13.1勾股定理及其逆定理第13章

勾股定理華東師大版（2024）八年級上冊2.直角三角形的判定情境引入1.了解直角三角形的判定條件．（重點）2.能夠運用勾股數(shù)解決簡單實際問題．（難點）核心素養(yǎng)目標(biāo)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道這是什么道理嗎?

據(jù)說,古埃及人曾用下面的方法畫直角：

他們用13個等距離的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結(jié)和第13個結(jié)，兩個助手分別握住第4個結(jié)和第8個結(jié)，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形,其直角在第4個結(jié)處.問題：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角?導(dǎo)入新課問題：試畫出三邊長度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，看看它們是一些什么樣的三角形：(1)a=3,b=4,c=5;(2)a=4,b=6,c=8;(3)a=6,b=8,c=10.

可以發(fā)現(xiàn)，按（1）、（3）所畫的三角形都是直角三角形，最長邊所對的角是直角；按（2）所畫的三角形不是直角三角形.講授新課這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？

在這三組數(shù)據(jù)中，（1）、（3）兩組數(shù)據(jù)恰好都滿足a2+b2=c2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，且邊c所對的角為直角.

對于任意一個三角形，若三邊長滿足

a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形嗎？B′C′例1

已知：如圖，在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，a2+b2=c2，求證：∠C=90°.ABCA′證明：如圖，作△A'B′C′,使∠C′=90°A′C′=b，B′C′=a，則A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°.典例精析

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理,判斷一個三角形是不是直角三角形,只要看兩條較短邊長的平方和是否等于最長邊長的平方.

例2

判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形?

(1)a=7，b=25，c=24;(2)a=13，b=11，c=9.

解:(1)最長邊為25，

∵a2+c2=72+242

=49+576=625，b2=252=625，

∴a2+c2=b2.

∴以7,25,24為邊長的三角形是直角三角形.

(2)最長邊為13，

∵b2+c2=112+92

=121+81=202，a2=132=169，

∴b2+c2≠a2.

∴以13,11,9為邊長的三角形不是直角三角形.例3

一個零件的形狀如圖1所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖2所示,你說這個零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖1圖2在△BCD中，

所以△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.解：在△ABD中，

所以△ABD

是直角三角形，∠A是直角.

例4已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1（n為大于1的正整數(shù)）.試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.先確定AB、BC、AC、的大小能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例如3,4,5；6,8,10；n2-1,2n,n2+1(n為大于1的正整數(shù))等都是勾股數(shù).講授新課例5

下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.典例精析一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)課堂小結(jié)1．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是(

)A．3，4，5

B．2，3，4C．4，6，7

D．5，11，12A當(dāng)堂練習(xí)C3．已知△ABC的三邊長為a，b，c，滿足a＋b＝10，ab＝18，c＝8，則此三角形為________三角形.直角解：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×1＝14＝c2，∴△ABC是直角三角形5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周長；(2)△ABC是不是直角三角形？為什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54

(2)∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，∴AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形6．請完成以下未完成的勾股數(shù)：(1)8，15，____；(2)10，____，26.7．滿足條件a2＋b2＝c2的一組正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)，下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是(

)A．5，12，13

B．6，8，10C．7，24，25

D．9，30，318．若正整數(shù)a，b，c是一組勾股數(shù)，則下列各組數(shù)一定還是勾股數(shù)的是(

)A．a(chǎn)＋2，b＋2，c＋2

B．a(chǎn)2，b2，c2C．3a，3b，3c

D．a(chǎn)－2，b－2，c－21724DC9．對于任意兩個正整數(shù)m，n(m＞n)，下列各組三個數(shù)為勾股數(shù)的一組是(

)A．m2＋mn，m2－1，2mnB．m2－n2，2mn，m2＋n2C．m＋n，m－n，2mnD．n2－1，n2＋mn，2mnB10．(復(fù)習(xí)題11變式)已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2－b2c2＝a4－b4，則它的形狀為(

)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D11．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，其中正確的是(

)C12．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則點P與P′之間的距離為PP′＝____，∠APB＝________度．6150點撥：連結(jié)PP′，易知△AP′P是等邊三角形，∴P′P＝6，∠APP′＝60°，由△PAC≌△P′AB得P′B＝PC＝10，在△PP′B中，易知有P′P2＋PB2＝P′B2，∴∠BPP′＝90°，∴∠APB＝60°＋90°＝150°13．(復(fù)習(xí)題8變式)如圖所示的一塊地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求這塊地的面積．解：24m214．(例題4變式)如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且BE＝3CE.試判斷△AEF的形狀，并說明理由．解：△AEF是直角三角形，理由如下：設(shè)CE＝a，則BE＝3a，正方形ABCD的邊長為4a，DF＝CF＝2a，∵AF2＋EF2＝(AD2＋DF2)＋(CE2＋CF2)

＝[(4a)2＋(2a)2]＋[a2＋(2a)2]

＝25a2，AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2，∴AF2＋EF2＝AE2，∴∠AFE＝90°，即△AEF是直角三角形16．張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：(1)請你分別探究a，b，c與n之間的關(guān)系，并且用含自然數(shù)n(n＞1)的式子表示：a＝__________，b＝____，c＝_________；