成考（專升本）高數(shù)（一）極限的定義、性質(zhì)極限的性質(zhì)目錄CONTENTS0102極限的定義01極限的定義極限的定義極限描述了函數(shù)值在自變量趨近某一值時(shí)的趨勢若對于任意小的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-

x?|<δ時(shí)，有|f(x)-

A|<ε，則稱A為f(x)當(dāng)x趨向于x?時(shí)的極限極限是一個(gè)理論上的概念，用來研究函數(shù)在某一點(diǎn)的鄰域內(nèi)的行為01極限的幾何意義極限的幾何意義是描述曲線在趨近某一點(diǎn)時(shí)切線的變化趨勢在幾何圖形上，極限表示函數(shù)圖像趨近于某一固定曲線的趨勢當(dāng)x趨向于x?時(shí)，f(x)趨近于A，意味著在x?的去心鄰域內(nèi)，f(x)的值任意接近A02極限的物理解釋在物理學(xué)中，極限常用來描述物理量在趨近某一狀態(tài)時(shí)的變化趨勢例如，速度的極限可以描述物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度極限在物理中的應(yīng)用幫助我們理解瞬態(tài)現(xiàn)象和連續(xù)變化的過程03極限的數(shù)學(xué)表達(dá)極限的數(shù)學(xué)表達(dá)是利用ε-

δ語言進(jìn)行嚴(yán)格定義ε表示允許的誤差范圍，δ表示自變量的變化范圍數(shù)學(xué)表達(dá)中，極限是通過對ε和δ之間關(guān)系的研究來描述函數(shù)的行為04極限的基本概念PART01PART02極限存在的充分條件函數(shù)在某一點(diǎn)的左右極限相等是該點(diǎn)極限存在的充分條件如果函數(shù)在某一點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，則該點(diǎn)的極限存在函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的左右極限相等極限存在的判定方法使用極限的定義來判定極限的存在運(yùn)用已知的極限定理和性質(zhì)來判定極限的存在通過分析函數(shù)的圖形和性質(zhì)來判定極限的存在極限存在的必要條件函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，其必要條件是該點(diǎn)的左右極限必須存在如果函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，那么該點(diǎn)的極限存在是該連續(xù)性的必要條件極限存在的必要條件還包括函數(shù)在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)必須有定義極限不存在的情況當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)的左右極限不相等時(shí)，該點(diǎn)的極限不存在如果函數(shù)在某一點(diǎn)的鄰域內(nèi)振蕩，則該點(diǎn)的極限不存在極限不存在也可能是因?yàn)楹瘮?shù)在某一點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義極限的存在條件無窮大是指函數(shù)的絕對值無限增大的變量無窮大具有性質(zhì)：與有界量的乘積為無窮大函數(shù)f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮小無窮小的定義與性質(zhì)2請?jiān)诖颂庉斎朐敿?xì)文本描述，或者復(fù)制您的文本粘貼到此處。無窮大的定義與性質(zhì)無窮小與無窮大互為倒數(shù)關(guān)系，非零無窮小的倒數(shù)為無窮大無窮小的倒數(shù)是無窮大，無窮大的倒數(shù)是無窮小無窮小與無窮大的極限運(yùn)算需謹(jǐn)慎處理無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小量的比較通過比較它們的極限速度來進(jìn)行如果lim(f(x)/g(x))=0，則稱f(x)是比g(x)高階的無窮小如果lim(f(x)/g(x))=∞，則稱f(x)是比g(x)低階的無窮小無窮小量的比較無窮小與無窮大的極限02極限的性質(zhì)極限的唯一性極限存在時(shí)，極限值是唯一的。如果兩個(gè)序列的極限相同，則這兩個(gè)序列是相等的。唯一性保證了極限運(yùn)算的確定性。極限的四則運(yùn)算法則兩個(gè)序列的極限存在時(shí)，它們的和、差、積、商的極限也存在（除數(shù)不為零）。極限的四則運(yùn)算符可以直接作用于序列的極限。這些法則簡化了極限的計(jì)算過程。極限的復(fù)合函數(shù)極限定理如果內(nèi)函數(shù)極限存在，外函數(shù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)的極限等于外函數(shù)在內(nèi)函數(shù)極限點(diǎn)的值。該定理適用于連續(xù)函數(shù)的復(fù)合。它擴(kuò)展了極限運(yùn)算到更復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式。極限的反函數(shù)極限定理單調(diào)且連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在極限存在的條件下，其極限也存在。反函數(shù)的極限值是原函數(shù)極限值的反函數(shù)。此定理有助于處理反函數(shù)的極限問題。極限的基本性質(zhì)極限的加法性質(zhì)兩個(gè)序列的極限和等于各序列極限的和。加法性質(zhì)適用于任何有限個(gè)數(shù)的序列。它是極限運(yùn)算的基礎(chǔ)之一。極限的減法性質(zhì)兩個(gè)序列的極限差等于各序列極限的差。減法性質(zhì)同樣適用于任何有限個(gè)數(shù)的序列。減法運(yùn)算可以用來求序列之間的差值。極限的乘法性質(zhì)兩個(gè)序列的極限積等于各序列極限的積。乘法性質(zhì)適用于任何有限個(gè)數(shù)的序列。它是處理乘積形式的極限問題時(shí)的重要工具。極限的除法性質(zhì)兩個(gè)序列的極限商（除數(shù)不為零）等于各序列極限的商。除法性質(zhì)要求除數(shù)序列的極限不為零。它用于解決涉及分式的極限問題。極限的運(yùn)算性質(zhì)01

02

03

數(shù)列極限的定義數(shù)列極限描述了數(shù)列項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)增大趨近某一固定值的行為。定義基于epsilon-

N語言，描述了數(shù)列項(xiàng)與極限值之間的接近程度。數(shù)列極限是研究數(shù)列性質(zhì)的重要工具。數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限具有唯一性、有界性和保號性。數(shù)列極限的保號性意味著極限值的正負(fù)與數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)一致。這些性質(zhì)是數(shù)列極限理論的基礎(chǔ)。數(shù)列極限的運(yùn)算法則數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則與函數(shù)極限類似。運(yùn)算法則適用于有限個(gè)數(shù)列的極限運(yùn)算。它們簡化了數(shù)列極限的計(jì)算。數(shù)列極限