();animationId=requestAnimationFrame(animateZoom);}else{isAnimating=false;document.getElementById('animateBtn').textContent="自動演示";}}

//事件監(jiān)聽document.getElementById('zoomSlider').addEventListener('input',function(){zoomLevel=parseFloat(this.value);document.getElementById('zoomValue').textContent=zoomLevel;document.getElementById('magnificationValue').textContent=zoomLevel;draw();});

document.getElementById('zoomInBtn').addEventListener('click',function(){if(zoomLevel<100)

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