成考（專升本）高數(shù)（一）定義、性質(zhì)目錄CONTENTS01函數(shù)與極限02導(dǎo)數(shù)與微分03微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用01函數(shù)與極限函數(shù)是兩個變量之間的依賴關(guān)系，其中一個變量（自變量）的每一個值都對應(yīng)另一個變量（因變量）的唯一值。函數(shù)可以通過數(shù)學(xué)表達(dá)式、圖表或列表來表示。函數(shù)的表示方法包括解析式、表格法和圖象法。函數(shù)的定義函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在其定義域內(nèi)隨著自變量的增加而單調(diào)增加或減少。函數(shù)的奇偶性：函數(shù)的值關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）或關(guān)于y軸對稱（偶函數(shù)）。函數(shù)的周期性：函數(shù)的值在經(jīng)過固定間隔后重復(fù)出現(xiàn)。函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)：包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等。復(fù)合函數(shù)：由兩個或兩個以上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。分段函數(shù)：在不同的自變量區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的表達(dá)式不相同的函數(shù)。函數(shù)的分類函數(shù)的和、差、積、商：根據(jù)相應(yīng)的運算法則進(jìn)行函數(shù)間的四則運算。函數(shù)的反函數(shù)：如果原函數(shù)將x映射到y(tǒng)，則反函數(shù)將y映射回x。函數(shù)的復(fù)合：將一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入。函數(shù)的運算函數(shù)的基本概念01極限描述了當(dāng)自變量趨近某一值時，函數(shù)值趨近某一固定值的行為。極限可以用ε-

δ定義來嚴(yán)格描述。極限存在時，函數(shù)在該點的左右極限必須相等。極限的定義02極限的局部保號性：如果極限存在，則函數(shù)值在趨近極限點附近保持符號不變。極限的局部有界性：如果極限存在，則函數(shù)值在趨近極限點附近是有界的。極限的夾逼定理：如果兩個函數(shù)在某點的極限相同，則夾在中間的函數(shù)在該點的極限也相同。極限的性質(zhì)03直接代入法：直接將自變量的值代入函數(shù)表達(dá)式。因式分解法：通過因式分解消去分母中的零因子。分段函數(shù)法：對分段函數(shù)的各段分別計算極限。極限的計算方法04無窮?。寒?dāng)自變量趨近某一值時，函數(shù)值趨近于0。無窮大：當(dāng)自變量趨近某一值時，函數(shù)值的絕對值無限增大。無窮小與無窮大的關(guān)系：無窮大的倒數(shù)是無窮小，無窮小的倒數(shù)是無窮大。無窮小與無窮大的概念極限的概念03兩個函數(shù)的商的極限等于各函數(shù)極限的商，前提是分母的極限不為0。常數(shù)除以函數(shù)，極限等于常數(shù)除以函數(shù)的極限。如果分母的極限為0，則商的極限不存在。極限的除法法則04如果內(nèi)層函數(shù)的極限存在且等于a，外層函數(shù)在a連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)的極限等于外層函數(shù)在a的值。復(fù)合函數(shù)極限的存在性依賴于內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的連續(xù)性和極限的存在性。如果內(nèi)層函數(shù)的極限不存在，復(fù)合函數(shù)的極限也不一定存在。極限的復(fù)合函數(shù)法則01兩個函數(shù)代數(shù)和的極限等于各函數(shù)極限的和。如果一個函數(shù)的極限存在，則常數(shù)與其相加后極限不變。如果兩個函數(shù)的極限都不存在，則它們的和的極限也不一定存在。極限的加法法則02兩個函數(shù)代數(shù)積的極限等于各函數(shù)極限的乘積。常數(shù)與函數(shù)相乘，極限等于常數(shù)與函數(shù)極限的乘積。如果其中一個函數(shù)的極限為0，另一個函數(shù)的極限不存在，則乘積的極限不存在。極限的乘法法則極限的運算法則02導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)具有線性性質(zhì)導(dǎo)數(shù)滿足乘積和商的法則導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)表示物體運動的速度導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)（即二階導(dǎo)數(shù)）表示加速度導(dǎo)數(shù)可以描述物理量的變化率導(dǎo)數(shù)表示曲線在某一點處的切線斜率導(dǎo)數(shù)可以描述曲線在該點的凹凸性質(zhì)導(dǎo)數(shù)為零的點可能是曲線的極值點導(dǎo)數(shù)描述的是函數(shù)在某一點處的變化率導(dǎo)數(shù)是通過極限的方法來定義的導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)中的基本概念之一導(dǎo)數(shù)的定義常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遵循冪次下降規(guī)則指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有其特定公式加法法則：兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于各函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和減法法則：兩個函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)等于各函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差乘法法則：兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于各函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積加各函數(shù)自身乘以對方導(dǎo)數(shù)除法法則：兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)涉及分子導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)的乘積及分母的平方基本導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)遵循鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t適用于多層復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算鏈?zhǔn)椒▌t使得復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算變得可能高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)可以描述函數(shù)的加速度等物理量高階導(dǎo)數(shù)的計算重復(fù)使用導(dǎo)數(shù)的基本法則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算微分的計算微分的計算基于導(dǎo)數(shù)和自變量的微分微分運算遵循與導(dǎo)數(shù)運算相似的法則微分在求解近似值時非常有用微分的應(yīng)用微分用于求解函數(shù)的極值問題微分在近似計算中簡化了復(fù)雜的運算微分在物理和工程問題中描述變量的微小變化微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分是導(dǎo)數(shù)與自變量微分量的乘積導(dǎo)數(shù)是微分的商微分和導(dǎo)數(shù)共同構(gòu)成了微分學(xué)的基礎(chǔ)微分的定義微分是函數(shù)增量與自變量增量比值的線性主部微分表示函數(shù)增量的近似值微分在幾何上表示切線段的長度微分03微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用羅爾定理在一定條件下，如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且兩端函數(shù)值相等，則至少存在一點，使得導(dǎo)數(shù)為零羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情況羅爾定理在函數(shù)極值判定中有著重要作用拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點，使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)增量與自變量增量之比拉格朗日中值定理是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具該定理在求解不等式和估計極限中經(jīng)常使用柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，適用于兩個函數(shù)的情況如果兩個函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，則至少存在一點，使得兩個函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)之比等于它們增量之比柯西中值定理在多元函數(shù)微分學(xué)中有著廣泛應(yīng)用洛必達(dá)法則當(dāng)極限問題形式為"0/0"或"∞/∞"時，可以使用洛必達(dá)法則求解該法則通過求導(dǎo)數(shù)的方式，將極限問題轉(zhuǎn)化為可求解的形式洛必達(dá)法則在求解不定型極限中非常重要微分中值定理02030401函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性可以通過導(dǎo)數(shù)的符號來判斷如果導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)增加；如果導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)減少單調(diào)性在研究函數(shù)的增減趨勢時十分關(guān)鍵函數(shù)的極值函數(shù)極值出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為零的點或者導(dǎo)數(shù)不存在的點第一導(dǎo)數(shù)符號變化可以判斷極值類型（極大或極?。┑诙?dǎo)數(shù)符號可以輔助判斷極值點函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值和最小值可能在區(qū)間的端點或極值點取得利用導(dǎo)數(shù)可以有效地找到這些可能的極值點在實際問題中，最大值和最小值常常與最優(yōu)化問題相關(guān)函數(shù)的凹凸性與拐點函數(shù)的凹凸性可以通過二階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷凹凸性反映了函數(shù)圖形的彎曲方向拐點是函數(shù)凹凸性發(fā)生變化的點，通常二階導(dǎo)數(shù)等于零導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用彈性分析彈性分析測量的是需求量或供給量對價格變化的敏感程度價格彈性和收入彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性概念彈性分析有助于理解和預(yù)測市場行為最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題涉及尋找函數(shù)在給定條件下的最大值或最小值利用導(dǎo)數(shù)可以確定函數(shù)的極值點，從而解決最優(yōu)化問題最優(yōu)化方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用邊際分析邊際分析研究的是自變量增加一個單位時，因變量的變化量邊際成